1、1 页2018 届吉林省长春市普通高中高三一模考试题数学试题卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设为虚数单位，则 （ ）A. B. C. 5 D. -55i 5i【答案】A【解析】由题意可得： .(1+2i)(2i)=2+4i+i2i2=5i本题选择 A 选项.2. 集合 的子集的个数为（ ）a,b,cA. 4 B. 7 C. 8 D. 16【答案】C【解析】集合 含有 3 个元素，则其子集的个数为 .a,b,c 23=8本题选择 C 选项.3. 若图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平
2、均成绩 关于测试序号 的函数图像，为了x容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；二班成绩不够稳定，波动程度较大；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升其中正确结论的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】通过函数图象，可以看出均正确.故选 D.4. 等差数列 中，已知 ，且公差 ，则其前 项和取最小值时的 的值为（ ）an |a6|=|a11| d0 n nA. 6 B. 7 C. 8 D. 92 页【答案】C【解析】因为等差数列 中， ，所以 ，有， 所以当 时前 项和取最
3、小值 .故选 C5. 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（ ）A. 95，94 B. 92，86 C. 99，86 D. 95，91【答案】B【解析】 由茎叶图可知，中位数为 92，众数为 86. 故选 B.6. 若角 的顶点为坐标原点，始边在 轴的非负半轴上，终边在直线 上，则角 的取值集合是（ x y=3x ）A. B. |=2k3,kZ |=2k+23,kZC. D. |=k23,kZ |=k3,kZ【答案】D【解析】因为直线 的倾斜角是 ，所以终边落在直线 上的角的取值集合为 y=3x23 y=3x或者 .故选 D. |=k3,kZ |=k+23,kZ7.
4、 已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）x0,y0 4x+y=xy x+yA. 8 B. 9 C. 12 D. 16【答案】B【解析】由题意可得： ，则：4y+1x=1，x+y=(x+y)(4y+1x)=5+4xy+yx5+24xyyx=9当且仅当 时等号成立，x=3,y=6综上可得：则 的最小值为 9.x+y本题选择 B 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误3 页8. 九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的
5、屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为 1 丈） ，那么该刍甍的体积为（ ）A. 4 立方丈 B. 5 立方丈 C. 6 立方丈 D. 12 立方丈【答案】B【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为 3，四棱锥的体积为 2，则刍甍的体积为 5.故选 B.9. 已知矩形 的顶点都在球心为 ，半径为 的球面上， ，且四棱锥 的体积ABCD O R AB=6,BC=23 OABCD为 ，则 等于（ ）83 RA. 4 B. C. D. 23479 13【答案】A【解析】由题意可知球心到平面 ABCD 的距离 2，矩形 ABCD 所在圆的半
6、径为 ，从而球的半径 .故23 R=4选 A.10. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A. 求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2017 项和B. 求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2018 项和C. 求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1009 项和D. 求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1010 项和【答案】C【解析】 由题意可知 ，为求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1009 项和.故4 页选 C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循
7、环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11. 已知 为坐标原点，设 分别是双曲线 的左、右焦点，点 为双曲线上任一点，过点 作O F1,F2 x2y2=1 P F1的平分线的垂线，垂足为 ，则 （ ）F1PF2 H |OH|=A. 1 B. 2 C. 4 D. 12【答案】A【解析】延长 交 于点 ，由角分线性质可知 根据双曲线的定义，从而 ，在 中， 为其中位线，故 .故选 A.点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.12. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则函数 在区R f(x) f(x+)=f
8、(x) x0,2 f(x)= x g(x)=(x)f(x)1间 上所有零点之和为（ ）32,3A. B. C. D. 2 3 4【答案】D【解析】 , f(x+)=f(-x) =f(x)T=2g(x)=(x-)f(x)-1=0f(x)=1x作图如下： ，四个交点分别关于 对称，所以零(,0)点之和为 ，选 D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等5 页二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填
9、在答题纸上）13. 已知角 满足 ， ，则 的取值范围是_, 20) y=k(x+1)x24+y23=1 (3k2+4)y2-6ky-9=0设 ， ，有 ， ， ， ，A(x1,y1) B(x2,y2) y1=-y2 y1y2=-(1-)2(y1+y2)2 (1-)2 = 43+4k2 +1-2= 43+4k2由于 ，所以 ， ，解得 .20 a（）证明： ln2+(ln3ln2)2+(ln4ln3)3 +ln(n+1)lnnn0 exln(x+a) a2 a3得结果；（） ）由 ，令 ，exln(x+2) x=-n+1n即 ，即 ，令 ，各式相加即可得结果.e-n+1n ln(-n+1n +
10、2) e-n+1lnn(-n+1n +2) n=1,2,3,4.试题解析：()由题意可知， 和 在 处有相同的切线，f(x) g(x) (0,1)10 页即在 处 且 ，(0,1) f(1)=g(1) f(1)=g(1)解得 . a=1,b=1（）现证明 ，设 ，exx+1 F(x)=ex-x-1令 ，即 ，F(x)=ex-1=0 x=0因此 ，即 恒成立，F(x)min=F(0)=0 F(x)0即 ，exx+1同理可证 . lnxx-1由题意，当 时， 且 ，a2 exx+1 ln(x+2)x+1即 ，exx+1ln(x+2)即 时， 成立.a=2 f(x)-g(x)0当 时， ，即 不恒成
11、立.a3 e0ln(x+2) x=-n+1n即 ，即e-n+1n ln(-n+1n +2) e-n+1lnn(-n+1n +2)由此可知，当 时， ，n=1 e0ln2当 时， ，n=2 e-1(ln3-ln2)2当 时， ，n=3 e-2(ln4-ln3)3当 时， . n=n e-n+1ln(n+1)-lnnn综上： e0+e-1+e-2+.+e-n+1ln2+(ln3-ln2)2+(ln4-ln3)3+.+ln(n+1)-lnnn11-1ee0+e-1+e-2+.+e-n+1. ln2+(ln3-ln2)2+(ln4-ln3)3+.+ln(n+1)-lnnn即 . ln2+(ln3-ln
12、2)2+(ln4-ln3)3+.+ln(n+1)-lnnn1【答案】() ；（ ）证明见解析.x|10 a,b,cA (1-a2b2)(1-c2)0试题解析：（1）由已知，令f(x)=|x+1|-|x-1|= 2(x1)2x(-11 |1-abc|ab-c|只需证 ，只需证1+a2b2c2a2b2+c2 1-a2b2c2(1-a2b2)12 页只需证 ，由 ，则 恒成立.(1-a2b2)(1-c2)0 a,b,cA (1-a2b2)(1-c2)0点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.
