1、全国卷函数与导数试题的命题特点及2018届复习策略和建议,南昌二中 孙庆宏,一、总体认识（研究考纲、教材、考题） 二、规律探索（总结解题思路与方法） 三、应对策略（复习建议、实践反思）,（一）考纲的角度,（二）教材的角度,（三）试题的角度,一、总体认识（研究考纲教材考题）,（文）（十六）导数及其应用 （4）能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. （理）（十七）导数及其应用 （4）能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数（仅限于形如 复合函数）的导数.,考试说明要求,导数及其应用（文
2、理） （5）了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 （其中多项式函数不超过三次）. （6）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值 （其中多项式函数不超过三次） （7）会用导数解决实际问题.,从高等数学的角度，导数概念的起点是极限，从数列的极限函数的极限导数。新课标教材（北师大版）对于导数的引入做了一定的简化，从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数，旨在强调导数的几何意义，从而顺利的过渡到导数与单调性之间的关系，突出了导数在研究函数单调性、最值等问题中的
3、工具性作用。,从函数的角度，四个二次（二次函数,二次方程及其根的分布、二次不等式、二次三项式）它们在高考中占有重要的地位,二次函数是高中新课程中一个最基本的函数，其有关性质仍是我们研究函数性质最基本、也是最主要的简单基本初等函数，而二次函数的定义域及值域的考查也以灵活多变的方式出现、三次函数、指数函数、对数函数、对勾函数、分式函数、分段函数在考题中多有出现,应予特别关注.,二、规律探索（总结解题思路方法）,（一）分类讨论的函数思想分析,分类讨论的思想是高中重要数学思想之一.它体现在两个方面,一是函数解析式的分段讨论方面,二是含有参数的函数问题.学生遇到这类问题要么无法解下去，要么不明白分类的动
4、机.分类讨论的思想是高考的重点，也是难点.,求导后的目的、解不等式步骤，分类讨论思想,2016年高考阅卷这种做法基本上都是满分处理，考生几乎没有一个学生用标准答案的方法！,本题将导数、函数零点、不等式的知识结合，考查函数零点的概念，考查导数公式和导数运算法则，考查考生灵活运用导数工具分析和解决问题的能力，综合考查考生的逻辑推理、运算求解能力和分类讨论思想.本题考查层次分明，区分度较高，是考生充分展示理性思维的广度和深度，突出选拔功能.,（二）构造函数思想分析,函数是高中数学课程学习的核心内容，能够在基本初等函数的基础上构造新的函数解决相应问题，是考生再创造能力和化归转化能力的体现，也能体现出了
5、考生对函数基本思想的准确理解.因此，构造函数在导数的压轴题的考查中几乎年年都出现.事实上，近几年的新课标全国卷压轴题均可用构造函数的方法来解答.,作差法构造函数,作差法构造函数,构造函数、数形结合,两次利用作差法构造函数,分离指、对函数构造函数,数形结合分析,放缩、控元构造函数,近6年新课标全国、卷的9道压轴题均可用构造函数的方法求得最值.但如2013、2011、2010这三年新课标卷导数题即使构造函数正确，也存在分类讨论相当复杂的情形，考生难以继续作答.可以利用分离参数法简化构造函数，使得问题简单求解.,（三）分离参数思想分析,洛必达法则,（四）数形结合思想分析,导数除了其正负决定增减之外，
6、还可以结合极值得到函数的大致图像，意味着导数可以和图像问题结合，即是压轴题中较多零点个数问题的本质.,通过研究近6年新课标全国卷的导数题，不难发现，这类题主要遵循“化简构造函数求导判断单调性证明恒不等关系”这样的解题流程.但难点在于：第一、构造函数时并不存在通用的构造方法，如果构造不当，会出现很大的求导计算量，甚至无法继续解答；第二、即使构造函数正确，在接下来的分类讨论中，学生也很难理清分类讨论的依据.,同时利用导数法研究函数的单调性，函数的最值，函数的零点，不等式恒成立等问题成为命题的热点.思维不清晰，难得高分，缺乏创造力，望题兴叹.尤其对分类讨论思想的考查要求高，如何把握分类讨论的时机，确
7、定分类讨论的标准，成为难点.看似寻常却崎岖，想说爱你不容易，要靠高分凭能力！,（五）虚设零点的函数思想分析,导数在高考中可谓“神通广大”,它是解决函数、方程、不等式等问题的“利器”,而导数的零点是关健性的“点”、一旦此“点”突破(零点存在),则函数的单调性、极值、最值、大致图象等将随之而解.然而,当导函数不知是否存在零点或不能求出零点时,所有问题将走入死胡同.如何走出“导数零点不可求”的困境,将是要解决的问题。,1、分析问题：即面对一个问题时，首先要弄明白需要解决的问题是什么；或者更高一点，它能转化成什么问题（熟悉或者易解决的）.在这个地方，命题人是可能设置考点的，毕竟“转化与化归思想”是四大
8、重要数学思想.,2、构建好函数：接下来思考的是为了解决上面的问题，有可能用到的函数是什么.很多时候，这个函数有可能要学生自己构建出来.有时不仅仅是作差或作商构造那么简单,学生要有根据问题构建恰当的函数的意识及构造所需要的函数的基本方法.,3、研究函数：即利用导数研究函数的性质，有时候还会用到分类讨论和数形结合.,三、应对策略（复习建议、实践反思）,一、导数研究问题的思路和环节,4、解决问题：导数的考查不只是停留在利用导数研究函数性质的层面，我们的出发点和归宿都应该是解决问题.利用刚构建的函数的性质去解决问题.,二、函数与导数试题中隐含的学科思想：,1、定义域意识； 2、分类讨论思想； 3、特殊
9、自变量对应的函数值或导函数值思想； 4、构造函数的思想； 5、把握函数结构特征的思想； 6、极限思想洛必达法则.,热点1：利用导数的几何意义处理曲线的切线问题； 热点2：利用导数研究三次函数,分式函数,指对 函数的性质问题； 热点3：利用导数研究函数的单调性、单调区间、 以及已知函数的单调性，确定函数中的参变量变化范围等问题； 热点4：利用导数处理含参数的恒成立不等式问题； 热点5：利用导数解决实际问题中的最优化问题.,三、试题热点分布情况：,1.热点分布,2.关注六个主要题型核心是讨论单调区间！,导数题的六个主要题型： （1）求曲线切线方程； （2）讨论函数单调区间； （3）讨论函数极值、最
10、值； （4）讨论函数零点个数（或方程根的个数）； （5）不等式恒成立、或存在型问题； （6）证明不等式（或一条曲线在另一条曲线上方，与 不等式恒成立是相似问题）,化归：讨论极值、最值、零点个数、恒成立或存在性问题、证明不等式都可以化归为讨论函数单调区间问题。,策略一：“将导数进行到底！”能看清一个 复杂问题的本质；策略二：用一点极限思想，会使研究函数形态问题变得简单；策略三：画图，可看清讨论的分类标准。,3.关注三个基本技能解导数题的有效策略！,4.讨论函数零点个数（或方程根的个数）解题方法：方法1：转化为方程 f(x)=0，单调性+零点存在性定理； 方法2：转化为方程 f ( x ) = c
11、，通过作函数y = f ( x )和y = c讨论交点个数情况；,5.关注恒成立、存在型问题（或证明不等式问题）解题方法： 方法1：分离参数，通过求函数最值解决问题； 方法2：通过讨论参数，转化为求函数最值问题加以解决。,四、函数与导数常见问题的解题策略,（一）重视两大类解题方法（构造函数，分离参数）,1、构造函数,（2）构造函数后分类讨论的依据是什么？,导函数零点的存在性 导函数零点大小的不确定性 函数最值问题取得的可能性 导函数零点分布的不确定性,构造函数的目的是为了通过研究构造函数的单调性得到最值，从而证明不等式.而通过导数研究单调性首先要判断构造函数的导函数的正负，因此，构造函数的关键
12、在于其导函数的零点是否易求或易估。,（1）如何构造函数？,2、分离变量 ,分离函数,函数分离法，较适合不同类超越函数基本性质的研究，理论上讲，若两类函数在一定范围内的上确界，下确界存在明显的分界点，用函数分离以便于化简运算，常能奏效。,五、函数常见问题的解题策略,六、利用导数绘制图像策略,七、导数综合问题求解的策略,函数与导数试题是历年高考的压轴题，是增加考生之间数学成绩区分度的重要载体，函数与导数试题中往往是条件在给定一个函数的基础上在问题的第二问通过等式或不等式来研究新的函数性质，在研究函数性质的基础上把握函数的结构特征能够取到简化解题过程得到结果的目的。,把握函数的结构特征体现了对函数解
13、析式的研究，体现了化简变形过程中从整体到局部的研究，体现了化简变形的方向性，体现了从解析式到函数性质的研究与把握.构造好函数、特殊自变量对应的函数值等都是对函数结构特征的本质研究.,八、把握函数结构特征的意识,函数与导数试题核心是对函数性质的研究，但前提是提供一个什么样的函数，在解题过程中如何构造一个好函数进行研究。,构造好函数的基本要求： （1）分式函数向整式函数转化； （2）常用对数函数系数为或的转化； （3）解决恒成立问题分离参数法中构造不含参数的函数；,在恒成立问题或证明不等式的问题中，构造不含参数的函数目的是为了避开分类讨论，在研究最值问题时往往可以和洛必达法则相结合。,下面通过2011年高考课标卷1第21题说明在恒成立问题中构造好不含参数的函数的对比应用。,教学与训练的过程中：（1）要注意等价转化思想：不等式问题转化为函数问题；坏函数转化为好函数；单变量不等式问题转化为双函数问题. （2）经验储备：什么是坏函数？什么是好函数？平时需积累. （3）思维储备：单变量不等式既可以转化为单函数的最值问题；又可以转化为双函数的最值问题. (4)变式训练：同一个问题可以转化成若个干问题,九、加强有效教学与训练相结合，以使学生构建数学结构体系,预祝大家2018高考辉煌！,不当之处，敬请各位老师批评指正！,
