1、http:/第 1 页 共 7 页中考“勾股定理”题型归纳勾股定理是我国劳动人民智慧的结晶，是研究几何的基础和数形结合的典型代表，更是历年中考不可缺少的组成部分，为了方便同学们的学习与运用，并及时了解中考中有关勾股定理的题型，现就中考试题归纳剖析如下，供参考.一、求线段的长度例 1（滨州市）如图，已知ABC 中，AB17，AC 10，BC 边上的高 AD8，则边 BC 的长为（ ）A.21 B.15 C.6 D.以上答案都不对分析 由于 AD 是高，所以可得到两个直角三角形，这样可分别利用勾股定理求得线段 BD 和 CD.解 因为 AD 是高，所以ADBADC90，即ADB 与ADC 都是直角
2、三角形.因为 AB17，AC10，AD 8，所以由勾股定理，得 BD 2ABD217815 ，CD 2ACD 21086，所以 BCBD+CD15+6 21.故应选 A.说明 利用勾股定理求解有关线段的大小是中考中随时都会遇到的问题，同学们一定要掌握其运用，并避免出现错误.二、求图形的周长例 2（牡丹江市）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为 6m，8m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以 8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.分析 由于两直角边长分别为 6m，8m ，于是，可利用勾股定理求出其斜边的长，而题目只说明扩充成等腰三角形，并没有指明等腰三角形
3、的底边和腰，所以应分情况求解.解 在 RtABC 中，ACB90，AC 8，BC6，由勾股定理，得 AB10，扩充部分为 RtACD ，扩充成等腰 ABD 应分以下三种情况：如图 1，当 ABAD10 时，可求 CDCB6，于是， ABD 的周长为 32m；如图 2，当 ABBD10 时，可求CD4，由勾股定理，得 AD4 5，于是，ABD 的周长为 (20+4 5) m；如图 3，当D CBAhttp:/第 2 页 共 7 页AB 为底时，设 ADBDx ，则 CDx6，由勾股定理，得 x 253，于是，ABD 的周长为 803m.说明 本题事实上也是一道运用勾股定理解决生活中的实际问题，由
4、于题设中问题不明确，所以求解时应注意分类，以避免漏解.三、数学风车例 3（安顺市）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在 RtABC 中，若直角边 AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是.分析 观察图乙可知，风车的外围周长是由 8 条线段构成，其中有 4 条分别相等，且有四条边的长等于 6，只需用勾股定理求出另一条边即可.解 依题意，由勾股定理，得图乙中最长的一条边长 25113，所以这个风车的外围周长4(6+13) 76.说明 近年来中考中经常以“赵爽弦
5、图”为背景设的试题，求解时只要能灵活运用勾股定理的知识即可.四、拼图验证勾股定理例 4（新疆自治区）如图 1 是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是 a，b，斜边长为 c 和一个边长为 c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的AD C BAD BCAD BC图 1 图 2 图 3http:/第 3 页 共 7 页图形.（1）画出拼成的这个图形的示意图.（2）证明勾股定理.分析 将四个全等的直角三角形拼成一个正方形，再利用面积的不变性来验证.解 方法不惟一.如，（1）如图 2 所示.（2）证明：因为大正方形的面积表示为(a+b)2，大正方形的面积也可表示为 c2+4 1a
6、b，所以(a+ b)2 c2+4 1ab，即a2+2ab+b2c 2+2ab，所以 a2+b2c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.又如，（1）如图 3 所示.（2）证明：因为大正方形的面积表示为 c2，又可以表示为2ab4+(ba) 2，所以 c2 1ab4+(ba) 2，即 c22ab+b 22ab+a 2，所以 c2a 2+b2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.说明 为了正确求解，可联想课本和资料上的例习题，并通过动手操作即可正确求解.五、勾股树例 5（达州市）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形 A、B、C 、
7、D 的边长分别是 3、5、2、3，则最大正方形 E的面积是（ ）A.13 B.26 C.47 D.94abc图 3abccccbbbaaa图 2cbacbacbacbacc图 1http:/第 4 页 共 7 页分析 正方形 E 的面积等于边长的平方，而其平方等于与之紧邻的两个正方形边长的平方和，同样这两个与最大正方形紧邻的正方形边长的平方又分别等于正方形 A、B 边长的平方和与正方形 C、D 边长的平方和，此时，正方形 A、B、C、D 的边长已知.解 因为正方形 A、B、C、D 的边长分别是 3、5、2、3，所以最大正方形的面积3 2+52+22+3247.故应选 C.说明 本题中的勾股只有
8、四个分枝，若将这四个分枝再进一步的延伸，将会得到许许多多的分枝，情况仍会和这一样，请同学们通过求解，用心去体会.六、确定最短线路例 6（青岛市）如,1，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm.如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要cm；如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要cm.分析 要求最短细线的长，得先能确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由 3+1+
9、3+1 变成 n(3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解.解 如图 2，依题意，得从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B 时，最短距离为AB，此时，由勾股定理，得 AB 26810，即所用细线最短为 10cm.若从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点 B，则长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1 变成 n(3+1+3+1)，即 8n，由勾股定理，得 268n 2364n，即所用细线最短为 236cm，或 2 2916cm.说明 对于从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点 B 的最短细线不能理解为就是 n个底面周长.BA6cm3cm1cm图 1 图 2BAht
10、tp:/第 5 页 共 7 页七、方案设计例 7（恩施自治州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 X同侧，AB50km ，A 、B 到直线 X 的距离分别为 10km 和 40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P，向 A、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案，图 1 是方案一的示意图（AP与直线 X 垂直，垂足为 P），P 到 A、B 的距离之和 S1PA+PB，图 2 是方案二的示意图（点 A 关于直线 X 的对称点是 A，连接 BA交直线 X 于点 P），P 到 A、B 的距离之和S2
11、PA +PB.（1）求 S1、S 2，并比较它们的大小；（2）请你说明 S2PA+PB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路 Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图 3 所示的直角坐标系，B 到直线 Y 的距离为 30km，请你在 X 旁和 Y 旁各修建一服务区 P、Q，使P、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值 .分析 为了便于运用勾股定理求解有关线段的长，可适当引垂线，并结合对称等几何知识即可求解.解（1）如图 1 中，过 B 作 BCAP，垂足为 C，则由勾股定理，得 PC2250440.在 RtPBC 中，由勾股定理，得 BP 2BPC40 .所以 S140 2+
12、10（km）. 如图 2 中，过 B 作 BCAA 垂足为 C，由轴对称知 PAPA，则 AC50，又BC40，所以由勾股定理，得 BA 24010 41，BAP X图 1C GYXBAQPO图 3ABCBAP XA图 2Mhttp:/第 6 页 共 7 页所以 S2BA10 41（km） .显然，S 1S 2.（2）如图 2，在公路上任找一点 M，连接 MA，MB，MA，由轴对称知 MAMA，所以 MB+MA MB+MAAB，所以 S2BA 为最小.（3）过 A 作关于 X 轴的对称点 A，过 B 作关于 Y 轴的对称点 B，连接 AB，交 X 轴于点 P，交 Y 轴于点 Q，则 P，Q 即
13、为所求.过 A、B分别作 X 轴、Y 轴的平行线交于点 G.由勾股定理，得 AB 210550 ，所以所求四边形的周长为(50+50 5)km.说明 本题既是一道对图形的操作题，又是一道利用勾股定理进行方案设计的试题，求解时一定要注意动手动脑，发挥想象，避免错误的出现.八、阅读理解例 8（龙岩市）阅读下列材料：正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形.数学老师给小明同学出了一道题目：在如图 1 所示正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点ABC，使 ABAC 5， BC 2；小明同学的做法是：由勾股定理，得 ABAC 2 5，B C 212，于是画出线段
14、AB、AC 、BC ，从而画出格点ABC .（1）请你参考小明同学的做法，在如图所示的正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点A BC（A点位置如图 2 所示），使 ABAC5，BC 10.（直接画出图形，不写过程）；（2）观察ABC 与ABC 的形状，猜想 BAC 与BAC有怎样的数量关系，并证明你的猜想.CBA图 1A图 2CBhttp:/第 7 页 共 7 页分析（1）通过阅读，我们可以在正方形网格中找到 5 和 10的线段，由于5 2 234， 10 23，于是可以画出符合要求的三角形.（2）由所画的三角形的图形形状可以猜想BACB AC，此时，知道两个三角形的三边长，可以利用相似三角形去验证.解（1）因为 ABA C 2345，BC 213 0，所以画图不惟一，如，如图 2 所示的ABC .（2）猜想：BACABC.证明：因为 5， 25 ，即 AB ，所以ABCA BC，所以 BACABC.说明 本题是一道阅读理解题，题目的背景是正方形的网格，要求通过阅读，利用勾股定理和相似三角形求解.
