1、第 1 页/共 2 页分式知识点及题型1、分式的定义：一般地，如果 A，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式，A 为分子，B 为分母。二、与分式有关的条件分式有意义：分母不为 0（ ） 分式无意义：分母为 0（ ）分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（ ） BA分式值为正或大于 0：分子分母同号（ 或 ）0分式值为负或小于 0：分子分母异号（ 或 ）BA分式值为 1：分子分母值相等（A=B） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。字母表示： ， ，其中 A、B、C 是整式，
2、C 0。CBA拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即： 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C 0 这个限制条件和隐含条件 B 0。四、分式的约分1定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。2步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。3注意：分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。4最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。约分时。分子分母公因式的确
3、定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数 作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式 .3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。（依据：分式的基本性质！）2最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。通分时，最简公分母的确定方法：1系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.第 2 页/共 2 页2取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母
4、.六、分式的四则运算与分式的乘方 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： dbca分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为： 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为： nba 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为： cba异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为： db整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为 1 的分式，再通分。 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁
5、在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式） 。七、整数指数幂 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即： （ ）nmamnanbanma0） （ ） （任何不等于零的数的零次幂都等于 1）nbn1010其中 m，n 均为整数。八、分式方程的解的步骤：去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。 （产生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解。检验
6、，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为 0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为 0，则是原方程的解。产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为 0。九、列分式方程基本步骤： 审仔细审题，找出等量关系。 设合理设未知数。 列根据等量关系列出方程（组） 。 解解出方程（组） 。注意检验 答答题。第 3 页/共 2 页分式典型例题1、分式（一）从分数到分式题型 1：考查分式的定义例：下列式子中， 、8a 2b、- 、 、 、2- 、 、 yx539ayxb5432am165xy、 、 、 、 、 中分式的个数为（ ） （A） 2 （B）
7、 3 （C ） 4 (D) x121m15练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . 275x； 13；25a； 2x；2b； 2xy.（2）下列式子，哪些是分式？ 5a； 24x；3y； 78x； 2y； 145b.题型 2：考查分式有，无意义，总有意义（1）使分式有意义：令分母0 按解方程的方法去求解；（2）使分式无意义：令分母=0 按解方程的方法去求解；注意：（ 0）2x例 1：当 x 时，分式 有意义； 例 2：分式 中，当 时，分式没有意义51xx1_例 3：当 x 时，分式 有意义。 例 4：当 x 时，分式 有意义2 12x例 5： ， 满足关系 时，分式 无意义；yyx例 6：无
8、论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）A B. C. D.1212x13x25x例 7：使分式 有意义的 x 的取值范围为（ ）A B C 2x D x例 8：要是分式 没有意义，则 x 的值为（ ） A. 2 B.-1 或-3 C. -1 D.3)3(1第 4 页/共 2 页题型 3：考查分式的值为零的条件使分式值为零：令分子=0 且分母0，注意：当分子等于 0 使，看看是否使分母=0 了，如果使分母=0 了，那么要舍去。例 1：当 x 时，分式 的值为 0 例 2：当 x 时，分式 的值为 012a 12x例 3：如果分式 的值为为零,则 a 的值为( ) A. B.2 C. D.以
9、上全不对例 4：能使分式 的值为零的所有 的值是 （ ）12xxA B C 或 D 或00101x例 5：要使分式 的值为 0，则 x 的值为（ ）A.3 或-3 B.3 C.-3 D 26592x例 6：若 ,则 a 是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数01题型 4：考查分式的值为正、负的条件【例】 （1）当 为何值时，分式 为正；xx84（2）当 为何值时，分式 为负；2)1(35（3）当 为何值时，分式 为非负数.xx二、分式的基本性质题型 1：分式的基本性质的应用分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 例 1： ； ；如果 成立,
10、则 a 的取值范围是_；abyxzyx2)(3675)13(a例 2： )(13)(cbcb 例 3：如果把分式 中的 a 和 b 都扩大 10 倍，那么分式的值（ ）2A、扩大 10 倍 B、缩小 10 倍 C、是原来的 20 倍 D、不变例 4：如果把分式 中的 x，y 都扩大 10 倍，则分式的值（ ）10CBACBA0第 5 页/共 2 页A扩大 100 倍 B扩大 10 倍 C不变 D缩小到原来的 10例 5：如果把分式 中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（ ）A、扩大 2 倍； B、扩大 4 倍； C、不变； D 缩小 2 倍例 6：若把分式 的 x、y 同时缩小 12
11、倍，则分式的值（ ）3A扩大 12 倍 B缩小 12 倍 C不变 D缩小 6 倍例 7：若 x、y 的值均扩大为原来的 2 倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A、 B、 C、 D、2323yx323yx例 8：根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）baA B C D baba例 9：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数， ；05.12.x例 10：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， = 。2题型 2：分式的约分及最简分式约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分分式约分的依据：分式的基本性质分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后
12、约去分子与分母的公因式约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。例 1：下列式子（1） ；（2） ；（3） ；（4） 中正确的yx12 cab1ayx是（ ）A 、1 个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个例 2：下列约分正确的是（ ）A、 ； B、 ； C、 ； D、36x0yxxy12214yx例 3：下列式子正确的是( )A B. C. D.02yx1yaxz0adcdca例 4：下列运算正确的是（
13、 ）A、 B、 C、 D、ab24x2ab1m例 5：下列式子正确的是（ ）第 6 页/共 2 页A B C D2ab0b1baba23.0例 6：化简 的结果是（ ）A、 B、 C、 D、293m3m3m例 7：约分： ； = ； ； 。264xy92xxy12yx536.015例 8：约分： ； ； ； 24ay2164)(ba2)(y； ； 2yxa82x629x314_abc_ _。9_3mba20592x例 9：分式 ， ， ， 中，最简分式有( )a22)(141A1 个 B2 个 C3 个 D4 个题型 3：分式的通分及最简公分母:通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类
14、：分母是多项式（要先把分母因式分解）分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。例如： 最简公分母就是 。2x2x“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。例如： 最简公分母就是42x42xx“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。例如： 最简公分母是：22x2x例 1：分式 的最简公分母是（ ）nmn,1,A B C D)(2m2)( )(2nm2n例 2：对分式 ， ， 通分时， 最简公分母yx2314xy是（ ）
15、第 7 页/共 2 页A x2y B 例 3：下面各分式： , , , ，其中最简分式有（ ）个。212xy12xyA. 4 B. 3 C. 2 D. 1例 4：分式 2a， 4的最简公分母是 .例 5：分式 a 与 的最简公分母为_；1b例 6：分式 的最简公分母为 。xyx22,2、分式的运算（1）分式的乘除题型 1：分式的乘，除，乘方分式的乘法：乘法法测： ba dc= .分式的除法：除法法则： = = bca分式的乘方：求 n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是( ba)n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：( ba)n= (n 为正整数)例题：计算：（
16、1） （2） 7462395yx 134104356axy计算：（3） （4） 242aba 242计算：（5） （6） 221065xyyx 2213()9xx计算：（7） （8） 24aa 1422aa求值题：（1）已知： ，求 的值。3yxxyxy222（2）已知： ，求 的值。92第 8 页/共 2 页（3）已知： ，求 的值。31yxyx2例题：计算：（1） （2） = （3） = 23()x5ba32xy计算：（4） = （5） = 2ab 42ab求值题：（1）已知： 求 的值。432zyx22zyx（2）已知： 求 的值。0510yx练习：计算 的结果是（ ）A B C D y
17、xyx222)( 2yx21y化简 的结果是（ ）A. 1 B. xy C. D . 1 x计算：（1） ；（2） （3）(a 21) 1a 244823xx 22xx（二）分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。例 1： = 例 2： = mn2 1432
18、a例 3： = 例 4： = xy 222yxyx计算：（1） 413 （2） （3） ab22)()(ab（4） 25ab 25 28. 例 5：化简 + + 等于（ ） A 1x231xB C D3x165x第 9 页/共 2 页例 6： 例 7： 例 8： cab214axx3)(2例 9： 例 10： 2a 2 例 11： xx1362 1a练习题：（1） （2） （3） 29+ 3.2baxx2141（4） （5） - y例 13：计算 的结果是（ ）A B C D 1a1a12a例 14：请先化简： ，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值 .24x例 15：已知： 求 的值
19、。032x 42x（3）分式的混合运算题型 1：化简分式例 1： 例 2：42642xx 3412312xx例 3： 例 4： 2)( 13例 5： 例 6： 11x 2241yxyx例 7 例 8： 22()yxy 122题型 2：分式求值问题：例 1：已知 x 为整数，且 23+ x+ 21为整数，求所有符合条件的 x 值的和.第 10 页/共 2 页例 2：已知 x2， y 1，求 224()()xy 1xy的值.例 3：已知实数 x 满足 4x2-4x+l=O，则代数式 2x+ 的值为_例 4：已知实数 a 满足 a22a8=0，求 3412312aa的值.例 5：若 13x 求 24
20、x的值是（ ） A 8 B 0 C 21 D 4例 6：已知 y，求代数式 142y的值例 7：先化简，再对 a取一个合适的数，代入求值23694aa练习题：先化简再求值（1） ，其中 x=5. （2） ,其中 a=-3，b=216842x 22ba（3） ；其中 a=85； （4） ，其中 x= -122aa xx4)41(22 （5）先化简，再求值： 34x(x+2 5).其中 x2.（6） 3,2,1)()2( 2 babababa 其 中题型 3：分式其他类型试题：例 1：观察下面一列有规律的数： ， ， ， ， ， ，根据其规律可知第 个数应是（ n 为正整328154236487数
21、）例 2： 观察下面一列分式： 根据你的发现，它的第 8 项是 ，第 n 项是 2345,.xx。例 3：当 x=_时,分式 与 互为相反数.510例 4：已知 ，则 ；4)4(22xCBAx _,_,CB例5： 已知3711yy，则（ ）A 0,B 0,3 C 10,3A D 10,3AB例 6：已知 ，求 的值；yx3222yx第 11 页/共 2 页例 7：先填空后计算： = 。 = 。 = 。 （3 分）1n21n312n（本小题 4 分）计算： )208)(7()()()( nnn 解： 2013211)( = 3、分式与方程（一 ）分式方程的解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整
22、式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：1、交叉相乘法：例 1解方程： 231x2、化归法：例 2解方程： 03、左边通分法：例 3：解方程： 871x4、分子对等法：例 4解方程： )(baba5、观察比较法：例 5解方程： 41254x6、分离常数法：例 6解方程： 873981xx7、分组通分法：例 7解方程： 4152（二）分式方程求待定字母值的方法例 1若分式方程 无解，求 的值。xmx21例 2若关于 的方程 不会产生增根，求 的值。1kk例 3若关于 分式方程 有增根，求 的值。x4321x例 4若关于 的方程
23、 有增根 ，求 的值。151kxxk（二）分式方程的题型题型 1：化为一元一次的分式方程（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母） ，把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。（3）解分式方程的步骤 ：（1）能化简的先化简； (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程； (4)验根第 12 页/共 2 页例 1：如果分式 的值为 1，则 x 的值是 ；2x例 2：要使 的值相等，则 x=_。45与例 3
24、：当 m=_时，方程 =2 的根为 .m2例 4：如果方程 的解是 x5，则 a 。3)1(2xa例 5:解方程： 2462例 6：已知：关于 x 的方程 无解，求 a 的值。x3例 7：若分式 与 的 2 倍互为相反数，则所列方程为_；1例 8：当 m 为何值时间？关于 的方程 的解为负数？x212xxm例 9：解关于 的方程x)0(abab例 10：解关于 x 的方程: 12x例 11 知关于 x 的方程 的解为负值，求 m 的取值范围。)(2xm练习题： (1) (2) (3) 1642 0)1(23XX15312(4) (5) (6) 5x6545x2x(7) (8） （9） 2323
25、313题型 2：分式方程的增根问题：（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为 0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 （2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。例 1：分式方程 +1= 有增根，则 m= 3xm例 2：当 k 的值等于 时，关于 x 的方程 不会产生增根；342xk例 3：若解关于 x 的分式方程 42会产生增根，求 m 的值。例 4： 取 时，方程 会产生增根；m3xm例 5：若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值为_。32第 13 页/共 2 页例 6：
26、当 k 取什么值时？分式方程 有增根 .011xkx例 7：若方程 有增根，则 m 的值是（ ）A4 B3 C-3 D141x例 8：若方程 有增根，则增根可能为（ ）32(2)axA、0 B、2 C、0 或 2 D、1题型 3：公式变形问题：例 1：已知公式 12R（ 12R） ，则表示 1的公式是（ ）A 21 B 21 C 12()R D 21R例 2：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距 u，像距 v 和凸透镜的焦距 f 满足关系式： . 若 f6 厘米，v8 厘米，则1u 1v 1f物距 u 厘米.例 3：已知梯形面积 S、a、b、h 都大于零，下列变形错误是（ ）,)(21SA B.
27、C. D.bah2)(2baSh例 4：已知 ,则 M 与 N 的关系为( )baNbaM1,1,1A.MN B.M=N C.M0,n0,mn)，依题意，得：采购员 A 两次购买饲料的平均单价为 (元千克) ， 采购员 B 两次购买饲料的平均单价为 (元千克)而 0也就是说，采购员 A 所购饲料的平均单价高于采购员 B 所购饲料的平均单价，所以选用采购员 B 的购买方式合算例 13 某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润 30000 元;二月份把这种商品的单价降低了 0.4 元，但是销售量比一月份增加了 5000 件，从而获得利润比一月份多 2000 元，调价前每件商品的利润为多少
28、元？解： 可以列出三个等量关系：12 月份销售量一 1 月份销售量=5000 22 月份销售量2 月份利润=2 月份总利润 31 月份利润一 2 月份利润=0.4二、工程类应用性问题例 21 甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作 2 天后，由乙队单独做 1 天就完成了全部工程。已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 倍，问甲乙单独做各需多少天？解析：等量关系：甲队单独做的工作量+乙队单独做的工作量=1例 22 甲、乙两个学生分别向计算机输入 1500 个汉字，乙的速度是甲的 3 倍，因此比甲少用 20 分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？解析：单独做所需时间 一天的工作量 实际做
29、时间 工作量甲 x 天 2 天乙 （2+1）天1输入汉字数 每分钟输入个数 所需时间甲 1500 个 x 个/分乙 1500 个 3x 个/分1232天 1x32150x3第 15 页/共 2 页等量关系：甲用时间=乙用时间+20（分钟）例 23 某农场原计划在若干天内收割小麦 960 公顷，但实际每天多收割 40 公顷，结果提前 4 天完成任务，试求原计划一天的工作量及原计划的天数。解析 1：等量关系：原计划天数=实际天数+4（天）解析 2： 工作总量 所需天数 一天的工作量原计划情况 960 公顷实际情况 960 公顷等量关系：原计划每天工作量=实际每天工作量-40（公顷）例 24 某工程
30、由甲、乙两队合做 6 天完成，厂家需付甲、乙两队共 8700 元，乙、丙两队合做 10 天完成，厂家需付乙、丙两队共 9500 元，甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的 ，厂家需付甲、丙两队共 5500 元32求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？若工期要求不超过 15 天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由解：设甲队单独做需 天完成，乙队单独做需 天完成，丙队单独做需 天完成，依题意可得：xyz ，得 = 16()0125()3xyzx， ， 61051xyz15 ，得 = ，即 z = 30，6z01 ，得 = ，即 x = 10， ，得 = ，即 y = 1
31、551经检验， x = 10， y = 15， z = 30 是原方程组的解设甲队做一天厂家需付 元，乙队做一天厂家需付 元，丙队做一天厂家需付 元，根据题意，得abc由6()870195abc， ， 80653bc， 可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队工作总量 一天的工作量 所需天数原计划情况 960 公顷 x 公顷实际情况 960 公顷 （x+40）公顷x天(4)天 960x960x4第 16 页/共 2 页此工程由甲队单独完成需花钱 元；此工程由乙队单独完成需花钱 元108a15970b所以，由甲队单独完成此工程花钱最少评析：在求解时，把 ， ， 分别看成一个整体，就可把分式
32、方程组转化为整式方程组来解xyz例 25 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？ 解： 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为 x 天，那么乙单独完成工程所需的天数就是(x3)天.设工程总量为 1，甲的工作效率就是 ，乙的工作效率是 ，依题意，得，解得 即规定日期是 6 天例 26 今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640 名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的 2
33、 倍，结果甲比乙少用 2 小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？解： 设教师乙每分钟能输入 x 名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入 2x 名学生的成绩，依题意，得： ， 解得 x11 经检验，x11 是原方程的解，且当 x11 时，2x22，符合题意即教师甲每分钟能输入 22 名学生的成绩，教师乙每分钟能输入 11 名学生的成绩例 27 甲乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？解析：甲每小时做 x 个零件，做 90 个零件所用的时间是(90 x) 小时，还可用式子 小时来表示。乙每小
34、时做(x-6)个90x零件，做 60 个零件所用的时间是 60(x-6) 小时，还可用式子 小时来表示。 等量关系：甲所用时间=乙所用时间 60x三、行程中的应用性问题例 3.1 甲、乙两个车站相距 96 千米，快车和慢车同时从甲站开出，1 小时后快车在慢车前 12 千米，快车比慢车早 40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？分析：等量关系：慢车用时=快车用时+ （小时）例 3.2 甲、乙两地相距 828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍直达快车比普通快车晚出发 2h，比普通快车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度分析：这是
35、一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度时间。解：设普通快车车的平均速度为 kmh，则直达快车的平均速度为 1.5 kmh，依题意，得xx= ，解得 ，经检验， 是方程的根，且符合题意 ， ，x6825.14646461.59x所行距离 速度 时间快车 96 千米 x 千米/小时慢车 96 千米 （x-12）千米/小时40696x12第 17 页/共 2 页即普通快车车的平均速度为 46kmh，直达快车的平均速度为 69kmh例 3.3 A、B 两地相距 87 千米，甲骑自行车从 A 地出发向 B 地驶去，经过 30 分钟后，乙骑自行车由 B 地出发，用每小
36、时比甲快 4 千米的速度向 A 地驶来，两人在距离 B 地 45 千米 C 处相遇，求甲乙的速度。分析：等量关系：甲用时间=乙用时间+ （小时）例 3.4 一队学生去校外参观他们出发 30 分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍若骑车的速度是队伍行进速度的 2 倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是 15 千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？解： 设步行速度为 x 千米时，骑车速度为 2x 千米时，依题意，得： 方程两边都乘以 2x，去分母，得 30-15x， 所以，x15 检验：当 x15 时，2x2150，所以 x15 是原分式方程的
37、根，并且符合题意 ，骑车追上队伍所用的时间为 30 分钟例 3.5 农机厂职工到距工厂 15 千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40 分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度解： 设自行车的速度为 x 千米/小时，那么汽车的速度为 3x 千米/小时，依题意，得：解得 x15 经检验 x15 是这个方程的解当 x15 时，3x45 即自行车的速度是 15 千米/小时，汽车的速度为 45 千米/小时例 3.6 甲乙两人同时从一个地点相背而行，1 小时后分别到达各自的终点 A 与 B；若从原地出发，但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达 A
38、 之后 35 分钟到达 B，求甲与乙的速度之比。分析：等量关系：甲走 OB 的时间-乙走 OA 的时间=35 分钟四、轮船顺逆水应用问题例 41 轮船顺流、逆流各走 48 千米，共需 5 小时，如果水流速度是 4 千米/小时，求轮船在静水中的速度。分析：顺流速度= 轮船在静水中的速度 +水流的速度逆流速度=轮船在静水中的速度 -水流的速度所行距离 速度 时间甲 （87-45）千米 x 千米/小时乙 45 千米 （x+4）千米/小时路程 速度 时间306 8745x48x第 18 页/共 2 页等量关系：顺流用时+逆流用时=5（小时）例 42 轮船在顺水中航行 30 千米的时间与在逆水中航行 2
39、0 千米所用的时间相等，已知水流速度为 2 千米时，求船在静水中的速度。解析：顺水航行 30 千米的时间= 逆水中航行 20 千米的时间，即 = 设船在静水中顺 水 航 行 速 度千 米30逆 水 航 行 速 度千 米0的速度为 千米时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决x解： 设船在静水中速度为 千米时，则顺水航行速度为 千米时，逆水航行速度为 千米时，依题意，x(2)x(2)x得 = ，解得 经检验， 是所列方程的根 即船在静水中的速度是 10 千米时230x1010x五、浓度应用性问题例 5 要在 15%的盐水 40 千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变
40、为 20%分析：设加入盐 千克浓度问题的基本关系是： =浓度x溶 液溶 质溶液 溶质 浓度加盐前 40 4015% 15%加盐后 40 x4015% x20%解：设应加入盐 千克，依题意，得 = 40%152100(4015% ) = 20(40 )，解得 经检验， 是所列方程的根，即加入盐 2.5 千克 5x六、耕地问题1、块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦 9000Kg 和 15000Kg,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少 3000Kg,分别求这块试验田每公顷的产量。2、某农场原有水田 400 公顷，旱田 150 公顷，为了提高单位面积产量，准
41、备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的 10%，问应把多少公顷旱田改为水田。3、退耕还林还草是我国西部实施的一项重要生态工程，某地规划退耕面积 69000 公顷，退耕还林与退耕还草的面积比是5：3，设退耕还林的面积是 X 公顷，那么应满足的分式方程是什么？七数字问题例 1：一个分数的分子比分母小 6,如果分子分母都加 1,则这个分数等于 ,求这个分数.41例 2：一个两位数，个位数字是 2，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新的两位数与原来的两位数之比是 7：4，求原来的两位数。例 3：一个分数的分母加上 5，分子加上 4，其结果仍是原来的分数，求这个分数。例 4：一个两位数，十
42、位上的数字比个位上的数字小 2，个位上的数字加上 8 以后去除这个两位数时，所得到的商是 2，求这个两位数。分式方程应用题课后练习顺流 48 千米 (x+4)千米/小时逆流 48 千米 (x-4)千米/小时 48x第 19 页/共 2 页1. 营销类应用性问题1、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔 300 枝以上， （不包括 300 枝） ，可以按批发价付款，购买 300 枝以下， （包括 300 枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买 1 枝，那么只能按零售价付款，需用 120 元，如果购买 60 枝，那么可以按批发价付款，同样需要 120 元，（1） 这
43、个八年级的学生总数在什么范围内？（2） 若按批发价购买 6 枝与按零售价购买 5 枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人（3） 这个八年级的学生总数在什么范围内？（4） 若按批发价购买 6 枝与按零售价购买 5 枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？2、某工厂去年赢利 25 万元，按计划这笔赢利额应是去、今两年赢利总额的 20%，今年的赢利额应是多少？3、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 8 万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用 17.6 万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 4 元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是 58 元，最
44、后剩下的150 件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。4、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔 300 枝以上， （不包括 300 枝） ，可以按批发价付款，购买 300 枝以下， （包括 300 枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买 1 枝，那么只能按零售价付款，需用 120 元，如果购买 60 枝，那么可以按批发价付款，同样需要 120 元，5、某商店销售一批服装，每件售价 150 元，可获利 25%，求这种服装的成本价。6、某商店甲种糖果的单价为每千克 20 元，乙种糖果的单价为每千克 16 元，为了促销，现将 10 千克的乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克 17。5 元，那么混合销售与分开销售的销售额相同，这包甲糖果有多少千克？7、总价 9 元的甲种糖果和总价是 9 元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克
