1、 1二次根式培优专题一、 【基础知识精讲】1.二次根式：形如 （其中 ）的式子叫做二次根式。a2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：被开方数中不含开方开得尽的 ； 被开方数中不含 ； 分母中不含 。3.同类二次根式：二次根式化成 后，若 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的性质：（1） （ ） 2= （其中 ） （2） （其中 ） aa2aa5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最
2、简二次根式再合并同类二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除） ，将被开方数相乘（除） ，所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。 ab= （其中 , ） ； = （其中 , ）.abbaab（4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如 的有理化因式就是3，3的有理化因式可以是 也可以是 ， 的有理化因式就是 .882baba（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算（6）二次根式的加减乘除运算，最后的结
3、果都要化为最简二次根式6.双重二次根式的化简：二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是：设 ，且 ，则0,0,yayx bxya,222 )()(2)(2 yxxba 2yxba2如：要化简 ， 656325， 232652）（但要注意最后的结果是正数，所以不能是二、 【例题精讲】类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）A B C D45314122、二次根式 有意义时的 的取值范围是 。12xx3、已知： ，则 = 。12y 201)(yx类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简）1、实数在数轴上的位置如图 1 所示，
4、化简|a-1|+ = 。2)(a2、把 的根号外的因式移到根号内得 ；343、化简： ；x14、化简 。222 )7()57()(5、化简 = 。676、代数式 的最大值是 。 243x类型三：考查同类二次根式与最简二次根式（化简）把 ， ， ， 按由大到小的顺序排列为： 31271521类型四：考查二次根式的运算（加减乘除混合运算、分母有理化）1、若 ， ，则 a 与 b 的关系是（ ）a3bA互为相反数；B互为倒数；C互为负倒数；D以上均不对。2、计算： 109431211 （图 1）3【同步练习】一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1下列说法正确的是（ ）A 若 ， 则 a0 D
5、0ba5 （2005湖北武汉）已知 ab，化简二次根式 的正确结果是（ ）b3A B C D6把 根号外的因式移到根号内，得（ ）m1A B C Dm7下列各式中，一定能成立的是（ ）A B22)5.().( 22)(aC D1-xx 39xx8若 x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）A B C D02y03y02y0y9当 时，二次根 式的值为 ，则 m 等于（ ）3x752xm5A B C D10已知 ，则 x 等于（ ）1082xA4 B2 C2 D4二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）11若 不是二次根式，则 x 的取值范围是 5x12 （2005江西）已知 a2， 2)(a1
6、3当 x= 时，二次根式 取最小值，其最小值为 114计算： ； 8271 )327483(15若一个正方体的长为 ，宽为 ，高为 ，则它的体积为 cm6cm3cm16若 ，则 43xyy17若 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 a418若 ，则 m 的取值范围是 3)3(m19若 yxyx则,421,220已知 a，b，c 为三角形的三边，则 = 222 )()()( acbacba三、化简（前 5 题每小题 6 分，后两题每题 7 分，共 44 分）21 22. 21482 3)15427685(23. 24. xx3)1246( 21)(2(1825已知： ，求 的值。132x12x
7、26已知： 。 22,2181 xyxyxy27、阅读下面问题： ；12)(121;3)(3(21 25)(5试求： 的值； 的值； （n 为正整数）的值。6717215【培优练习】一、二次根式的非负性1若 ，则 =_204205aa2042代数式 的最小值是_13x3已知 ，求代数式 的值8y xyxy24若 适合关系式 ，求 的值m352319xymyym二、二次根式的化简技巧（一）构造完全平方1、 2222222 )1()(1)(1)(n)1()1()( nnnn由化简得 _22（拓展）计算 22222 0413143111 2化简： 52523yy3化简 41864化简： 236（二）
8、分母有理化1计算： 的值4974917513513 2分母有理化： 53263计算： 32132三、二次根式的应用（一）无理数的分割1设 为 的小数部分， 为 的小数部分，则a53b363的值为（ ） （A ） （B ） （C ） （D）b212641128322设 的整数部分为 ，小数部分为 ，试求 的值51xy22xy3设 的整数部分为 ，小数部分为 ，试求 的值983ab1ab（二）性质的应用1设 、 、 均为正整数，且 ，则 =_mxy yxm28mx2设 ， ，则（ ）2x 2y（A） （B） （C） （D ） 不能确定yxx7（三）有二次根式的代数式化简1已知 ，求 的值)56()2( yxyx yx322已知 ，求 的值。35xyxy23xy3已知： ， ，求： 的值78x78yyx24已知 ，求 的值321aaa22115已知： ， 为实数，且 求 的值ab22a22ab8
