1、1探索规律题类型一数字规律1、下面是按一定规律排列的一列数： ，那么第 n 个数是 解析分子分别为 1、3、5、7 ，第 n 个数的分子是 2n1。 43=1=1 2 ，73=4=2 2 ，123=9=3 2 ，19 3=16=4 2 ，第 n 个数的分母为 n 2 +3。 第 n 个数是 。2 观 察下列等式： ， ， ， ， ， ， 。试猜想， 的个位数字是_ _ 。解析本题主要考查规律探索。观察等式： ， ， ， ， ， 可得， 次方的个位数字是 ， 次方的个位数字是 ， 次方的个位数字是 ， 次方的个位数字是 ， 次方的个位数字是 ，个位数字的变化是以 、 、 、 为周期，即周期为 ，
2、又因为 ，所以 的个位数字与 的个位数字相同为 。故本题正确答案为 。考点 规律探索。3、古希腊数学家把数 1,3,6,10,15,21, 叫做三角形数, 它有一定的规律性,若把第一个三角形数记为 ,第二个三角形数记为 , 第 n 个三角形数记为 ,则答案2解: , , , , ,则 ,因此，本题正确答案是: .解析根据三角形数得到 , , , ,即三角形数为从 1 到它的顺号数之间所有整数的和,即 、 ,然后计算 可得.4、按一定规律排列的一列数： ， ， ， ， ， ， ， ，请你仔细观察，按照此规律 对应的数字应为_ 。答案解析本题主要考查规律探索。将中间两个 化为分数之后 为： ， ，
3、 ， ， ， ， ， ，观察可知分子是从 开始不断递增的奇数，分母是从 开始不断 递增的质数，那么根据这个规律即可得到 。故本题正确答案为 。3考点规律探索。5、如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律, 依此规律,那么第4 个图形中的,一般地,用含有 m,n 的代数式表示 y,即. 答案解:观察,发现规律: , , , , 因此，本题正确答案是:63;解析观察给定图形,发现右下的数字= 右上数字 (左下数字 ,依此规律即可得出结论.6、观察下列数据： ， ， ， ， ， ，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 个数据是_。答案解析本题主要考查规律探索。由数据 ， ， ， ， ， ，可
4、观察到，第奇数个数据为负数，第偶数个数据为正数，所以数据中带有 这个因式，将 化成 ，则这组数据变成 ， ， ， ， ， ，由此可观察出，每一个分数的分子都是4分母的平方再加 ，所以 这组数据中第 个分数为 ，将 代入可得出分数 。故本题正确答案为 。7、“ 数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具” ，比如在化学中，甲烷的化学式 CH4，乙烷 的化学式是 C2H6，丙烷 的化学式是 C3H8，设碳原子的数目为 n（n 为正整数），则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示（ ）A.CnH2n+2 B.CnH2n C.CnH2n-2 D.CnHn+3答案此题答案为：A.解：设碳原子的数目为 n
5、（n 为正整数）时，氢原子的数目为 an，观察发现：a 1421+2，a 2622+2，a 38 23+2，an2n+2.碳原子的数目为 n（n 为正整数）时，它的化学式为 CnH2n+2.故选 A.解析【考点提示】本题主要考查探究规律，解题的关键是找出碳原子与氢原子数量之间的关系【解题方法提示】设碳原子的数目为 n（n 为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分 an的值；根据数值的变化找出变化规律“a n2n+2” ，依次 规律即可解决问题8、从“特殊到一般”是数学上常用的一种思 维方法.例如,“你会比较与 的大小吗?”我们可以采用如下的方法:(1)通 过计算比较下列各式中两数的大小:(填
6、“ ”、“ ”或“=”)5,(2)由 (1)可以猜 测 与 (n为正整数)的大小关系:当 n 时, ;当 n 时, ; (3)根据上面的猜想,可以知道: (填“ ”、“ ”或“=”).答案 2 3 解:(1) , ,故 ; , ,故 ; , ,故 ; , ,故 .因此，本题正确答案是: ; ; ; .(2)结 合(1)的结论,可以得出猜测结果:当 时, ;当 时, .因此，本题正确答案是: ; .(3) ,.因此，本题正确答案是: .解析先找出各组数的值,再进行比较, 即可得出结论;(2)结 合(1)结论,即可得出猜测的结论;(3)由 ,结合(2)猜测的结论, 得出结果.类型二 数式规律61、
7、（11 曲靖）将一列整式按某种规律排成 x，2x 2，4x 3，8x 4，16x5则排在第六个位置的整式为_答案32解析符号的规律：n 为奇数时，单项式为正号，n 为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第 n 个对应的系数的绝对值是 2n-1指数的规律：第 n 个对应的指数是 n解：根据分析的规律，得：第六个位置的整式为：-2 5x6=-32x6故答案为：-32x 6此题考查的知识点是单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键2、已知 ， ， ， ， （ 为正整数，且 ，
8、），则 _。（用含有 的代数式表示）答案解析本题主要考查分式的基本性质和规律探索。， ， 所以规律以 为周期循环，因为 可以整除，所以 。故本题正确答案为 。考点分式的基本性质，规律探索。73、观察下面计算过程:;你发现了什么规律?用含 n 的式子表示这个规律, 并用你发现的规律直接写出的值.答案解: ,当 时, 上式 .解析所求式子利用平方差公式化简,计算即可得到结果.4、观察下来等式：第一层 1+2=3第二层 4+5+6=7+8第三层 9+10+11+12=13+14+15第四层 16+17+18+19+20=21+22+23+248在上述数字宝塔中，从上往下数，数字 2016 在第 _
9、层。答案由题可知：每一层的第一个数：第 n 层的第一个数为 n2 ，442=1936,452=2025 ， 数字 2016 在第 44 层，故答案为： 44.解析观察发现：第 n层的第一个数为 n 2，所以要看 2016 介于哪两个数的平方之间，计算 44 2=1936，45 2=2025， 由此得：数字 2016 在第 44层5、观察下列算式:(1) ,(2) ,(3) ,(4) ,请你在察规律解决下列问题(1)填空 :.(2)写出第 n 个式子(用含 n 的式子表示),并证明.答案 2013 2017解:(1) 由以上四个等式可以看出:每一个等式第一个因数等于序号数,第二个因数比第一个大
10、4,等式右边的底数比第一个数大 2;所以有: .答案为:2013,2017;9(2)第 n 个等式 为: ;左边 右边成立.解析(1)每一个等式第二个因数比第一个大 4,然后都加 4,等式右边的底数比第一个数大 2;反之可由最后一数反推得到.(2)设 第一个数是 n,那么第二个因数即为 ,等式右边的底数则为,表示出等式即可.6、有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是 ；第二个数是；第三个数是 ； 对任何正整数 ，第 个数与第 个数的和等于 。（1）经过探究，我们发现： ； ；。设这列数的第五个数为 ，那么 ， ， ，哪个正确？请你直接写出正确的结论。（2）请你观察第 个数、第 个数、第 个
11、数，猜想这列数的第 个数（即用正整数 表示第 个数），并且证明你的猜想满足 “第 个数与第 个数的和等于 ”。（3）设 表示 ， ， ， ， 这 个数的和，即，求证： 。答案（1） 。10（2）由题意可知，第 个数为 ，第 个数为 。第个数与第 个数的和为。（3）因为 ， ， ， ， ，将上述 个不等式式子依次相加可得，即 ，得证 。解析本题主要考查规律探索和分式的运算。（1）由已知规律可得， 。（2）先根据已知规律写出第 个数和第 个数，再根据分式的运算求和化简即可求解。（3）将这列数依次根据 展开，然后再全部相加即可得证结论。考点分式的运算，规律探索。类型三 图形规律1 图形累加规律1、如
12、图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第 个图案中有_ 个涂有阴影的小正方形（用含有 的代数式表示）。答案11解析本题主要考查规律探索。由题意可知，第 ， ， 个图案中分别有 ， ， 个涂有阴影的小正方形。其中 ， ， 。由此可以推出，第 个图案共有个涂有阴影的小正方形。故本题正确答案为 。考点规律探索。2、图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案,第 个图案有 4 个黑棋子,第个图案有 9 个黑棋子, 第个图案有 14 个黑棋子, .依次规律,第 n 个图案有个黑棋子.(用含 n 的代数式表示 )答案解:观察图有 个黑棋子;图 有 个黑
13、棋子;图 有 个黑棋子;图 有 个黑棋子;图 n 有 个黑棋子,因此，本题正确答案是 .解析仔细观察每一个图形中黑棋子的个数与图形序列号的关系,找到规律,利用规律求解即可.123、下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案 1 需 根火柴棒，图案 2 需 根火柴棒， ，按此规律，图 案 7 需_根火柴棒。答案解析本题主要考查规律探索。图案 1 中需要的火柴数为 ，图案 2 中需要的火柴数为，图案 3 中需要的火柴数为 ， ，图案 n 中需要的火柴数为，所以图案 7 中需要的火柴数为 。故本题正确答案为 。考点规律探索。5、小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第 个图案有 枚棋子
14、，第 个图案有 枚棋子，第 个图案有 枚棋子，第 个图案有 枚棋子， ，那么第 个图案的棋子数是 _枚。答案解析本题主要考查规律探索。由题意可知，在第奇数个图案的时候增加 枚棋子，在第偶数个图案的时候增加 枚棋子，以此规律 进行排列，第 个图案有 枚棋子，第 个图案有 枚棋子，第 个图案有 枚棋子，第 个图案有 枚棋子，第 个图案有 枚棋子。故本题正确答案为 。136、(2016 徐州)17.如图，每个图案都是由大小相同的正方形组成，按照此规律，第 n 个图形中这样的正方形的总个数可用含 n 的代数式表示为_。 第 1 个 第 2 个 第 3 个答案第一个图形，正方形个数：2 ,第二个图形，正
15、方形个数：2+4 第三个图形，正方形个数：2+4+6 第 n 个图形，正方 形个数：2+4+6+8+2n=n(n+1) 故答案为 n(n+1)。7、如图,在数轴上, ,P 两点表示的数分别是 1,2, , 关于点 O对称, , 关于点 P对称, , 关于点 O对称, , 关于点 P对称依次 规律,则点 表示的数是答案解:根据对称的性质得: 表示的数为-1, 表示的数为 5, 表示的数为-5, 表示的数为 9, 表示的数为-9, 表示的数为 13,表示的数 为 , 表示的数为 17, 表示的数为 , 表示的数为 21, 表示的数为 , 表示的数 为 25,则 表示的数为 .因此，本题正确答案是
16、: .148、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 个图形有_个小圆。（用含 的代数式表示）答案0.6M02:13解析本题主要考查整式探索与表达规律。据观察，第 个图形有 个小圆，第 个图形有 个小圆，第 个图形有 个小圆， 第 个图形有 个小圆。故本题正确答案为 。考点探索图形中的规律。9、观察如图所示的钢管的截面图，则第 个图的钢管数是_ 。（用含的式子表示）答案150.7M02:26解析本题主要考查规律探索。设第 个图的钢管数为 ，则由题可知，当 时， 。当 时， ，当 时， ， ，所以。故本题正确答案为 。10、 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其
17、中第 个图形中一共有 个小圆圈，第 个图形中一共有 个小圆圈，第个图形中一共有 个小 圆圈， ，按此 规律排列下去，第个图形中小圆圈的个数为（ ）。A: B: C: D: 答案 D 解析本题主要考查规律探索。16观察图可知，第个图中小圆圈有 个，第个图中小圆圈的个数为 ，第个图中小圆圈的个数为 ，以此类推，第个图中小圆圈的个数为 。故本题正确答案为 D。考点规律探索。11、 图 是一个三角形, 分别连接这个三角形三边的中点得到图,再分别连接图中间小三角形三边的中点, 得到图.(1)图 有个三角形;图有个三角形.(2)按上面的方法继续下去,第 n 个图形中有多少个三角形 ?(用 n 的代数式表示
18、结论)(3)有没有一个图形中存在 2016 个三角形? 如果存在, 请求出是第几个三角形;如果不存在,请说明理由.答案 5 9解:根据图形的变化可以知道每个图形比前一个图形多 4 个三角形.(1)由 发现的规律可以知道图有 个三角形;图有 个三角形.因此，本题正确答案是:5;9.(2) .17故按上面的方法继续下去,第 n 个图形中有 个三角形.(3)令 ,计算得出 ,商出现了余数,即得数不是整数,没有一个图形中存在 2016 个三角形.解析(1) 根据图形的变化可发现每个图形比前一个图形多 4 个三角形,结合图 有一个三角形即可得出结论;(2)根据图形的变化可发现每个图形比前一个图形多 4
19、个三角形,而图形只有一个三角形,用含 n 的代数式表示出结论即可;(3)结合(2) 的结论, 令三角形的个数等于 2016,看 n 的值是否为整数,是的话则第 n 个图形就是所求,如果不是,则不存在.2 图 形成倍递变12、如图，在 中， ，点 ， 分别是 ， 边的中点，点， 分别是 ， 的中点，点 ， 分别是 ， 的中点，按这样的规律下去， 的长为_（ 为正整数）。答案1.6M06:1218解析本题主要考查规律探索。因为点 、 分别是边 、 的中点，所以 是 的中位线。根据三角形中位线定理可知，故 。又因为点 、 分别是边、 的中点，所以 是 的中位线，所以 ，按此规律，所以 。故本题正确答
20、案为 。考点规律探索。13、如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上（包括两个顶点）都摆有 n（n3）盆花，每个图案中花盆总数为 S，按照图中的规律可以推断 S 与 n（n3）的关系是 n（n-1 ） 答案解：n=3 时，S=6=33-3=3， n=4时 ，S=12=44-4 ， n=5时 ，S=20=55-5 ， ， 依此类推，边数为 n 数，S=nn-n=n （n-1 ） 故答案为：n（n-1）解析根据各图形的排列规律，用边数乘以每一条边上的花盆数，因为顶点上的花盆被计算了两次，所以再减去顶点数整理即可本题是对图形变化规律的考查，需要注意顶点处的花盆被计算了两次，这是
21、本题容易出错的地方14、如图，在平面直角坐标系中，边长为 的正方形 的两边在坐标轴上，以它的对角线 为边 作正方形 ，再以正方形 的对角线19为边 作正方形 ，以此类推 ，则正方形 的顶点的坐标是_ 。答案解析本题主要考查规律探索。由题意可以推出 ， ， ， ， ， ， ， ， ，可以看出 ， ， ， 分别位于第一、二、三、四象限，且横纵坐标的绝对值相等，分别等于 ， ， ， 。而，可以推断出 位于第四象限，其坐标为，观察 到 的规律，可知 在 轴正半轴上，其坐标为 。故本题正确答案为 。考点规律探索考点几何之规律探索。考点规律探索，三角形的基本概念，等腰三角形。3 图 形循环规律17、下列一
22、串梅花图案是按一定规律排列的,请你仔细观察,在前 2016 个梅花图案中,共有个“ ”图案.答案20504解: , 有 504 个,因此，本题正确答案是:504.解析察图形可以知道,这组图案的排列规律是: 四个图案一个循环周期, 每个周期都有一个 ,由此计算出第 2016 个图案经历了几个周期即可解答.18、一组“穿心箭”按如下规律排列，照此规律，画出 支“穿心箭”是_ 。答案0.解析本题主要考查规 律探索。观察“穿心箭”变化可得，奇数支的“穿心箭” 心数为 ，偶数支的“穿心箭” 心数为 ， 是奇数，所以应为 颗心。箭的指向以向右上角、向右下角和向右为周期变化， 可以被 整除，所以箭的指向应为向右，故第 支“穿心箭”是 。故本题正确答案 为 。
