1、1选修 4-5 不等式选讲一、课程目标解读选修系列 4-5 专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。二、教材内容分析作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的 5 个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点
2、，在内容的呈现上保持了相对的完整性整个专题内容分为四讲，结构如下图所示：第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式 6 个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到 n 个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问
3、题，回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。这些方法大多在选修 2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比如舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）。本讲内容也是本专题的一个基础内容。第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。这两个不等式也是本专题实质上的新增内容，教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用。其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些
4、特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。事实上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用，二者同样重要，在某些问题中，异曲同工。比如课本 P41 页，习题 3.2 第四题。排序不等式只作了解，建议在老师指导下由学生阅读自学，了解教材中展示的“探究猜想证明应用”的研究过程，初步认识排序不等式的有关知识。第四讲是“数学归纳法证明不等式”数学归纳法在选修 2-2 中也学过，建议放在第二讲，结合放缩法的教学，进一步理解“归纳递推”的证明。同时了解贝努利不等式及其在数学估算方面的初步运用。三、教学目标要求1不等式的基本性质掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形。2含有绝
5、对值的不等式理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会解绝对值不等式。3不等式的证明通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法教学札记24几个著名的不等式(1)认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，会用二维三维柯西不等式进行简单的证明与求最值。(2)理解掌握两个或三个正数的算术几何平均不等式并应用。(3)了解 n 个正数的均值不等式，n 维柯西不等式，排序不等式，贝努利不等式5利用不等式求最大（小）值会用两个或三个正数的算术几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值。6数学归纳法与不等式了解数学归纳法的原理及其使用范围；会用
6、数学归纳法证明简单的不等式。会用数学归纳法证明贝努利不等式。四、教学重点难点1、本专题的教学重点：不等式基本性质、均值不等式及其应用、绝对值不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式及其应用、排序不等式；2、本专题的教学难点：三个正数的算术-几何平均不等式及其应用、绝对值不等式解法；用反证法，放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式以及求最值等。五、教学总体建议1、回顾并重视学生已学知识学习本专题，学生已掌握的知识有：第一、初中课标要求的不等式与不等式组(1)根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。(2)解简单的一元一次不等式，
7、并能在数轴上表示出解集。解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。(3)根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题第二、高中必修 5 不等式内容：(1)不等关系。通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。(2)一元二次不等式。(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题。(4)基本不等式及其应用（求最值）。第三、高中选修 2-2 推理与证明中的比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等内容。回顾并重视学生在学习本课程时已掌握的相关知识，可适当指导学生阅读自学，设置梯度恰当的习题，采用题组教学的形式
8、，达到复习巩固系统化的效果，类似于高考第二轮的专题复习，构建知识体系。2、控制难度不拓展在解绝对值不等式的教学中，要控制难度：含未知数的绝对值不超过两个；绝对值内的关于未知数的函数主要限于一次函数。解含有绝对值的不等式的最基本和有效的方法是分区间来加以讨论，把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；不等式证明的教学，主要使学生掌握比较法、综合法、分析法，其它方法如反证法、放缩法、数学归纳法，应用柯西不等式和排序不等式的证明，只要求了解。代数恒等变换以及放缩法常常使用一些技巧。这些技巧是极为重要的，但对大多数学生来说，往往很难掌握这些技巧，教学中要尽力使学生理解这些不等式以及证明的数学思想，
9、对一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的技巧之中。教学札记33、重视不等式的应用不等式应用的教学，主要是引导学生解决涉及大小比较、解不等式和最值问题，其中最值问题主要是用二个或三个正数平均不等式、二维或三维柯西不等式求解。对于超过 3 个正数的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；贝努里不等式的应用不作要求。4、重视展现著名不等式的背景几个重要不等式大都有明确的几何背景。教师应当引导学生了解重要不等式的数学意义和几何背景，使学生在学习中把握这些几何背景，力求直观理解这些不等式的实质。特别是对于 n 元柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式等内容，可指导学生阅读了解相关背
10、景知识。第一讲 不等式和绝对值不等式课 题： 第 01 课时 不等式的基本性质教学目标：1 理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。2 掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。教学难点：灵活应用不等式的基本性质。教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。 列子汤问中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大” 、 “近者热而远者凉” ，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“
11、自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、 “电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？” 、 “用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的
12、，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(ab0) ，若再加 m(m0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为 ，加入 m 克糖 后的糖水浓度为 ，只要证 abmaa即可。怎么证呢? ab二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：教学札记40ba得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质：、如果 ab，那么 bb。(对称性)、如果 ab，且
13、 bc，那么 ac，即 ab，bc ac。、如果 ab，那么 a+cb+c，即 ab a+cb+c。推论：如果 ab，且 cd，那么 a+cb+d即 ab， cd a+cb+d、如果 ab，且 c0，那么 acbc；如果 ab，且 cb 0，那么 (n N，且 n1)nba、如果 ab 0，那么 (n N，且 n1)。三、典型例题：例 1、比较 和 的大小。)7(3x)6(4x分析：通过考察它们的差与 0 的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。例 2、已知 ，求证： dcba, dbca例 3、已知 ab0，cd0，求证： 。四、课堂练习：1：已知 ，比较 与 的大小。xx13622：已知
14、ab0，c ，对一切实数 都成立，求实数 的取值范围。3xaa四、课堂练习：解下列不等式：1、 2、 3、 . .12x01442x4、 . 5、 6、 .x17、 8、 9、 x .x10、 .24五、课后作业：课本 20 第 6、7、8、9 题。六、教学后记：第二讲 证明不等式的基本方法课 题： 第 01 课时 不等式的证明方法之一：比较法教学目标：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。教学过程：一、新课学习：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质： 0ba教学札记14二、典型例题：例 1、设 都是正数，
15、且 ，求证： 。ba,ba23aba例 2、若实数 ，求证：1x .)1()(342xx证明：采用差值比较法： 242)()(3xx= 3242421x= )(34x= 1)22= .43)(x,0)21(,01,2x且从 而 ,43)()2x .)11324x讨论：若题设中去掉 这一限制条件，要求证的结论如何变换？例 3、已知 求证,Rba.aba本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于 对称，不妨设b, .0ba，从而原不等式得证。0)(0bababa2）商值比较法：设 ,故原不等式得证。,0,1ba.1)(baba例 4、甲、乙两人
16、同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度 行走，另一半m时间以速度 行走；乙有一半路程以速度 行走，另一半路程以速度 行走。如果 ，nmnn教学札记15问甲、乙两人谁先到达指定地点。分析：设从出发地点至指定地点的路程是 ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为S。要回答题目中的问题，只要比较 的大小就可以了。21,t 21,t解：设从出发地点至指定地点的路程是 ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有 ， ，可得 ， ，21,t Sntm212tnnmSt21nt2)(从而 ，St)(21)(4)(2其中 都是正数，且 。于是 ，即 。nm, n021t21t从而知甲比乙
17、首先到达指定地点。讨论：如果 ，甲、乙两人谁先到达指定地点？三、课堂练习：1比较下面各题中两个代数式值的大小：（1） 与 ；（2） 与 .2x112x2)(2已知 求证：（1） （2）.a;a.12a3若 ，求证0cb.)(3cbcb四、课时小结：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商） 、变形、判断符号。 “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。五、课后作业：课本 23 页第 1、2、3、4 题。六、教学后记：课 题：第 02 课时 不等式的证明方法之二：综合法与分析法教学目标：1、 结合已经学
18、过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。教学札记162、 了解分析法和综合法的思考过程。教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。教学过程：一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是
19、“由因及果” ，后一种是“执果索因” 。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法” ；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法” 。二、典型例题：例 1、已知 ，且不全相等。求证：0,cbaabcca6)()()( 222 分析：用综合法。例 2、设 ，求证0,ba.23b证法一 分析法要证 成立.23a只需证 成立，又因 ，)()(bb0ba只需证 成立，又需证 成立，a22 2即需证 成立.而 显然成立. 由此命题得证。0)( 0)(2a证法二 综合法abbba 22222)(注意到 ，即 ，0,0a由上式即得 ，从而 成立。)()(22 23
20、议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例 3、已知 a，b，m 都是正数，并且 求证： （1）.ba.bam证法一 要证（1） ，只需证 （2）)()(m要证（2） ，只需证 （3）要证（3） ，只需证 （4）ab教学札记17已知（4）成立，所以（1）成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二 因为 是正数，所以 mab,amb两边同时加上 得 两边同时除以正数 得（1） 。)()()(mb例 4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截
21、面面积的大小。设截面的周长为，则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为 的正方形为 ，截面积L2L2L4L为 。所以本题只需证明 。24 24证明：设截面的周长为 ，则截面是圆的水管的截面面积为 ，截面是正方形L2L的水管的截面面积为 。只需证明： 。24 224L为了证明上式成立，只需证明 。162两边同乘以正数 ，得： 。因此，只需证明 。24L44上式显然成立，所以 。22L这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。例 5、证明： 。cabcba22证法一： 因为 （2）（3）c22（4）ac所以三式相加得 （
22、5）)(2)(2cabcb两边同时除以 2 即得（1） 。证法二：教学札记18,0)(21)()(21)( 2222 acbacbacba所以（1）成立。例 6、证明： （1）.)()( 222 d证明 （1） （2）02baccba（3）0)(2222 dbac（4）cdc（5）0)(2ab（5）显然成立。因此（1）成立。例 7、已知 都是正数，求证 并指出等号在什么时候成立？c, .33abc分析：本题可以考虑利用因式分解公式着手。)(3223 cacbaba 证明： c= )(22cac= .()12bab由于 都是正数，所以 而 ，ca, .0c 0)()()22acb可知 33即 （
23、等号在 时成立）abccb探究：如果将不等式 中的 分别用 来代替，并在两33 3,acba,边同除以 3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：，其中 是互不相等的正数，且 .27)1)()(1( cba cb, 1abc三、课堂小结：解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。四、课堂练习：1、已知 求证：,0x.21x教学札记192、已知 求证,0,yxx.41yx3、已知 求
24、证,ba.ba4、已知 求证：.0（1） （2） .4)(1 .8)()(332ba5、已知 都是正数。求证：dcba,（1） （2）;2cdab.44cdcba6、已知 都是互不相等的正数，求证c, 9)( ab五、课后作业：课本 25 页第 1、2、3、4 题。六、教学后记：课 题： 第 03 课时 不等式的证明方法之三：反证法教学目标：通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。教学难点：会用反证法证明简单的命题。教学过程:一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就
25、是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若 p 则 q”，而是先肯定命题的条件 p，并否定命题的结论 q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论
26、；第二步 作出与所证不等式相反的假定；教学札记20第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。二、典型例题：例 1、已知 ，求证： （ 且 ）0banbaN1n例 1、设 ，求证23.2证明：假设 ，则有 ，从而.)1(6816,82233bba因为 ，所以 ，这与题设条件 矛盾，所以，)(3a23ba原不等式 成立。例 2、设二次函数 ，求证： 中至少有一个不小于qpxf2)( )(,2)1(ff.1证明：假设 都小于 ，则)3(,2)1(ff 2（1）.另一方面，由绝对值不等式的性质，有（2）)3
27、9()24()1(2132qpqpqpfffff（1） 、 （2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例 3、设 0 , (1 b)c , (1 c)a ,4441则三式相乘：ab 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 证：设 a 0, bc 0,
28、则 b + c = a 0ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0 矛盾， 必有 a 0同理可证：b 0, c 0三、课堂练习：1、利用反证法证明：若已知 a，b，m 都是正数，并且 ，则 ba.bam2、设 0 0，且 x + y 2，则 和 中至少有一个小于 2。xy1提示：反设 2， 2 x, y 0，可得 x + y 2 与 x + y 2 矛盾。1四、课时小结：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果
29、的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。五、课后作业：课本 29 页第 1、4 题。六、教学后记：课 题： 第 04 课时 不等式的证明方法之四：放缩法教学目标：1感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。2探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。教学重、难点：1掌握证明不等式的两种放缩技巧。2体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。教学过程：一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小） ，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不教学札记22等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。
30、下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。二、典型例题：例 1、若 是自然数，求证n .21321n证明： .,4,)(12 kknn)1(3213222 = )(= .1n注意：实际上，我们在证明 的过程中，已经得到一个更强232的结论 ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。n13212例 2、求证： .31n证明：由 （ 是大于 2 的自然数）,211kk得 332.3211132 nnn例 3、若 a, b, c, dR+，求证： 21 cadbcabda证：记 m = a, b, c, d R+ cb 1dca1 2 时，求证： )(log)1(lnn证：n 2 0,0og
31、22)1(log2)1(l)(l)1(l)(l nnnnn教学札记2312lognn 2 时, )(l)1(lognn三、课堂练习：1、设 为大于 1 的自然数，求证 .21312nn2、设 为自然数，求证n !)()5(3)2(n四、课时小结：常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，（）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大；（）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小。五、课后作业：课本 29 页第 2、3 题。第三讲 柯西不等式与排序不等式课 题： 第 01 课时 二维形式的柯西不等式（一）教学目标：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯
32、西不等式及向量形式. 教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案： 及几种变式.(0,)2abab2. 练习：已知 a、 b、 c、 d 为实数，求证 222()()abcdacb证法：（比较法） =.=22()0二、讲授新课：1. 柯西不等式： 提出定理 1：若 a、 b、 c、 d 为实数，则 .222()()abcdacb 即二维形式的柯西不等式 什么时候取等号？ 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法） 22222()abcdacdbcd. （要点：展开配方）()()证法
33、三：（向量法）设向量 ， ，则 ， .,m,n2|ma2|ncd教学札记24 ，且 ，则 . mnacbd|cos,mnn|mn证法四：（函数法）设 ，则222()()fxabxabdxc0 恒成立.2()fx 0，即224()acbdcd 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？变式： 或 22|abA22|abcdabA或 .abcd 提出定理 2：设 是两个向量，则 .,|即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） 讨论：上面时候等号成立？（ 是零向量，或者 共线）, 练习：已知 a、 b、 c、 d 为实数，求证 .2222()()abcdacbd证法：（分析法）平方 应用柯西不等式 讨论
34、：其几何意义？（构造三角形）2. 教学三角不等式： 出示定理 3：设 ，则 .12,xyR22221 11()()xyxyxy分析其几何意义 如何利用柯西不等式证明 变式：若 ，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 123,三、应用举例：例 1：已知 a,b 为实数，求证 2324)()(baba说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。例题 2：求函数 的最大值。xxy2105分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为 ac+b
35、d 的形式就能用柯西不等式求其最大值。 （ ）22| dcbadc解：函数的定义域为【1，5】 ，且 y036427)5()1()(51222xxxy当且仅当 时，等号成立，即 时，函数取最大值x12736教学札记25课堂练习：1. 证明: (x 2+y4)(a4+b2)(a 2x+by2)22.求函数 的最大值.xxy653例 3.设 a,b 是正实数，a+b=1，求证 1ba分析：注意到 ，有了 就可以用柯西不等式了。)(1ba)(四、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知 x+2y=1, 求 x2+y2的最小值. 五、课堂小结：二维柯西不等式的代数形式、
36、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）六、布置作业：P37 页，4，5， 7，8，9七、教学后记：课 题： 第 02 课时 二维形式的柯西不等式（二）教学目标：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习引入：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案： ；222()()abcdacb22221 11()()xyxyxy2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式
37、，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数 的最大值?y要点：利用变式 .22|acbdcd二、讲授新课：1. 最大（小）值：教学札记26 出示例 1：求函数 的最大值？3102yxx分析：如何变形？ 构造柯西不等式的形式 板演 变式： 3102yxx 推广： ,(,)abcdefabcdefR 练习：已知 ，求 的最小值.22y解答要点：（凑配法） .222111()3()3xxxy讨论：其它方法 （数形结合法）2. 不等式的证明： 出示例 2：若 ， ，求证： .,xyR2y12xy分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 构造）要点： 2211()()()2xyxy讨论：
38、其它证法（利用基本不等式） 练习：已知 、 ，求证： .abR1()4ab三、应用举例：例 1 已知 a1,a2,an都是实数，求证： 221221)( nnaan分析：用 n 乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例 2 已知 a，b，c，d 是不全相等的实数，证明：a 2 + b2 + c2 + d2 ab + bc + cd + da分析：上式两边都是由 a,b,c,d 这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。 的 最 小 值 . 求1,3、 已 知 22zyxzyx3分析：由 形式，联系柯西不等式，可以通过构造的 2 以 及
39、（ 12+22+32）作为一个因式而解决问题。四、巩固练习：1. 练习：教材 P37 8、9 题 练习：1设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=1，求 的最小值。zyx9412已知 a+b+c+d=1，求 a2+b2+c2+d2的最小值。教学札记273已知 a，b，c 为正实数，且 a+2b+3c=9，求 的最大值。cba23选做：4已知 a，b，c 为正实数，且 a2+2b2+3c2=6，求 a+b+c 的最小值。 （08 广一模）5已知 a，b，c 为正实数，且 a+2b+c=1，求 的最小值。 （08 东莞二模）c16已知 x+y+z= ，则 m=x2+2y2+z2的最小值是_.(0
40、8 惠州调研)5五、布置作业：教材 P37 1、6、7 题 已知 ，且 ，则 的最小值.,xyabRabxyxy要点： . 其它证法() 若 ，且 ，求 的最小值. （要点：利用三维柯西不等,xyzR1xyz22xyz式）变式：若 ，且 ，求 的最大值.,六、课堂小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.七、教学后记：课 题： 第 03 课时 一般形式的柯西不等式教学目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。教学难点：应用
41、一般形式柯西不等式证明不等式。教学过程：一、复习引入：定理 1：（柯西不等式的代数形式）设 均为实数，则dcba,，其中等号当且仅当 时成立。222)()(bdaccba bc教学札记28定理 2：（柯西不等式的向量形式）设 ， 为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。|定理 3：（三角形不等式）设 为任意实数，则：321,yxyx2312312322121 )()()()()()( yxyx 二、讲授新课：类似的，从空间向量的几何背景业能得到|.| | .将空间向量的坐标代入，可得到 成 立 .1,23)时 ， 等 号(b使 得 a， 或 存
42、在 一 个 实 数 k， 0即 共 线 时 ， ，当 且 仅 当a)b)(a( 212321321 iik这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？定理 4：（一般形式的柯西不等式）：设 为大于 1 的自然数，n（ 1，2， ）为任意实数，则：iba,n221112()()()nnnababab 即，其中等号当且仅当 时成立（当2112)(niinii naa21时，约定 ， 1，2， ） 。0ia0ibn证明：构造二次函数： 2221 )()()() nbxbxxaf 即构造了一个二次函数： niniini a121由于对任意实数 ，
43、恒成立，则其 ，x0)(f 0即： ，)4(1221niinii bab即： ，)()iiiia等号当且仅当 ，021 nxax教学札记29即等号当且仅当 时成立（当 时，约定 ， 1，2， ） 。nabab21 0ia0ibin如果 （ ）全为 0，结论显然成立。i三、应用举例：例 3 已知 a1,a2,an都是实数，求证： 221221)( nnaaan分析：用 n 乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例 4 已知 a，b，c，d 是不全相等的实数，证明：a 2 + b2 + c2 + d2 ab + bc + cd + da分析：上式两边都是由 a,b,c,d 这四个
44、数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。 的 最 小 值 . 求1,32例 5、 已 知 22zyxzyx分析：由 形式，联系柯西不等式，可以通过构造的以 及（1 2+22+32）作为一个因式而解决问题。四、巩固练习：练习：1设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=1，求 的最小值。zyx9412已知 a+b+c+d=1，求 a2+b2+c2+d2的最小值。3已知 a，b，c 为正实数，且 a+2b+3c=9，求 的最大值。cba23选做：4已知 a，b，c 为正实数，且 a2+2b2+3c2=6，求 a+b+c 的最小值。 （08 广一模）5已知 a，
45、b，c 为正实数，且 a+2b+c=1，求 的最小值。 （08 东莞二模）c16已知 x+y+z= ，则 m=x2+2y2+z2的最小值是_.(08 惠州调研)5五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。六、布置作业：P41 习题 3.2 2，3，4，5七、教学后记：课 题： 第 04 课时 排序不等式教学目标：1. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题;2. 体会运用经典不等式的一般思想方法 奎 屯王 新 敞新 疆教学札记30教学重点：应用排序不等式证明不等式教学难点：排序不等式的证明思路教学过程一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等
46、式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例.二、讲授新课：1. 教学排序不等式： 看书：P 41P44.如 如图， 设 AOB，自点 沿 OA边依次取 n个点 12,nA ，边依次取取 n个点 12,n ，在 边取某个点 i与 OB边某个点 j连接，得到 ij，这样一一搭配，一共可得到n个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的 ijA不同，问： OA边上的点与 B边上的点如何搭配，才能使 n个三角形的面积和最大（或最小）？ 设 ,(,12,)ijOAaBbijn ，由已知条件，得3123,naabb 因为 ij的面积是 ，而 是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为代数问题： 1212, ,nnc 设 是 数 组 的 任 何 一 个 排 列 则 12nSacc何时取最大（或最小）值？我们把 12nSaac 叫做数组 12(,)na 与 12(,)nb 的乱序和.教学札记
