1、172xB(0,4)A(6,0)EF xyO二次函数与四边形综合专题一二次函数与四边形的形状例 1. 如图，抛物线 与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B 点左侧），直线 与抛物线交于 A、C 两23yx l点，其中 C 点的横坐标为 2（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；（3）点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由解：（
2、1）令 y=0，解得 或 A（-1 ，0）B（3，0）；将 C 点的横坐标 x=2 代入12得 y=-3，C（2，-3）直线 AC 的函数解析式23yx是 y=-x-1 （2）设 P 点的横坐标为 x（- 1x2）则 P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1），E（ (,)P 点在 E 点的上方，PE= 221(3)xx当 时， PE 的最大值=12x94（3）存在 4 个这样的点 F，分别是 1234(,0),)(70),(,)FF，练习 1.如图，对称轴为直线 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4）72x（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点 E（ ， ）是抛物线上一动点，且位于第
3、四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四xy边形求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；x当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？是否存在点 E，使平行四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由A272xB(0,4)A(6,0)EF xyO练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是 ，可设解析式为 把 A、B 两点坐标代入72x27()yaxk上式，得解之，得27(6)0,4.ak5,.36ak故抛物线解析式为 ，顶点为27()yx72(,).（2）点 在抛物线上
4、，位于第四象限，且坐标适合(,)E，y0,y 表示点 E 到 OA 的距离2536yxOA 是 的对角线，OAF 21764()5ES因为抛物线与 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量 的取值范围是 1 6x xx根据题意，当 S = 24 时，即 化简，得 解之，得 故2()x271().423,4.所求的点 E 有两个，分别为 E1（3，4），E 2（4，4）点 E1（3，4）满足 OE = AE，所以 是菱形；OAF点 E2（4，4）不满足 OE = AE，所以 不是菱形 当 OAEF，且 OA = EF 时， 是正方形，此时点 E 的坐标只能是（3，3）而坐标为（3，3）
5、的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E，使 为正方形OAF练习 2.如图，已知与 轴交于点 和 的抛物线 的顶点为 ，抛物线 与 关于 轴x(10)A， (5)B， 1l(4)C， 2l1x对称，顶点为 C（1）求抛物线 的函数关系式；2l（2）已知原点 ，定点 ， 上的点 与 上的点 始终关于 轴对称，则当点 运动到何处时，O(04)D， 2lP1lxP以点 为顶点的四边形是平行四边形？P， ， ，（3）在 上是否存在点 ，使 是以 为斜边且一个角为 的直角三角形？若存，求出点2lMAB 30的坐标；若不存在，说明理由M543211234554321AEBCO2l1lxy 543211234
6、554321AEBCO2l1lxy3练习 3. 如图，已知抛物线 与坐标轴的交点依次是 ， ， 1C(40)A(2)B(08)E（1）求抛物线 关于原点对称的抛物线 的解析式；2C（2）设抛物线 的顶点为 ，抛物线 与 轴分别交于 两点（点 在点 的左侧），顶点为1MxD，C，四边形 的面积为 若点 ，点 同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左NDASA运动；与此同时，点 ，点 同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点N与点 重合为止求出四边形 的面积 与运动时间 之间的关系式，并写出自变量 的取值范ADSt t围；（3）当 为何值时，四边形 的面积 有最
7、大值，并求出此最大值；t（4）在运动过程中，四边形 能否形成矩形？若能，求出此时 的值；若不能，请说明理由t4二二次函数与四边形的面积例 1.如图 10，已知抛物线 P：y=ax 2+bx+c(a0) 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在 x 轴的正半轴上)，与 y轴交于点 C，矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上，顶点 F、G 分别在线段 BC、AC 上，抛物线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x -3 -2 1 2 y -52-4 -50 (1) 求 A、B、C 三点的坐标；(2) 若点 D 的坐标为(m，0)，矩形 DEFG 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系
8、，并指出 m 的取值范围；(3) 当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时，连接 DF 并延长至点 M，使FM=kDF，若点 M 不在抛物线 P 上，求 k 的取值范围.练习 1.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形 OMNH，点 H的坐标为（8，0），点 N的坐标为（6，4）（1）画出直角梯形 OMNH绕点 O旋转 180的图形 OABC，并写出顶点 A， B， C的坐标（点 M的对应点为A， 点 N的对应点为 B， 点 H的对应点为 C）；（2）求出过 A， B， C三点的抛物线的表达式； （3）截取 CE=OF=AG=m，且 E， F， G分别在线段 CO， OA， AB上，求四边形 BE
9、FG的面积 S与 m之间的函数关系式，并写出自变量 m的取值范围；面积 S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形 BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时 m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由图 105练习 2.如图，正方形 的边长为 ，在对称中心 处有一钉子动点 ， 同时从点 出发，ABCD2cmOPQA点 沿 方向以每秒 的速度运动，到点 停止，点 沿 方PCAD向以每秒 的速度运动，到点 停止 ， 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，1cmPQ设 秒后橡皮筋扫过的面积为 x2cy（1）当 时，求 与 之间的函数关系
10、式；0 x（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求 值；（3）当 时，求 与 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运2x y动停止时 的变化范围；POQ（4）当 时，请在给出的直角坐标系中画出 与 之间的函数图象0x yx练习 3. 如图，已知抛物线 l1：y=x 2-4 的图象与 x 轴相交于 A、C 两点，B 是抛物线 l1 上的动点( B 不与A、C 重合)，抛物线 l2 与 l1 关于 x 轴对称，以 AC 为对角线的平行四边形 ABCD 的第四个顶点为 D.(1) 求 l2 的解析式；(2) 求证：点 D 一定在 l2 上；(3) ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的
11、面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值.三二次函数与四边形的动态探究例 1.如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0，0)，A(4，0) ，C (0，3)，点 P 是OA 边上的动点(与点 O、A 不重合) 现将PAB 沿 PB 翻折，得到PDB；再在 OC 边上选取适当的点B CPODQAB P CODQA y321O2x6E，将POE 沿 PE 翻折，得到 PFE ，并使直线 PD、PF 重合(1)设 P(x，0) ， E(0，y) ，求 y 关于 x 的函数关系式，并求 y 的最大值；(2)如图
12、2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、B、 E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，使PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标图 1FEPDyxBACO图 2OCABxy DPE F例 2. 已知抛物线 yax2 bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（OB0,y 表示点 E 到 OA 的距离OA 是 的对角线，EAF 21764()5OAESy因为抛物线与 轴的两个交点是（1，0）的（6，
13、0），所以，自变量 的取值范围是 1 6x xx 根据题意，当 S = 24 时，即 化简，得 解之，得2()x27().423,4.故所求的点 E 有两个，分别为 E1（3，4），E 2（4，4）点 E1（3，4）满足 OE = AE，所以 是菱形；OAF点 E2（4，4）不满足 OE = AE，所以 不是菱形 当 OAEF，且 OA = EF 时， 是正方形，此时点 E 的 坐标只能是（3，3）而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E，使 为正方形OAF练习 2.解：（1）由题意知点 的坐标为 设 的函数关系式为 C(34)， 2l 2(3)4yax又 点 在抛物线 上，
14、，解得 (0)A， 2()yax10a1抛物线 的函数关系式为 （或 ）2l 265yx（2） 与 始终关于 轴对称， 与 轴平行P P 52112345 54321AEBCO2l1lxy1054321123D5 54321ACEMBCO2l1lxy设点 的横坐标为 ，则其纵坐标为 ， ， ，Pm265m4OD2654m即 当 时，解得 当 时，解265236得 当点 运动到 或 或 或3P(362)， ()， (2)，时，()， ，以点 为顶点的四边形是平行四边形POD ， ， ，（3）满足条件的点 不存在理由如下：若存在满足条件的点 在MM上，则2l， （或 ），90AB30A30B142
15、过点 作 于点 ，可得 EEA， ， 2M34O点 的坐标为 (4)，但是，当 时， x2651243y不存在这样的点 构成满足条件的直角三角形练习 3. 解（1）点 ，点 ，点 关于原点的对称点分别为 ， ，(0)A，()B，(08)E， (40)D(2) 设抛物线 的解析式是(08)F，2C，则 解得2(0)yaxbc6408abc，168ab，所以所求抛物线的解析式是 2yx（2）由（1）可计算得点 (31)(MN，过点 作 ，垂足为 NHAD当运动到时刻 时， ， t28Ot2Ht根据中心对称的性质 ，所以四边形 是平MDNA行四边形所以 所以，四边形 的面积ADNS 因为运动至点 与
16、点 重合为止，2(82)1418Stt据题意可知 所以，所求关系式是 ， 的取值范围是 0 2418Stt04t11（3） ，（ ）所以 时， 有最大值 7814St04t 74tS814提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形 能形成矩形 由（2）知四边形 是平行四边形，对角线是MDNAMDNA，所以当 时四边形 是矩形所以 所ADN，O以 所以 解之得 （舍）22OH240t126tt，所以在运动过程中四边形 可以形成矩形，此时 点评本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。二二次函数与四边形的面积例 1. 解：（1）解法一：
17、设 ，任取 x,y 的三组值代入，求出解析式)0(2acbxy，214yx=+-令 y=0，求出 ；令 x=0，得 y=-4， A、B、C 三点的坐标分别是 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4)12,x=解法二：由抛物线 P 过点(1，- )，(-3， )可知，552-抛物线 P 的对称轴方程为 x=-1，又 抛物线 P 过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，点 A、B、C 的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .（2）由题意， ，而 AO=2，OC=4，AD=2-m，故 DG=4-2m， DGOC=又 ，EF=DG，得 BE=4-2m， DE=3
18、m，EF =DGDE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0m2) .DEFGs注：也可通过解 RtBOC 及 RtAOC，或依据BOC 是等腰直角三角形建立关系求解.(3)SDEFG=12m-6m 2 (0m2)，m=1 时，矩形的面积最大，且最大面积是 6 .当矩形面积最大时，其顶点为 D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，设直线 DF 的解析式为 y=kx+b，易知，k= ，b=- ， ，2323yx=-又可求得抛物线 P 的解析式为： ，14yx=+-令 = ，可求出 . 设射线 DF 与抛物线 P 相交于点 N，23x-214x+-6则 N 的横坐标为 ，
19、过 N 作 x 轴的垂线交 x 轴于 H，有61312= = ，FNHED1623-519-+点 M 不在抛物线 P 上，即点 M 不与 N 重合时，此时 k 的取值范围是k 且 k0.5619-+说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.若选择另一问题：(2) ，而 AD=1，AO=2，OC=4，则 DG=2，又 ， 而 AB=6，CP=2，OC=4，则 FG=3，ADGOC= FGCPABO= =DGFG=6.DEFGs练习 1.解：利用中心对称性质，画出梯形 OABC 1 分A，B，C 三点与 M，N，H 分别关于点 O 中心对称，A（0，4），B（6，4），C（8，0） 3 分（写错一个
20、点的坐标扣 1 分）（2）设过 A，B，C 三点的抛物线关系式为 ，抛物线过点 A（0，4）， 则抛物线关系式为 4 分将 B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得 5AB，垂足为 G，则 sinFEGsinCAB 分解得 6 分所求抛物线关系式为： 7 分（3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m 8 分 OA（AB+OC） AFAG OEOF CEOA（ 0 4） 10 分 当 时，S 的取最小值又0m4，不存在 m 值，使 S 的取得最小值 12 分13（4）当 时，GB=GF，当 时，BE=BG 14 分练习 2.解 （1）当 时， ， ， ，即 01x 2APxQ21
21、2yAPx2y（2）当 时，橡皮筋刚好触及钉子， ， ，2BCDABPQSS正 方 形四 边 形 BQ， x43x（3）当 时， ， ， ， ，413 2PAQx2322PxyAx即 2yx作 ， 为垂足OEAB当 时， ， ， ，43 2xx1OE，BEOPEAQyS梯 形 梯 形 132即 或2x9080 70PQ （4）如图所示：练习 3. 解(1) 设 l2 的解析式为 y=ax2+bx+c(a0) ，l1 与 x 轴的交点为 A(-2，0)，C(2，0) ，顶点坐标是(0，- 4)，l 2 与 l1 关于 x 轴对称，l2 过 A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0 ，4)，
22、40,.abc a=-1,b=0,c=4，即 l2 的解析式为 y= -x2+4 . (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)(2) 设点 B(m，n)为 l1：y =x2-4 上任意一点，则 n= m2-4 (*). 四边形 ABCD 是平行四边形，点 A、C 关于原点 O 对称， B、D 关于原点 O 对称， 点 D 的坐标为 D(-m,-n) .由(*)式可知， -n=-(m2-4)= -(-m)2+4，即点 D 的坐标满足 y= -x2+4， 点 D 在 l2 上. (3) ABCD 能为矩形. 过点 B 作 BHx 轴于 H，由点 B 在 l1：y =x2-4 上，可设点 B 的坐标
23、为 (x0，x 02-4)，则 OH=| x0|，BH =| x02-4| .易知，当且仅当 BO= AO=2 时， ABCD 为矩形.在 RtOBH 中，由勾股定理得， | x0|2+| x02-4|2=22，( x02-4)( x02-3)=0， x0=2(舍去)、x 0= . 3所以，当点 B 坐标为 B( ，-1)或 B(- ，-1)时， ABCD 为矩形，3 3此时，点 D 的坐标分别是 D(- ，1)、D ( ，1).3 3因此，符合条件的矩形有且只有 2 个，即矩形 ABCD 和矩形 ABCD .设直线 AB 与 y 轴交于 E ，显然， AOE AHB， = ， .EOAOBH
24、AH 123321O2xy4314 EO=4-2 . 3由该图形的对称性知矩形 ABCD 与矩形 ABCD重合部分是菱形，其面积为 S=2SACE=2 AC EO =2 4(4-2 )=16 - 8 . 12 12 3 3三二次函数与四边形的动态探究例 1.解：(1) 由已知 PB 平分APD ，PE 平分OPF，且 PD、PF 重合，则BPE=90OPEAPB=90又APB ABP=90 ，OPE=PBARtPOERtBPA 即 y= (0x4) POBAE34x214(4)3x且当 x=2 时，y 有最大值 13(2)由已知，PAB 、POE 均为等腰三角形，可得 P(1，0)，E(0，1
25、) ，B(4，3)设过此三点的抛物线为 y=ax2bx c，则 1,0,643.abc1,2.abcy= 213x(3)由(2)知EPB=90，即点 Q 与点 B 重合时满足条件直线 PB 为 y=x1，与 y 轴交于点(0 ，1)将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E(0，1)，该直线为 y=x1由 得 Q(5，6)2,3,5,6.故该抛物线上存在两点 Q(4，3)、(5 ，6)满足条件例 2.解：（1）解方程 x210x 160 得 x12，x28 1 分点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，且 OBOC点 B 的坐标为（2，0），点 C 的坐标为（0，8）又抛物线
26、 yax 2bx c 的对称轴是直线 x2由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为（6，0） 4 分（2）点 C（0，8）在抛物线 yax2bxc 的图象上，c8，将 A（6，0）、B（2，0）代入表达式，得 解得所求抛物线的表达式为 y x2 x8 7 分15（3）依题意，AEm，则 BE8m ，OA6，OC8，AC10EFAC BEFBAC 即 ，EF FG 8mSSBCESBFE （8m）8 （8m）（8m） （8m）（88m） （8m）m m2 4m 10 分自变量 m 的取值范围是 0m8 11 分（4）存在理由：S m24m （m4）28 且 0，当 m4 时，S 有最大值， S 最大
27、值8 12 分m4，点 E 的坐标为（ 2，0）BCE 为等腰三角形 14 分（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）例 3 解: （1）相等。理由是：因为四边形 ABCD、EFGH 是矩形，所以 ,EGHFECNPCGQMSSS所以 即：,PGMFENS（2）AB3，BC4，AC5，设 AEx ，则 EC5x， 34(5),PCxM所以 ，即12()SCxA21(0)S配方得： ，所以当 时，S 有最大值 335x（3）当 AEAB3 或 AE BE 或 AE3.6 时， 是等腰三角形52ABE练习 1 解：（1）点 M 1 分（2）经过 t 秒时， ， NBtOt则 ， = = 3C
28、42ABCAMQ45 3NCt 1PQt 1()12AMQSPt 2t22194Stt16 当 时，S 的值最大 02t 1t（3）存在设经过 t 秒时， NB=t，OM= 2t 则 ， = = 3CNt42AMtBCAMQ45若 ，则 是等腰 Rt 底边 上的高 是底边 的中线 9AQMPQPQ12P1(4)2tt12点 的坐标为（ 1，0） 若 ，此时 与 重合 9 MA142tt1点 的坐标为（ 2，0） 练习 2.解：（1） ， ()ecd， ()ead，（2）分别过点 作 轴的垂线，垂足分别为 ，分别过 作ABCD， ， ， x11ABCD， ， ， A，于 ， 于点 1E1F在平行
29、四边形 中， ，又 ，A1B80BACCFDEFD又 ，90 ， AacBECFdb设 由 ，得 ()Cxy， exxeca由 ，得 fdbyf()fdb，（3） ， 或 ， mceandfbmacenf（4）若 为平行四边形的对角线，由（3）可得 要使 在抛物线上，GS1(27)P， 1P则有 ，即 27(5)(2cc20c（舍去）， 此时 1011(7)，若 为平行四边形的对角线，由（3）可得 ，同理可得 ，此时 SH2(3)Pc， 1c2(3)P，若 为平行四边形的对角线，由（3）可得 ，同理可得 ，此时 G， ，yC()Aab， Def，()Bcd， EF11Ox17综上所述，当 时，
30、抛物线上存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形1cPGSHP， ， ，符合条件的点有 ， ， (27)P， 2(3)， 3(12)，练习 3.解：由 RtAOBRtCDA 得 OD=2+1=3,CD=1 C 点坐标为(3,1),抛物线经过点 C, 1= (3) 2 a( 3) 2， 。21a抛物线的解析式为 .12xy在抛物线（对称轴的右侧）上存在点 P、Q，使四边形 ABPQ 是正方形。以 AB 边在 AB 右侧作正方形 ABPQ。过 P 作 PEOB 于 E，QGx 轴于 G，可证PBEAQG BAO，PEAGBO2，BEQGAO1，P 点坐标为（2,1），Q 点坐标为（1,1）。由
31、（1）抛物线 。当 x2 时，y1，当 x,1 时，y1。P、Q 在抛物线上。2xy故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点 P（2,1）、Q（1,1），使四边形 ABPQ 是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点 P、Q，使四边形 ABPQ 是正方形。延长 CA 交抛物线于 Q，过 B 作 BPCA 交抛物线于 P，连 PQ，设直线 CA、BP 的解析式分别为y=k1x+b1, y=k2x+b2,A（1,0），C（3,1），CA 的解析式 ，同理 BP 的解析式为 ，21xy 21xy解方程组 得 Q 点坐标为（1,1），同理得 P 点坐标为（2,1）。212xy由勾股定理得 AQBPAB
32、 ，而BAQ 90，5四边形 ABPQ 是正方形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点 P（2,1）、Q（1,1），使四边形ABPQ 是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点 P、Q，使四边形 ABPQ 是正方形。如图，将线段 CA 沿CA 方向平移至 AQ，C（3,1）的对应点是 A（1,0），A（1,0）的对应点是 Q（1,1），再将线段 AQ 沿 AB 方向平移至 BP，同理可得 P（2,1）18BAC90，AB AC四边形 ABPQ 是正方形。经验证 P（2,1）、Q（1,1）两点均在抛物线 上。212xy结论 成立，AGBF证明如下：连 EF，过 F 作 FMBG 交 AB 的延长线于 M，则AMFABG， 。由知ABC 是等腰直角三角形，M1245。AFAE，AEF145。EAF90，EF 是O的直径。EBF90。FMBG，MFBEBF90，M245，BFMF， AGBF
