1、第二章 控制系统的状态空间表达式一、主要内容1. 状态空间描述的几个重要概念2. 状态空间表达式的一般形式1) 非线性系统的状态空间描述2) 线性时变系统的状态空间描述3) 线性定常系统的状态空间描述4) 离散系统的状态空间描述3. 系统状态空间表达式的特点4. 状态空间表达式的建立1) 由物理系统的机理直接建立状态空间表达式2) 由系统高阶微分方程化为状态空间描述3) 由系统传递函数化为状态空间描述4) 由系统状态变量图列写状态空间描述5) 由系统方块图列写状态空间描述5. 状态向量的线性变换1) 系统状态空间表达式的非唯一性2) 系统特征值的不变性3) 将状态方程化为型规范型（对角线型和约
2、当型）二、教学基本要求1、正确理解状态变量和状态空间描述的概念、涵义和特点。2、熟练掌握建立状态空间表达式的不同方法，能够依据不同的已知条件建立系统相应的状态空间表达式。3、熟练掌握线性变换方面的知识。理解坐标变换的概念，了解系统特征方程和特征值不变性及传递函数不变性的特点，熟练掌握将系统状态空间描述化为规范型的方法。三、重点内容概要1. 状态空间描述的几个重要概念状态变量 是指能完整地、确定地描述系统的时域行为的最小一组变量。给定了这个变量组在初始时刻 的值和时刻 系统的输入函数，那么系统在0t0t时刻 的行为就可以完全确定。这样一组变量就称为状态变量。0t状态矢量 以状态变量为元组成的向量
3、，称为状态矢量。状态空间 以状态变量 为坐标轴构成的 n 维空间称为状态)(,),(21txtxn空间，记作 。nR状态方程 状态变量和输入变量之间的关系用一组一阶微分方程来描述。输出方程 系统的输出变量与状态变量、输入变量之间的数学表达式。状态空间表达式 状态方程和输出方程综合起来，在状态空间中建立的对一个系统动态行为的完整描述（数学模型） ，称为系统的状态空间表达式。2. 状态空间表达式的一般形式(1) 非线性系统的状态空描述（2.1）),(,(tugytftX其中， 为状态向量； 为输入向量； 为输出向量。向量函数nRXpRqRy和 的全部或至少一组成元素为状态变量 X 和),()(tu
4、ft ),(t控制 u 的非线性函数。(2) 线性系统的状态空间描述 线性时变系统的状态空间描述（2.2）)()()(tuDtXCtyBA其中， 为系统矩阵； 为控制矩阵； 为输出矩阵；nRtA)( pnRnqRtC)(为在直接传递矩阵。pqD 线性定常系统的状态空间描述（2.3）)()(tDuCXtyBA其中各个系数矩阵微常数矩阵。 离散时间系统的状态空间描述（2.4）)()()(1kuDXkCyHG其中， 表示离散的时刻。,210k3. 系统状态空间表达式的特点(1) 状态空间描述考虑输入状态输出这一过程，是对系统动态行为的完全描述。(2) 对于给定的系统，状态变量的选择不是唯一的，但个数
5、是唯一的，即个数等于系统包含的独立储能元件的个数。(3) 选择不同的状态变量，系统有不同的状态空间描述。系统任意两个状态向量之间的关系是线性非奇异的关系。即若 X 是系统的一个状态向量，只要矩阵 P 是非奇异的，则 也是系统一个状态向量。P14. 状态空间表达式的建立(1) 由物理系统的机理直接建立状态空间表达式 根据系统内部的运动规律，直接推导其输入/输出关系的建模方法称为机理分析法。 列写步骤A. 确定输入变量和输出变量。B. 将物理系统划分为若干子系统，根据物理定律列写各子系统的微分方程。C. 根据各子系统微分方程的阶次选择状态变量（通常选择独立储能元件的输出物理量为状态变量，如电感电流
6、，电容电压等） ，将各子系统的微分方程写成一阶微分方程组的形式，即可得到系统的状态方程。D. 按照输出量是状态变量的线性组合，写成向量代数方程的形式，即可得到输出方程。(2) 由系统高阶微分方程化为状态空间描述设线性连续时不变单输入单输出系统的高阶微分方程为：（2.5）ububyaya nnnnn )1()(0)1()(将其化为状态空间描述的关键问题是选择系统适当的状态变量，确定相应的系数矩阵。分两种情况讨论：第一种情况：方程（2.5）中不包含输入函数的导数微分方程形式为： （2.6）ubyayann)1()(、选择状态变量一个 阶系统，具有 个状态变量，因为当给定 和n )0(,)(,01n
7、y的输入 时，系统在 时的运动状态就完全确定，所以选择0t)(tu0t为系统的一组状态变量令1,ny（2.7）)1(21nyx、将高阶微分方程（2.5）化为状态空间表达式（2.8）n nnnxy ubxaax 2121121000当矩阵具有形如（2.8）式的形式时，称为友矩阵，友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为；最后一行元素可取任意值；其余元素均为零。第二种情况：方程（2.5）中包含输入函数的导数线性连续时不变系统输入输出的时域模型一般形式： ububyaya nnnnnn )1()(0)1()(、选择状态变量（2.9） uuyxuyxnnn )1()(0)(1 12310423201其中
8、可由下式计算，即i,0,（2.10）0210210nnnaab、系统状态空间表达式系统状态方程：（2.11）uxxaaxxX nnn 321121321 00系统输出方程：（2.12）uxxyn032101(3) 由系统传递函数化为状态空间描述控制系统的传递函数为：（2.13）nnassabbsUYW11)(分两种情况讨论：第一种情况：控制系统传递函数的极点为两两相异把式（2.13）化为部分分式形式： （2.14）nsksskUYsW21)(其中： 为系统中两两相异的极点， 为待定常数，通过下式ns,21 ,1计算求得： （2.15）)(limissk可得到系统状态空间表达式为：（2.16）u
9、xxssxxnnn 11212112 （2.17）nnxkky121121第二种情况：控制系统传递函数的极点为重根设式（2.13）的极点仅有一个重根将其化为：（2.18）1121)()()( sksksUYsWnnn其中 为待定常数，通过下式计算求得： nk,21（2.19）nisWdsi nisi ,2)()!1(lm11 可得系统状态空间表达式为: (2.20) uxxssxxnn 10121112 (2.21)nxxkky12112(4) 由系统状态变量图列写状态空间描述 状态变量图：由积分器、加法器和放大器构成的图形表示。 意义：状态变量图既描述了状态变量之间的相互关系，又说明了状态变
10、量的物理的物理意义，它是系统相应方块图拉氏反变换的图形。 绘制状态变量图的方法设二阶系统的传递函数为： 212)(asbsUY将上式分子分母同除以 ，令 ，得2s)(12a（2.22）)()()(21sssbY根据式（2.22）可画出系统方块图（图 2.1）与系统状态变量图（图 2.2） 。S- 1b2S- 1- 1- 2b1 ( s )U ( s )Y ( s )图 2.1 二阶线性系统方块图u ( t )y ( t )b2- 1- 2b1图 2.2 二阶线性系统的状态变量图同理，设 n 阶线性系统的传递函数为：（2.23）nnnassabbsUYW11)(将式（2.23）分子分母同除以 ，
11、令 ，得n )()(1sUn（2.24） )()()()(211 sasassbbbYnn 根据式（2.24）可画出系统方块图（图 2.3）与系统状态变量图（图 2.4） 。u ( t )y ( t )bn- 1- 2b2b2- ny t )S- 1S- 1S- 1图 2.3 n 阶线性系统方块图u ( t )y ( t )bn- 1- 2b2b2- ny t )x1xn - 1xn图 2.4 n 阶线性系统状态变量图 由状态变量图列写状态空间描述的步骤:A. 由已知条件画系统状态变量图。B. 选择每个积分器的输出作为一个状态变量。C. 依据状态变量图，列写出系统考虑 n 阶线性系统（2.23
12、） ，由状态变量图 2.4，列写其状态方程与输出方程，有 uxaxaxxnnn 1211321即（2.25）uxaaxx nnnn 1000121121121 （2.26）nnxbby 211(5) 由系统方块图列写状态空间描述 由系统方块图导出状态空间描述的步骤A. 将系统方块图中的各个环节均化为典型环节：积分环节和一阶惯性环节。B. 把每个积分器的输出选为状态变量拉氏变换，并列写每个典型环节的传递函数。C. 拉氏反变换得一阶微分方程组。D. 写成矩阵向量形式，得到状态空间表达式。 典型二阶系统状态空间描述Y ( s )1ssU ( s )x1( s )x2( s )图 2.5 控制系统方块
13、图1）列写每个典型环节的传递函数1)()(121sxsUs2）叉乘拉氏反变换得一阶微分方程组 )()(2121sxssx拉氏反变换为 ux212由图可知 1y3）用向量矩阵形式表示 212100xyu5. 状态向量的线性变换(1) 系统状态空间描述的非唯一性对于给定系统，状态变量的选择不唯一，若 X 是系统一个状态向量，则必存在一个非奇异矩阵 P，对 X 作线性变换（坐标变换） ，则 也是一PX1个状态向量。已知： DuCXyBA对原状态变量作线性变换，得到新的状态空间描述： uPy11即： DXCBA其中： CPBAP,11(2) 系统特征值的不变性特征方程： 系统 ，其特征方程就是系统矩阵
14、 A 的特征方),(D程，即 0AI其中，I 为单位矩阵。系统特征值：特征方程的根称为系统特征值。系统特征值的不变性原系统 ),(),( DCBADCBAXP变即经过线性变换后的系统，有 0 0 111AI IP所以，同一系统，经非奇异变换（坐标变换）后，其特征值不变。 特征向量：系统矩阵 A 对应于特征值 的特征矢量 ，满足：iiP（其中 为 列向量）iiPi1n(3) 将状态方程化为规范型 将状态方程化为对角线规范型A. 当矩阵 A 的特征值两两相异且 A 矩阵具有任意形式定理：对于系统 ，设其特征值 两两相异，则存在线),(DCBn,1性变换 ，将系统化为如下对角线规范型：XPBuPXu
15、BAn121其中，变换矩阵 ， 为特征值 所对应的特征矢量。nP1iiB. 当矩阵 A 的特征值两两相异且 A 矩阵为友阵定理：当系统矩阵 A 两两相异且 A 矩阵为友阵时，将其化为规范型的变换矩阵是一个范德蒙德矩阵，即已知： ，1100aan 则变换矩阵 （范德蒙德矩阵）112nnP C. 当矩阵 A 的特征值有重根，且对应于重特征值的线性无关的特征向量数目等于重特征值数，那么矩阵 A 可以化为对角线规范型。（但这种情况很少见。 ） 将状态方程化为约当规范型A. 当矩阵 A 的特征值有重根，且对应于重特征值的线性无关的特征向量数目小于重特征值数，那么矩阵 A 可以化为约当规范型。四、典型例题
16、例 2.1 以恒压 u 为驱动的电网络如图 2.6 所示。选择电感 L 上的支路电流和电容 C 上的支路电压 作为状态变量时，求它的状态空间表达式。又输出Li C是图 2.6 中所示电容 C 上的支路电压 y。R1R2uy2yLCiLiCuC+-图 2.6 电网结构图解 采用机理分析法求状态空间表达式。此题根据基尔霍夫定理，列方程得：uiRidtLCC21)(因为 不是系统的状态变量，所以需要将 代入上式，消去 ，即Ci tCiudtCRtuiRiLL21解得 )()()( 12121211tuRLiRLuRLiCuC将上式写成矩阵向量形式，为 uRLCiuRLRLiuC )()()( 212
17、1211输出方程为 LCCiuy0例 2.2 试求图 2.7 所示的电网络中，以电感 L1、L 2 上的支路电流 x1、x 2 作为状态变量的状态空间表达式。这里 u 是恒流源的电流值，输出 y 是 R3 上的支路电压。x1x2L1L2uyR2R1R3图 2.7 RL 电网络解 采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程，即 3211321)(/)(RxyRLux整理得状态空间表达式为: uLxLx 0123221121213xRy例 2.3 图 2.8 所示的机械运动模型中，M 1、M 2 为质量块（同时也为质量） ，K1、K 2 为弹簧，也为弹性系数，B 1、B 2 是阻
18、尼器，列写出在外力 f 作用下，以质量块 M1 和 M2 的位移 y1 和 y2 为输出的状态空间表达式。M1M2K1K2B1B2y1v1y2v2f图 2.8 机械运动模型图解 弹簧 K1、K 2，质量块 M1、M 2 是储能元件，故弹簧的伸长度 y1 和 y2，质量块M1、M 2 的速度 v1，v 2 可以选作状态变量。由结构图 2.8 可以直接看出，它们是相互独立的。选 ，1yx2，dtv3 dtyvx24根据牛顿定律，对于 M1 有： dtyBKdtyByKt 11122)()( 对于 M2 有： )()(12122 dtyByKfdtv把 及 u=f 代入上面两个式子，经整理可得：yx
19、yx41321, 1242322124 42321212342 )()(fMxBxMKx xB写成矩阵向量形式： fMxBMKMx 243212222 211214321 0)()(00指定 ， 为输出，所以12 4321210xy例 2.4 图 2.9 是直流他励电动机的示意图。图中 R、L 分别为电枢回路的电阻和电感，J 为机械旋转部分的转动惯量，B 为旋转部分的粘性摩擦系数。列写该图在电枢电压作为控制作用时的状态空间表达式。RLJBuMwi图 2.9 自流电动机示意图解 电感 L、转动惯量 J 是贮能元件，相应的物理变量电流 i 及旋转速度 w 是相互独立的，可选择为状态变量，即，ix1
20、w2则由电枢回路的电路方程，有 ueRidtL由动力学方程有 iKBwtJa由电磁感应关系，有 eb式中，e 为反电动势； 为转矩常数和反电动势常数。baK,把上面三式整理，改写成： wJBiKdtuLRiab1把 ， 代入，有ix1w2 uLxJBKLRxab01221若指定角速度 为输出，则w212xy例 2.5 已知系统的微分方程（1） uyy40719628（2） 53（3） u试列写出它们的状态空间表达式。解 （1）选择状态变量 ，则有321,xyxy132321 40896740xyux状态空间表达式为: 321321321040896740xy uxx（2）已知 。按照式（2.1
21、0）求出0,5,3232101 bba503121321ab所以由式（2.11）和式（2.12）可以直接写出状态空间表达式为 uxyuxx5012303131321（3）对题中微分方程在零初始条件下取拉氏变换得 )(1()2(2sUsY所以： sssU23)(32根据式（2.25）和式（2.26） ，可直接写出系统状态空间表达式：321321321000xyuxx例 2.6 已知系统的传递函数，试建立系统的状态空间描述。（1） 61)(23ssUYsW（2） 049)(23（3） 32)(15s（4） 2)()W（5） 32)(15)(ss解：（1） 321)(2)(6) sksk其极点为：
22、3,12ss)(6lim)(li11 Wkss )3(li)2(li2 sss )2(16li)3(li3 kss因此，其相应的状态空间表示式为：，uxx13021232 3216xy（2） 3212)3()1(6) skskssW其极点为： ,26)3(2049lim)1(li 31 sskss 18)(1li)2(li 32Wss 5)2(049li)(li 33 skss因此，其相应的状态空间表示式为： uxx13021232xy518632（3） )()()2()(152) 121313 sksksW95limli21 kss 13)4()15(2dss li2li 2213sssk因
23、此，其对应的状态空间描述为： uxx1020133213219xy（4） )2()()1)()2(1)( 2121 skskssW)(lim)(li 211kss 4)(li)(li 21212 dss )(li)(li 2221 Wkss 4)1(lim22ds所以，写成状态空间表达形式为： uxx102014314321432xy（5） )2()()2(1)2(15)( 32313 skskssW8)(lim)(li 311 kss 19)52li)(li3221 sss 6)15(li2dks 8)(lim223ss所以，写成状态空间表达形式为：uxx102014314321432861
24、98xy例 2.7 某随动系统的方框图如图 2.10 所示，列写其状态空间表达式。k 1sTmsm1x 1x 2x 3yu解 由系统方块图，可得： )()(1)()(1)( 213322 sxsukTsxsxm对上式进行拉式反变换得 )()(1)()()(1)(321332 tuTktxtTtxktxtxt mmm状态空间表达式为： )(0)(10)( 321321 tuTktxtTktxt mmm3210xy例 2.8 试将下列状态方程化为对角线规范型。（1） uxx10650221（2） xx9432321 解：（1）1）求特征值 0)5(165AI解得： ,122）求特征向量当 时，有1
25、 21211650pPA解得： 1P当 时,有51 21212 5650pPA解得： 512P3）构造变换矩阵 ,并求 ；1，5P4151P4）求 BA,4150111BPA所以得到对角线规范型： uxx4150122（2）1)计算特征值 0)4(3)2(4269264103 AI解得： ,3,12）构造变换矩阵 P,16943221536871P3) 求 BA, 2140321BPA4）变换后的状态方程为对角规范型： uXX21403例 2.9 试将下列状态方程化为约当规范型。（1） uX10320（2） 2135714u解（1）1）求矩阵 A 的特征值 0233210I解得： ,12）求变
26、换矩阵 P当 时，根据11A3123120p求得 1P再求对应于 时的另一个广义特征向量，根据 ，求得 212PA102P当 时，根据 ，求得233AP423P所以4120P3）求变换后的状态方程为对角规范型：，2011AP91321BP（2）1）求矩阵 A 的特征值 0)3(131242I解得： ,212）求变换矩阵 P当 时，根据11A31231204p求得 120P同理，当 时，根据 ，求得322PA12再求对应于 时的另一个广义特征向量，根据 ，求得3 323PA03P所以，012P211P3）求变换后的状态方程为对角规范型：，3011AP2518431BP则得约当规范型为 21584
27、301uX五、同步训练1、试求三阶微分方程 表示的系统的状态方程。 )()()( tudxtcxbta2、设系统的微分方程为 ，试写出系统的状态空间描述。yy233、求 的状态空间描述。32)(15)(ssW4、求写出 的对角线规范型。64)23s5、已知线性定常系统状态方程为： uXX327120试将其化为对角线规范型。6、已知系数矩阵为： 5160A求将其化为规范型的变换矩阵 P。7、已知系统 CXyBuAX,， ，04121B1C将其划为规范型。8、已知系统的方块图，求出系统的状态空间描述。U ( s )Y ( s )61/s29、已知系统的状态变量图，试写出其状态空间描述。u ( t
28、)y ( t )dcb ax2x110、已知系统方块图，输入变量和输出变量分别为 u 和 y，试求出系统的一个状态空间描述？Y ( s )U ( s ) 1s210ss2x1( s )x2( s )x3( s )六、同步训练参考答案1、 uaxbacdx100132322、uxx10321023232xy3、 4321432143218619800xyuxx4、 3213213210xyuxx5、 ， ，10P011P所以， ，021A251BP6、 941620P7、 ， ，20A10B1C8、 uxx60116032321321xy或 ，uxx1032321 3217625xy9、 ，dcba2121 210x10、 uxx1020133232xy
