1、 2015 年全国高中数学联赛（B 卷） （一试）1、填空题（每个小题 8 分，满分 64 分1：已知函数 ，其中 为常数，如果 ，则 的),3(log0)(2xaxf a)4(2fa取值范围是 2：已知 为偶函数，且 ，则 的值为 3)(fy15)0(f)0(f3：某房间的室温 （单位：摄氏度）与时间 （单位：小时）的函数关系为：Tt，其中 为正实数，如果该房间的最大温差为 10 摄氏度，),0(cosintbtaTba,则 的最大值是 4：设正四棱柱 的底面 是单位正方形，如果二面角1DCBA的大小为 ，则 11BDA35：已知数列 为等差数列，首项与公差均为正数，且 依次成等比数列，则使
2、na 952,a得的最小正整数 的值是 1210k k6：设 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集 和)(2),(2yxxyA，若 是单元集，则 的值为 3),(kyxBBk7：设 为椭圆 上的动点，点 ，则 的最大值为 P142)1,0(,PB8：正 2015 边形 内接于单位圆 ，任取它的两个不同顶点 ，20151AOjiA,则 的概率为 jiOA2、解答题9：（本题满分 16 分）数列 满足 对任意正整数 ，均有na,31nm,mannm2（1）求 的通项公式；（2）如果存在实数 使得 对所有正整数 都成立，求 的取值范围ccaki1kc10：（本题满分 20 分）设 为四个有理数，使得
3、：4321,a，求 的值,8,41jiaji 4321a11：（本题满分 20 分）已知椭圆 的右焦点为 ，存在经过点)0(12bayx )0,(cF的一条直线 交椭圆于 两点，使得 ，求该椭圆的离心率的取值范围FlBA,OBA（加试）1：（本题满分 40 分）证明：对任意三个不全相等的非负实数 都有：cba,，并确定等号成立的充要条件21)()()(22acbabc2：（本题满分 40 分）如图，在等腰 中， ，设 为其内心，设 为ABCID内的一个点，满足 四点共圆，过点ABCDI,作 的平行线，与 的延长线交于DE求证： E23：（本题满分 50 分）证明：存在无穷多个正整数组 满足：)
4、2015,)(,cba1,1abcbca4：（本题满分 50 分）给定正整数 ，设 是 中任取)2(,nmma,21n,个互不相同的数构成的一个排列，如果存在 使得 为奇数，或者存mk,k在整数，使得 ，则称 是一个“好排列” ，试确定所有好排列)1(,lkllkama,21的个数。2015 年全国高中数学联赛（B 卷）解答（一试）3、填空题（每个小题 8 分，满分 64 分1已知函数 ，其中 为常数，如果 ，则 的),3(log0)(2xaxf a)4(2fa取值范围是 答案：（-2,+） 解： ，所以 ，解得： (),42ff2已知 为偶函数，且 ，则 的值为 3)(xfy15)0()0(
5、f答案：2015解：由己知得 ，即33f=2015(10)20f3某房间的室温 （单位：摄氏度）与时间 （单位：小时）的函数关系为：Tt，其中 为正实数，如果该房间的最大温差为 10 摄氏度，),(cosintbtaTba,则 的最大值是 答案： 解：由辅助角公式： ，其中 满足52 2sincosin()Tttabt条件 ，则函数 的值域是 ，室22si,csababT22,ab内最大温差为 ，得 1025故 ,等号成立当且仅当 2()552ab4设正四棱柱 的底面 是单位正方形，如果二面角1DCBA的大小为 ，则 11BDA3答案： 解：取 BD 的中点 O，连接 OA, OA1 , OC
6、162则A 1OC1 是二面角 A1-BD-C1 的平面角，因此A 1OC1= , 3又OA 1C1 是等边三角形故 A1O= A1C1= ，所以2226()O5已知数列 为等差数列，首项与公差均为正数，且 依次成等比数列，则使na 952,a得的最小正整数 的值是 1210k k答案：34解：设数列 的公差为 ,则 因为nd215191,4,8add依次成等比数列，所以 ，即 化简上式95,a295 2()8()a得到： 又 ，所以 由218d18112()(1)206kadak解得 min34k6设 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集 和)(2),(2yxxyA，若 是单元集，则 的值为
7、 0),(kyxBBk答案： 解：点集 A 是圆周 ，点集 B 是恒过点 P （-222:(1)x1,3）的直线 及下方（包括边界） 作出这两个:3(1)l点集知，当 A 自 B 是单元集时，直线 l 是过点 P 的圆 的一条切线故圆 的圆心 M (1, l）到直线 l 的距离等于圆的半径 ，故 结合图像，应取较小根22|k3k7设 为椭圆 上的动点，点 ，则 的最大值为 P14xy )1,0(,BAPBA答案：5解：取 F ( 0 , l )，则 F, B 分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4因此，| PA|+|PB|=4-|PF|+|PA|4+|FA|=4+l= 5
8、当 P 在 AF 延长线与椭圆的交点 时，|PA|+|PB|最大值为 53(,1)28正 2015 边形 内接于单位圆 ，任取它的两个不同顶点 ，20151AOjiA,则 的概率为 jiOA答案 解：因为 ，所以670|ij222|2(1cos,)ijijij ijAO故 的充分必要条件是 ，即向量 的夹角1jiAcos,ijO,ijA不超过 3对任意给定的向量 ，满足条件 的向量可的取法共有： iO1jiA种，故 的概率是：2213405ji167p4、解答题9 （本题满分 16 分）数列 满足 对任意正整数 ，均有na,31nm,mannm2（3）求 的通项公式；（4）如果存在实数 使得
9、对所有正整数 都成立，求 的取值范围ccaki1kc解： (l)在 中令 可以得到 的递推公式：nmn2 1na12(32)nnnaa因此 的通项公式为：8 分15(1)() (2)nk nn（事实上，对这个数列 , ，并且na32()()()mnam 22()()mnm2所以 是数列 的通项公式 n(2)注意到： ，所以11()()2na11 131()2242kkn kk故 ,并且 ，因此 的取值范围是 16 分34ka13()4knac,c10 （本题满分 20 分）设 为四个有理数，使得：32,，求 的值18,1jiji 4321a解：由条件可知， 是 6 个互不相同的数，且其中没有两
10、个为相反数，(4)ijaj由此知， 的绝对值互不相等，不妨设 ，则4321, |4321中最小的与次小的两个数分别是 及 ，最大与次大|()ijaij 13的两个数分别是 及 ，从而必须有34|24|10 分12324,8,a于是 2341112,8aa故 ，15 分3423,结合 ，只可能 1aQ14a由此易知， 或者 234,6a1234,64aa检验知这两组解均满足问题的条件故 20 分12349a11 （本题满分 20 分）已知椭圆 的右焦点为 ，存在经过点)0(12bayx )0,(cF的一条直线 交椭圆于 两点，使得 ，求该椭圆的离心率的取值范围FlBA,OBA解：设椭圆的右焦点
11、F 的坐标为（ , 0)显然 l 不是水平直线，设直线 l 的方程为c，点 A、B 的坐标分别为 ， 将直线 l 的方程与椭圆方程联立，xkyc1()xy2(,)消去 得 222()40baykba由韦达定理 1242,().cbybkaka12112()OABxycy 2121()()kykcy5 分42 2()kc4ba因为 等价于 ，故由上式可知，存在满足条件的直线 l，等价于0OAB存在实数 ，使得 , 242kba24(1)acbk显然存在 满足 等价于 15 分c又 ，所以等价于 ，两边除以 得到22ba204a,即 (1)0c22(1)e由于 ，解得： 20 分e5,加试1：（本
12、题满分 40 分）证明：对任意三个不全相等的非负实数 都有：cba,，并确定等号成立的充要条件21)()()(22 acbabc解：当 不全相等时，原不等式等价于,上式可化简为222222()()()()()()cbbca, 即1abaca 6考虑到 ，故由平均不等式得，22,0 226cbbcabcab因此原不等式成立 20 分下面考虑等号成立的充分必要条件注意到中等号成立的充分必要条件是 22若 ，则 ，显然 ，与条件矛盾！0abccac若 ，则 ，但 不全为 0，不妨设 ，0b,b0a则 类似可得其余两种情况，即 中恰有一个非零这时原不等式中等式确实成立因此，原不等式等号成立当且仅当 中
13、有两个是 0，另一,c个为正数40 分2 （本题满分 40 分）如图，在等腰 中， ，设ABC为其内心，设 为 内的一个点，满足 四点共圆，过点 作 的平行IDABCDCBI,CBD线，与 的延长线交于 求证： EE2证明：连接 BI,CI设 I, B , C, D 四点在圆 O 上，延长 DE 交圆 O 于 F，连接FB，FC因为 BD|CE，所以DCE=180-BDC=BFC 又由于CDE=CDF=CBF ，所以BFCDCE，从而CBFE再证明 AB, AC 与圆 O 相切事实上，因为ABI= ABC= ACB=ICB ，所以 AB 与12圆 O 相切同理 AC 与圆 O 相切 20 分因
14、此有ABDAFB，ACDAFC，故,即 30 分BDACFFBDC结合、，得 ，即 40 分E2E3 （本题满分 50 分）证明：存在无穷多个正整数组 满足：)2015,)(,cba1,1abcbca证明：考虑 的特殊情况，此时 成立 10 分|1cab由 知， ，故 |()由 知， ，故 |为满足、，取 ,此时 40 分*,()akbN21k当正整数 2015 时， 均符合条件，因此满足条件的正k2(),1)ck整数组 有无穷多个 50 分(,)abc4 （本题满分 50 分）给定正整数 ，设 是 中任取 个(,nmma,21n,互不相同的数构成的一个排列，如果存在 使得 为奇数，或者存在整
15、数,k，使得 ，则称 是一个“好排列” ，试确定所有好排列)1(,mlkllkaa,21的个数解：首先注意， “存在 ，使得 为奇数”是指存在一个数与它所在,k的位置序号的奇偶性不同；“存在整数 ，使得 ”意味着排列中)(lllka存在逆序，换言之，此排列不具有单调递增性将不是好排列的排列称为“坏排列” ，下面先求坏排列的个数，再用所有排列数减去坏排列数注意坏排列同时满足：（1）奇数位必填奇数，偶数位必填偶数；（2）单调递增10 分下面来求坏排列的个数设 P 是坏排列全体，Q 是在 中任取 项组成2,1mn的单调递增数列的全体对于 P 中的任意一个排列 ，定义 a,2),2,1(),(21 a
16、aaf mm 因为 ，故由条件（1）可知，所有的 均属于集合knk再由条件（2）可知， （ ）单调递增故如上定,21mn 2kam,1义的 给出了 的一个映射显然 是一个单射 30 分fQPf下面证明 是一个满射事实上，对于 Q 中任一个数列 ，令f b,21（ ） 因为整数 ，故 ，从而kba,1 kb1k)()(21 mbk故 单调递增ma,又 ，而 ，及 为偶数，故 为 P1n kka2ma,21中的一个排列显然 ，故 是一个满射),(),(2121 mmbf f综上可见， 是 的一个一映射，故 40 分QP|QP又 Q 中的所有数列与集合 的所有 元子集一对应，故 ，, 2|mnQC从而 2|mnC最后，我们用总的排列数 扣除坏排列的数目，得所有的排列的个数为!()mnP 50 分2!()mn
