1、效率与生产力分析中心(CEPA)工作报告DEAP 2.1 版本指南: 数据包络分析（计算）程序Coelli T.JNo.8/96澳大利亚，NSW2351，阿米代尔新英格兰大学，计量经济学系CEPA 工作报告http:/www.une.edu.au/econometrics/cepawp.htmISSN1327-435XISBN 1 86389 4969目 录摘 要 31.INTRODUCTION 说明 .42.EFFICIENCY MEASUREMENT CONCEPTS 效率测度的概念。 52.1 Input-Orientated Measures 投入主导型的测度 .62.2 Output
2、-Orientated Measures 产出主导型测量方法 .93.Data Envelopment Analysis(DEA)数据包络分析 .123.1 The Constant Returns to Scale Model(CRS) 规模报酬不变模型 .13Slacks 松弛变量 15Example 1 例子 1.193.2 The Variable Returns to Scale Model (VRS)and Scale Efficiencies 规模收益变化模型（VRS）和规模效率 .22Calculation of Scale Efficiencies 规模效率的计算 23Exa
3、mple 2 例子 2 .253.3 Input and Output Orientations 投入和产出主导型 263.4 Price Information and Allocative Efficiency 价格信息和配置效率 .29Example 3 例子 3.303.5 Panel Data,DEA and the Malmquist Index 面板数据，DEA 和Malmquist 指数 31Scale Efficiency 规模效率 .34Example 4 例子 4.344.The DEAP Computer Program DEAP 计算机程序 .35Data file
4、数据文件 .36Instruction file 向导文件 37Output file 输出文件 .385.Examples 例子 385.1 Example 1:An Input-orientated CRS DEA Example 例子 1：一个 CRS 投入主导型 DEA 例子 395.2 Example 2:An Input-orientated VRS DEA Example 例子 2：一个 VRS 投入主导型的 DEA 模型例子 .435.3 Example 3:A Cost Efficiency DEA Example 例子 3：成本效率 DEA 例子475.4 Example
5、4:A Malmquist DEA Example 例子 4：Malmquist DEA 例子 496.Concluding Comments 结束语 53REFERENCES 参考文献： 53APPENDIX 附录 .55Tips on using DEAP in File Manager in Windows 3.1: 在 Windows 3.1 的 File Manager 使用 DEAP 的小贴士： .56摘 要这篇论文描述了一个程序，这个程序是用来实施数据包络分析（DEA） ，以此来计算生产中的效率。程序中实施的方法是基于 Rolf Fare，Shawna Grosskopf和他的同
6、事的工作。计算程序中有三个主要的选择。第一个包括标准的 CRS和 VRS 两个 DEA 模型（这包括了技术效率和规模效率的计算） ，这两个模型是Fare, Grosskopf and Lovell(1994)设计的。第二个选择考虑了这些模型的延伸，即说明成本和配置效率。这些模型也是 Fare et al(1994)设计的。第三个选择考虑到了 Malmquist DEA 模型的使用，这个模型是用面板数据来计算全要素生产率变化（TFP） 、技术进步、技术效率变化和规模效率变化的指数。后面所说的模型 Fare,Grosskopf,Norris and Zhang(1994)曾经讨论过。所有的模型无论
7、在投入主导型还是产出主导型（除了成本效率）都能够获得。1.INTRODUCTION 说明这个指南描述了一个实施数据包络技术的计算机程序。DEA 模型是运用线性规划的方法通过建造一个非参数分段的面（前沿） ，然后相对这个面计算效率。计算机程序能够考虑模型的多样性。三个主要的选择是：1.标准 CRS 和 VRS 的数据包络分析模型，它们包括技术效率和规模效率的计算（当规模效率适合） 。这些模型是 Fare,Grosskopf and Lovell(1994)构造的。2.上述模型的延伸，考虑了成本和配置效率。这些模型也是 Fare et al(1994)构造的。3. 第三个选择考虑到了 Malmqu
8、ist DEA 模型的使用，这个模型是用面板数据来计算全要素生产率变化（TFP ） 、技术进步、技术效率变化和规模效率变化的指数。这些方法 Fare,Grosskopf,Norris and Zhang(1994)曾经讨论过。这些方法无论是在投入主导型还是在产出主导型（除了成本效率）都是能够获得的。当合适的时候，程序的结果可以包括技术、规模、配置、成本效率的估计值；还有松弛变量的残值；对应点；全要素生产率和技术进步变化指数。 文章可以分为以下几章。第二章给出了 Farrell(1957);Fare,Grosskopf and Lovell(1985,1994)等关于效率测度概念的简短的介绍。第
9、三章概述了这些思想是怎样通过 DEA 方法实现实证研究的。第四部分描述了计算程序，DEAP。第五章给了一些运用程序的例子。最后，在第六章，总结了要点。附录里面包含了程序所用的重要技术方面的概述。2.EFFICIENCY MEASUREMENT CONCEPTS 效率测度的概念。这章的主要目的是概述一些常用的测度效率的方法，并且讨论了相对于技术有效（通常由某种形式的前沿机构所代表）怎样计算出他们。过去的 40 年里，我们运用个很多不同的方法估计前沿效率。两个有代表性的方法是：1.数据包络分析2.随机前沿法他们分别包含了数学规划和计量经济学的方法。这篇论文和 DEAP 计算机程序是关于 DEA 方
10、法的。计算机程序 FRONTIER 可以通过随即前沿法估计前沿效率，想得到更多关于 FRONTIER 请看 Coelli(1992,1994)的研究。这章对现代的效率测度给了一个简短的介绍。更详细的方法请参考 Fare, Grosskopf and Lovell (1985,1994)and Lovell(1993)的研究。现代效率测量是与 Farrell (1957)，他在 Debreu(1951)and Koopmans(1951)的工作的基础上定一个一个简单的测度公司效率的方法，这个方法考虑了多投入。他认为公司的效率可以分为两个部分：技术效率，反映了公司在给定投入的情况下所能获得的最大的
11、产出的能力。另一个是配置效率。它反映了给定各自投入价格的情况下使用最优比例的能力。两个测量结合起来给出了总经济效率的测度。接下来的讨论从 Farrell 最初的想法开始，这个想法产生于投入，然后关注于投入的减少。这通常被称为投入主导型。2.1 Input-Orientated Measures 投入主导型的测度Farrell 通过一个简单的例子阐述了他的观点。这个例子假设一个公司的规模报酬不变，使用了两个投入（x1 和 x2）生产单一的产出（y）已知全效率公司的单位等产量曲线，由数据 1 的 SS代表，允许技术效率的度量。如果给定的公司用一定数量的投入，由 P 点所定义，去生产一单位的产出，公
12、司的技术无效可以有 QP 的距离所表示，它就是在不减少产出的情况下，所有的投入按比例减少的数量。这通常由百分数 QP/OP 的比率表示，它代表了所有投入减少的百分比。公司的 技术效率 通常由TEI=OQ/OP （1）也就是 1 减去 QP/OP1。它取值 01，因此提供了公司技术无效的指标。1 代表完全的技术有效，例如，Q 点就是技术有效的，因为他在效率曲线上。数据 1 技术和配置效率如果投入的价格的比率由数据 1 的 AA表示，那么配置效率也就算出来了。P点运作的公司的配置效率由下面的比率给出定义。AEI=OR/OQ （2 ）因为 RQ 的距离代表如果生产发生在配置有效的点 Q,而不是技术有
13、效但是配置无效的 Q 点，那么就可以降低生产成本。总经济效率（EE）可以由下面的比率EEI=OR/OP （3）RP 的距离可以解释为成本降低。注意，技术和配置的效率给出了总的经济效率，TEI*AEI=（OQ/OP）* （OR/OQ）=（OR/OP）=EE I （4）数据 2分段线性等量曲线这些效率测量假设完全有效率的公司是已知的。在实践中，这并不是问题，效率等量曲线是从样本数据中估计出的。Farrell 认为无论是使用非参数分段线性等量曲线（没有观测的点在它的左边或下边） （参考数据 2） ，还是参数形式，比如柯布道格拉斯形式，相对应的数据也都没有在它左边或者下边的。Farrell用美国 48
14、 个洲的农业数据给出了他的方法的一个例子。2.2 Output-Orientated Measures 产出主导型测量方法上述投入主导型技术效率测量方法提出了一个问题：在不减少产出数量的同时，能按比例减少多少的投入？人们也可以问这样的问题：不改变投入数量的同时，产出数量可以按比例增加多少呢？这是一个与上面阐述的投入主导型测量方法相反的产出主导型测量方法。投入主导型测度方法和产出主导型测度方法可以用仅包含一个投入和一个产出的简单例子进行阐述。数据 3（a）描述了这一问题。我们有一个规模收益递减的函数 f（x） ，和一个在 P 点运行的无效率的公司。Farrell 的投入主导型测量方法中的 TE
15、与图中的 AB/AP 是相同的，然而产出主导型测度方法的 TE 是 CP/CD。仅当规模收益不变的时候，产出主导型和投入主导型测度方法的技术效率是相等的。但是存在规模报酬递增还是递减的时候就不相等。数据 3（b）描述了规模报酬不变。我们可以看到AB/AP=CP/CD，对于任意无效率的 P,我们都可以选择。数据 3投入和产出主导型技术效率测度方法和规模收益我们可已通过考虑包括两产出（y1 和 y2）和一投入（x1）来进一步考虑产出主导型测度方法。再一次，我们假设规模报酬不变，我们可以用一单位产品可能曲线（产品等量曲线）的两个方面来表示技术。数据 4 描述了这个例子，ZZ就是单位产品可能曲线，点
16、A 是无效率的公司。注意，无效率的点 A，在曲线下方，因为 ZZ代表最高的生产可能线。数据 4产出主导型的技术和配置效率Farrell 的产出主导型测度模型可以如下定义。在数据 4 中，AB 的距离代表技术无效。这就是，在不增加额外的投入的基础上，可以增加多少产出。因此，产出主导型的技术效率就是这个比率。TE0=OA/OB （7）如果我们有价格的信息，我们就可以画等产量曲线 DD，并定义配置效率为AE0=OB/OC （8 ）他有一个使收益增加的定义（类似于投入主导型的减少成本的配置无效的定义） 。进一步，我们可以定义总体经济效率为两个测度的综合：EE0=（OA/OC）=（OA/OB）*（OB/
17、OC）=TE 0*AE0 （9）这三个测量也都在 01 之间。在总结这章之前，关于我们定义的六个效率测度有两点我们需要说明。1）所有的测度都是从原点到实际观察到的生产点的射线。因此，他们都有相对恒定的投入（产出）比例。这种射线的效率测度的优点是他们都是单位不变的。这就是变化度量的单位（例如：测量劳动数量用人时而不是人年）将不会改变效率值。非射线的测度，比如较短的生产点到生产面的距离，可能是被要求的，但是测度将相对选择的测度单位而不是恒定的。在这种情况下，改变测度单位可能导致发现一个不同的更近的点。当我们考虑 DEA 的松弛变量的时候，在我们将对这一问题进行深入的研究。2）Farrell 的投入
18、主导和产出主导技术效率的测量与 Shepherd(1970)的投入产出距离模型可以看做是等价的。想知道更多请看 Lovell(1993,p10)。当我们运用 DEA 计算全要素变化的 Malmquist 指标的时候，这项观察变得重要。3.Data Envelopment Analysis(DEA)数据包络分析数据包络分析是前沿估计的非参数数学规划方法。这里讨论的 DEA 模型是很简短的，只有相对很少的技术细节。想知道更多方法论的细节请参考 Seiford and Thrall(1990),Lovell(1993),Ali and Seiford(1993),Lovell (1994),Char
19、nes et al(1995)and Seiford(1996)的研究。Farrell(1957)的关于前沿估计的分段线性规划方法仅仅被 Farrell 论文后的 20年里少数的几个作者所推崇。作者，比如 Boles(1966)and Afriat(1972)，所推崇的数学规划方法可以完成任务，但是这种方法并没有引起人们的广泛关注，直到 Charnes,Cooper and Rhodes(1978)发表了论文，并且创造了数据包络分析这个词。从那以后，涌现了大量的拓展和运用 DEA 方法的文献。Charnes,Cooper and Rhodes(1978)提出了一个模型，这个模型是投入主导型并假
20、设规模报酬不变（CRS） 。接下来的论文提出了相反的假设，比如Banker , Charnes and Cooper(1984)提出了规模报酬变化的模型（VRS） 。接下来 DEA 的讨论从 3.1 的投入主导型的 CRS 模型开始，因为这个模型是最应该被广泛应用的。3.1 The Constant Returns to Scale Model(CRS) 规模报酬不变模型我们从定义一些记号开始。假设有 N 个公司或者像 DEA 文献里面叫的 DMU。每个公司有 K 个投入和 M 个产出的数据。对于第 i 个 DMU，他们分别由 xi 和yi 来代表，KN 的投入矩阵为 X，MN 的产出矩阵为
21、Y，代表了所有 N 个DMU 的所有数据。 DEA 的目的就是在数据点的基础上构造一个非参数的包络前沿，使所有的观测的数据都在生产前沿的上面或者下面。比如工业的一产出，两投入的简单例子，可以看做是一些相交平面，形成了一个涵盖三维空间的散点的紧紧的盖子。给出了规模报酬不变的假设，这可以由投入的单位等产量曲线代表。 （参考数据介绍 DEA 的最好的办法是通过比率的形式。对于每个DMU，我们都得到所有产出关于所有投入的比率的测量，比如：uy i/vxi，其中 u 是 M1 的输出权重矩阵，v 是 K1 的的投入权重矩阵。选择最优的权重就是数学规划要解决的问题。maxu,v(uyi/vxi),st u
22、yj/vxj1,j=1,2,.,N, u,v0 （10）这就包括了寻找 u 和 v 的过程，这样第 i 个 DMU 的效率测度就被最大化了，并且由于约束，所有的效率都是小于等于 1.一个特殊的比率的问题就是他有无限个解决办法。为了避免这个问题，我们就可以加入这样的一个假设 vxi=1,这就提出了：max, (y i), st x i=1,y j- xj0, j=1,2,.,N, , 0, （11 ）这里，符号由 u 和 v 变为 和 正反映了这种转变。这种形式在线性规划里面被称为乘数形式。使用线性规划的二元形式，我们可以得到这个问题的相等的形式。min,st -yi+Y0,xi-X0,0, 其
23、中 是一个标量而 是个 N1 的常数矢量，这个包络形式比乘数形式少了很多的约束（K+MN+1） ，也是我们愿意解决的形式。 其中 的值就是第 i 个DMU 的效率分数。要满足 1，1 代表前沿效率上的点，也就是技术有效的DMU，这是 Farrell(1957)的定义。注意，线性规划问题必须要解决 N 次，对于每个样本 DMU 都要计算一次，然后每个 DMU 都得到了 值。Slacks 松弛变量DEA 的非参数前沿分段线性形式会产生效率测度的一些不同的地方。问题的产生是因为分段前沿函数与坐标轴平行的部分。 （参考数据 2）这在大多数的参数模型里面是不存在的（参考数据 1） 。为了阐述这一问题，参
24、考数据 5，其中DMU 的投入包括 C 和 D 是两个有效率的 DMU，他代表了前沿。DMU 的 A和 B 是无效率的 DMU。根据 Farrell(1957)的技术效率测度， DMU A 和 B 的技术效率分别为 OA/OA and OB/OB。然而，问题是 A点是否是效率点呢。因为我们可以在得到同样产出的情况下减少投入的数量 x2， （通过 CA） 。这在文献里称做投入松弛变量。当我们考虑更多投入和更多产出的情况时，图示就不再简单了，并且相关的概念产出松弛也是可能发生的。因此，在 DEA 的分析中，提供 Farrell 的技术效率测度（ ）和非零的投入或产出松弛变量，以此来提供准确的 DM
25、U 的技术效率指标，这件事是值得争论的。注意，对于第 i 个DMU 的产出松弛变量仅仅当 Y-yi=0 的时候才等于 0，投入松弛变量也仅仅当xi-X=0 的时候才等于 0。 （对于给定的 和 ）数据 5效率测度和投入松弛变量在数据 5 中，与 A点相关的投入松弛变量就是投入 x2 的 CA。当简单的例子里面有更多的投入和产出的时候，我们就可以发现更近的效率前沿点（比如 C 点） 。因此，接下来的松弛变量的计算就不是没有意义的。一些作者建议用两阶段线性规划的方法去移动效率前沿点，通过最大化需要的松弛变量的总和，把无效的的前沿点（比如数据 5 的 A点）移动到有效率的点（如 C 点） 。两阶段线
26、性规划问题可以如下定义：min ,OS,IS -(M1OS+K1IS),st -yi+Y-OS=0,xi-X-IS=0,0,OS0,IS0, （13）其中 oS 是 M1 的产出松弛变量矩阵， IS 是 K1 的投入松弛变量矩阵，M1 和K1 分别是他们的 M1 和 K1 的矩阵。注意，在两阶段线性规划中， 不是变量，他的取值来于第一阶段。更进一步，我们要注意两阶段线性规划的问题对于 N 个 DMU 来说每个都要解决。有两个主要问题是关于两阶段线性规划的。第一个也是最显而易见的是松弛变量的总和是最大化而不是最小化。因此，我们找到的不是最近的效率点而是最远的效率点。第二个关于两阶段方法的主要问题
27、是对于计量单位来说他不是不变的。计量单位的改变，比如说更多的投入，从千克到吨（在其他计量单位不变的前提下） ，可以导致发现不同的效率前沿点和不同的松弛变量和更多的测度方法。然而，我们也要注意，在数据 5 中的简单的例子里有两点并不是问题所在。因为在垂直面上仅有一个效率点。然而，如果松弛变量发生在两个或者更多维的结构直面上仅有一个效率点。然而，如果松弛变量发生在两个或者更多维的结构中（这是经常发生的）上述问题就会发生了。（Charnes,Cooper,Rousseau 和 Semple(1987)设计了一个单位不变的模型，在这个模型里松弛变量的单位价值和第 i 个公司的使用的投入或者产出的数量成
28、反比。这能解决直接问题，但是由创造了另一个问题，因为这种方法没有足够的理由计算松弛变量的权重。 ）这个问题的结果是，许多研究仅仅解决第一阶段的线性规划问题（等式12） ，从而得到 Farrell 的每个 DMU 的辐射的技术效率值（） 。并且完全忽略松弛变量，或者他们记录辐射的 Farrell 的技术效率值（）和残余松弛变量，这个变量是这样计算的 OS=-yi+Y and IS=xi-X. 然而，这个方法并非能解决所有的问题，可能是因为残余松弛变量不一定提供所有的松弛（Koopmans）变量（例如，数据 5.5 中有一些观测点在前沿的垂直面部分上时） ，或者是可能不总是能找出每个 DMU 的最
29、近的效率点。在 DEAP 软件中，我们关于松弛变量给使用者三种选择。他们是：1.一阶段 DEA，我们在等式 12 构造线性规划模型并计算松弛变量残值。2.两阶段 DEA，我们用等式 12 和 13 构造线性规划模型。3.多阶段 DEA，我们构造一系列的辐射的线性规划模型以此来识别有效预测点。同其他两种方法相比，多阶段 DEA 方法计算复杂。然而，这种方法的优点是他能识别投入和产出混合的效率预测点，这些点与非有效点十分的相似，并且识别出的效率预测点相对于测度单位来说是不变的。因此，同另外两个方法相比我们推举使用多阶段的 DEA。我们在这个指南中说了很多关于松弛变量的问题，现在我们总结出我们也许夸
30、大了松弛变量的作用。松弛变量可以看做是用 DEA 方法来得到前沿结构和使用有限样本的人工品。如果我们能够得到 DEA 的无限样本，或者使用另外一个估计前沿结构的方法，这种方法有一个光滑的结构表面，那么松弛变量的问题就消失了。另外对于这个观察，我们接受 Ferrier and Lovell(1990)的观点是合理的。他们认为松弛变量可以看做是配置无效率。因此，我们相信技术效率分析可以合理的集中于在一阶段 DEA 线性规划（参考等式 12）中得到的辐射效率指数。然而，如果我们坚持想得到 Koopmans 效率预测点，我们就强力建议使用多阶段的方法而不是两阶段的方法，原因如上所述。Example 1
31、 例子 1我们用一个包括五个 DMU（公司）的简单例子阐述规模报酬不变投入主导型的数据包络分析。每个 DMU 都是两投入一产出，数据如下：表 1 规模报酬不变的 DEA 例子数据这个例子的投入产出比率在数据 6 中绘出，同时还汇出了 DEA 的同等式12 对应的前沿。我们可以记在心里，然而，这个 DEA 前沿是对 5 个 DMU 每个都计算一次线性规划的结果。例如，对于 DMU3 我们可以这样重新书写等式12.min,st -y3+(y1 1+y2 2+y3 3+y4 4+y5 5)0,x13-(x11 1+x12 2+x13 3+x14 4+x15 5)0,x23-(x21 1+x22 2+
32、x23 3+x24 4+x25 5)0,0, （14 ）where=( 1, 2, 3, 4, 5).和 的值在表 2 第三行中提供了最小的 值。我们注意到 DMU3 的技术效率值是 0.833。 DMU3 可以在不减少产出的情况下将投入降低 16.7%。这就意味着应该在数据 6 的 3点生产。这个估计点 3在 DMU2 和 DMU5 的连线上，它被认为是点 3 的对应点。他们定义了前沿相关部分的所在（例如与 DMU3 相关的）也就定义了 DMU3 的效率生产点。点 3是点 2 和点 5 的线性组合，线性组合的权重就是表 2 第三行的 值。数据 6规模报酬不变投入主导型 DEA 例子表 2规模
33、报酬不变投入主导型 DEA 的结果很多研究都讨论目标和对应点。 DMU 的目标也就是对应的效率投影点 3。这等于 0.833(2,2)= (1.666,1.666)。因此， DMU3 要得到 3 单元的产出就得要用 3(1.666,1.666)=(5,5)单元的两种投入人们可以对其他各个无效率的 DMU 进行类似的讨论。DMU4 的效率指数是 0.714，同 DMU3 一样有类似的对应点。DMU1 的效率指数是 0.5，DMU2就是他的效率的对应点。我们可以注意到，DMU1 的估计点在效率部分的上端，这个效率部分平行于 x2 的轴。因此，它不代表效率点（根据 Koopman 的定义。）因为我们
34、可以减低投入 x2 的 0.5 个单位（因此生产点就在点 2）仍旧能得到相同数量的产出。因此 DMU1 可以说为投入放射性浪费了 50%，并且有 0.5 单元的 x2 的（非放射性）投入松弛变量。这就导致了目标(x1= 1,x2=2)。那就是相对应的点 2.3.2 The Variable Returns to Scale Model (VRS)and Scale Efficiencies 规模收益变化模型（ VRS）和规模效率CRS 的假设仅仅在所有的 DMU 都在最优的规模上运作的时候才合适（例如：LRAC 曲线上的一个相应的平面部分） 。不完全竞争和约束，财务等等，可能导致 DMU 不在
35、最合适的规模上运作。Banker,Charnes and Cooper(1984)拓展了规模报酬不变的 DEA 模型为规模报酬变化的情形。当 DMU 没有在最优的规模上运作的时候，CRS 说明书的使用可能会导致技术效率的测度被规模效率所混淆。VRS 模型说明书将会允许剔除规模效率影响的技术效率的计算。CRS 线性规划模型可以通过增加凸性约束很容易的修改成 VRS 模型。对等式 12 增加的凸性约束为： N1=1 可以得到，min,st -yi+Y0,xi-X0,N1=10, （15 ）N1 是所有的 N1 的矩阵。这种方法形成了一个凸面，他能够比 CRS 的圆锥形的面更紧密的包络所有的数据，因
36、此获得的技术效率比使用 CRS 模型获得的技术效率高或者是相等的。VRS 规说明书是 20 世纪最受欢迎的说明书。Calculation of Scale Efficiencies 规模效率的计算许多研究把从 CRS 模型获得的技术效率分解成了两部分，一部分是因为规模无效率，一部分是因为纯技术无效。这可以在相同的数据上通过实施 CRS和 VRS 两个 DEA 模型来做到。如果对于一个特定的 DMU，两个技术效率不同，这就证明这个 DMU 存在规模无效。规模无效可以通过 VRS 的技术效率和 CRS的技术效率的不同来计算。数据 7 试图阐述这一问题。在这个数据里面我们有一投入一产出的例子，并且我
37、们画出了 VRS 和 CRS 的效率前沿。在 CRS 的投入主导型技术无效里，P 点的距离是 PPC，而在 VRS 模型里技术无效是 PPV。两者的不同 PCPV，就是规模无效率。我们可以用比率效率测度来表示这些。TEI,CRS=APC/APTEI,VRS=APV/APSEI=APC/APV所有的这些测度都在 01 之间。我们也可以注意到，TEI,CRS=TEI,VRSSEI因为APC/AP=(APV/AP)(APC/APV).这就是 CRS 的技术效率可以分解称纯技术效率和规模效率。数据 7DEA 中规模经济的计算规模效率方法的一个缺点就是他的值不能反映 DMU 是否运行在规模报酬递增或者规
38、模报酬递减的领域里。这可以通过运行一个非规模报酬递增（NIRS ）的额外的 DEA 模型来确定。这可以通过改变等式 15 的 DEA 模型来做到，将等式 15 的 N1=1 的限制替换成 N11 可以得到min,st -yi+Y0,xi-X0,N110, （16）NIRS DEA 前沿在数据 7 中绘出。一个 DMU 的规模无效率（例如：由于规模递增或者规模递减）的类型可以通过看 NIRS 的技术效率值与 VRS 的技术效率值是否一致确定。如果不相等（就是数据 7 点 P 的例子） ，那么这个 DMU 就存在规模报酬递增。如果他们相等（就是数据 7 点 Q 的例子） ，规模报酬递减适用。An
39、example of this approach applied to international airlines is provided in BIE(1994). BIE(1994)提供的国际航线的例子适用于这个方法。Example 2 例子 2这是一个简单的包括 5 个公司的例子，每个公司都用一种单一的投入生产单一的产品。数据在表 3 中列出，VRS 和 CRS 投入主导型 DEA 模型的结果在表 4中列出，在数据 8 中画出。假设我们使用投入主导型，效率通过数据 8 可以水平的测出。当我们假设是规模报酬不变的时候，我们观测到公司 3 是唯一的有效率的公司（在 DEA 的效率前沿上）
40、，但是当我们假设规模报酬变化的时候，公司 1，3 ，5 都是有效的。不同的效率方法的计算可以通过使用公司 2 来展示，因为公司 2 在 CRS 和 VRS两种模型下技术效率都是无效的。CRS 的技术效率等于 2/4=0.5，VRS 的技术效率是 2.5/4=0.625，规模效率等于 CRS 的技术效率和 VRS 的技术效率的比率，那就是 0.5/0.625=0.8。我们也可以观察到，公司 2 在 VRS 的效率前沿的规模报酬递增阶段。表 3规模报酬变化的 DEA 模型的例子数据表 4VRS 投入主导型 DEA 的结果数据 8VRS 投入主导型 DEA 例子3.3 Input and Outpu
41、t Orientations 投入和产出主导型在上面的投入主导型模型里面，我们在 3.1 和 3.2 部分讨论过的，这个模型试图把技术无效定义为按比例降低浪费的投入。这相当于 Farrell 基于投入方法计算的技术无效。正如在 2.2 部分所讨论的，我们也可能把技术无效作为按比例的增加产出来计算。在规模报酬不变的情况下两种方法的值是相同的，但是当规模报酬变化的时候就是不相同的（见数据 3） 。假设线性规划模型不会受到联立方程偏见这样的统计问题。合适方向的选择不会像计量经济学的估计例子那样至关重要。在很多的研究中，分析都倾向于投入主导型模型，因为很多的DMU 有特别的命令需要满足（比如发电） 。
42、因此投入的数量看起来是主要决定的变量，尽管这个论点可能不是在所有的工业中都是强烈的。在一些工业中，DMU 可能给定了固定数量的资源，被要求生产尽可能多的产出。在这种情况下，产出主导型就是比较合适的。必要的是我们选择方向的根据是那些数量是管理者能最大限度的控制的。进一步讲，在很多情况下，你会发现方向的选择会对得到的数据产生微弱的影响。(e.g.see Coelli and Perelman 1996).产出主导型的模型和投入主导型的模型非常的相似。考虑下面的产出主导型的VRS 模型的例子。max,st -y i+Y0,xi-X0,N1=10, （17）其中 1 ，-1 就是第 i 个 DMU 在
43、保持投入数量不变的前提下，产出所能增加的比例。注意，-1 定义了在 01 之间变动的技术效率指数（这就是DEAP 软件得出的产出主导型的技术效率）一个产出主导型的 DEA 的两个产出的例子，可以由一个分段线性产出可能曲线代表，正如数据 8 所展示的那样。注意，观测点在曲线的下方，曲线的一部分和坐标轴成直角，当生产点通过辐射状的膨胀产出线投影到这部分曲线时，就要计算产出的松弛变量。例如点 P 投影到点 P点，P点在前沿，但是却不是效率前沿上，因为在不增加任何产出的情况下，产品 Y1 可以通过 AP增加产量。AP就是产出 y1 的产出松弛变量。有一点需要强调，那就是产出主导型和投入主导型模型将会通
44、过定义准确的估计相同的前沿， ，识别出同一个 DMU 作为最有效率的。对于无效率的 DMU的效率测度方法在两个方法可能是不同的。两种方法我们将在数据 3 的第二部分展示，在那我们能观察到仅当规模收益不变时两者才能提供相同的效率值。数据 8产主导型的 DEA3.4 Price Information and Allocative Efficiency 价格信息和配置效率 如果我们有价格的信息，我们就会考虑行为目标，比如成本最小或者产出最大，这样我们就既可以测度技术效率又可以测度配置效率了。对于 VRS 的成本最小化的例子，我们将使用等式 15 包含的投入主导型的 DEA 模型来计算技术效率。我们
45、然后运行下面的成本最小化的 DEA 模型。min,xi* wixi*,st -yi+Y0,xi*-X0,N1=1 0, （23 ）其中 wi 是第 i 个 DMU 的投入价格矩阵，x i*（由线性规划模型计算出）是在给定的投入价格 wi 和产出水平 yi 的情况下，能使第 i 个 DMU 达到成本最小化的投入数量。总的第 i 个 DMU 的成本效率或者是经济效率就可以这样计算CE=wixi*/wixi。那就是用成本最小的比例观测成本。我们然后可以运用等式 4 去计算配置效率残余，为AE=CE/TE。注意，这种计算方法不会对配置效率的测度产生任何松弛变量。这在松弛变量反映不合适投入比例的背景下总
46、是合理的。我们也注意到我们也可以用同样的方式考虑产出混合选择的收入最大化和配置无效率。详见 Lovell(1993,p33)对此的讨论。要注意这个收益效率模型在DEAP 里面不能实施Example 3 例子 3在这个例子里面我们使用例子 1 里面的数据，并增加信息，就是所有的公司投入 1 和投入 2 的价格分别都是 1 和 3.因此我们在数据 6 上画一条斜率为-1/3 的成本曲线，他在数据 9 上与等产量曲线相切。从表中我们可以看到公司 5 是唯一成本有效率的公司，并且所有的其他公司在某种程度上都存在配置无效率。各种不同的成本效率和配置效率都在表 5 中列出了。这些效率的计算可以用公司 3
47、来展示。我们早就发现公司 3 的技术效率是通过从原点（O ）到 3 的射线计算的，他的比率就是 0 到点 3的距离比上 0 到点 3 的距离，等于 0.833。配置效率就是 0 到 3的距离比上 0 到 3的距离为 0.9。成本效率就是 0 到 3的距离比上 0 到 3 的距离为 0.75。我们也可以这样计算 0.8330.9=0.750。数据 9CRS 成本效率 DEA 例子表 5CRS 成本效率 DEA 的结果3.5 Panel Data,DEA and the Malmquist Index 面板数据，DEA 和 Malmquist 指数当我们有面板数据的时候，我们就可以使用类似 DEA
48、 的线性规划和一个（基于投入或者产出）Malmquist TFP 指数来测度生产力的变化，并把生产力的变化分解成技术进步和技术效率的变化。Fare et al(1994)定义了一个基于产出的 Malmquist 生产力指数如下：它代表和生产点(x t,yt)相比较的生产点(x t+1,yt+1)的生产力。 比 1 大的值代表从 t到 t+1 时期的一个正的 TFP 增长。事实上，这个指数就是两个基于产出的Malmquist TFP 指数的等比中项。一个指数使用 t 时期的技术和另一个时期 t+1的技术指数。为了计算等式 24，我们必须计算有四个部分的函数，他包含四个线性规划（他们的构造类似于计算 Farrell 的技术效率的方法。 ）的问题。我们假设规模报酬不变（我们之后会进一步的分解来观察规模效率的问题）用于计算 d0
