1、本资料来源于 七彩教育网http:/全国初中（初二）数学竞赛平行四边形平行四边形是一种极重要的几何图形这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：(1)平行四边形对角相等；(2)平行四边形对边相等；(3)平行四边形对角线互相平分除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(4)一组
2、对边平行且相等的四边形是平行四边形例 1 如图 2-32 所示在 ABCD 中，AEBC，CFAD，DN=BM求证：EF 与 MN 互相平分分析 只要证明 ENFM 是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手证 因为 ABCD 是平行四边形，所以AD BC，AB CD，B=D又 AEBC，CFAD，所以 AECF 是矩形，从而AE=CF所以RtABERtCDF(HL，或 AAS)，BE=DF又由已知 BM=DN，所以BEMDFN(SAS)，ME=NF 又因为 AF=CE，AM=CN，MAF=NCE，所以MAFNCE(SAS)，所以 MF=NF 由，四边形 ENFM 是平行
3、四边形，从而对角线 EF 与 MN 互相平分例 2 如图 2-33 所示RtABC 中，BAC=90，ADBC 于 D，BG 平分ABC，EFBC 且交 AC 于 F求证：AE=CF分析 AE 与 CF 分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系若作 GHBC 于 H，由于 BG 是ABC 的平分线，故 AG=GH，易知ABGHBG又连接 EH，可证ABEHBE，从而 AE=HE这样，将AE“转移”到 EH 位置设法证明 EHCF 为平行四边形，问题即可获解证 作 GHBC 于 H，连接 EH因为 BG 是ABH 的平分线，GABA，所以 GA=GH，从而ABGHBG(AAS)，所以
4、AB=HB 在ABE 及HBE 中，ABE=CBE，BE=BE，所以 ABEHBE(SAS)，所以 AE=EH，BEA=BEH下面证明四边形 EHCF 是平行四边形因为 ADGH，所以AEG=BGH(内错角相等) 又AEG=GEH(因为BEA=BEH，等角的补角相等)，AGB=BGH(全等三角形对应角相等)，所以AGB=GEH从而EHAC(内错角相等，两直线平行)由已知 EFHC，所以 EHCF 是平行四边形，所以FC=EH=AE说明 本题添加辅助线 GHBC 的想法是由 BG 为ABC 的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形 ABG 与HBG继而发现A
5、BEHBE，完成了 AE 的位置到 HE 位置的过渡这样，证明 EHCF 是平行四边形就是顺理成章的了人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的例 3 如图 2-34 所示 ABCD 中，DEAB 于 E，BM=MC=DC求证：EMC=3BEM 分析 由于EMC 是BEM 的外角，因此EMC=B+BEM从而，应该有B=2BEM，这个论断在BEM 内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决利用平行四边形及 M 为 BC 中点的条件，延长 EM 与 DC 延长线交于 F，这样B=MCF及BEM=F，因此， 只要证明MCF=2F
6、即可不难发现，EDF 为直角三角形(EDF=90)及 M 为斜边中点，我们的证明可从这里展开证 延长 EM 交 DC 的延长线于 F，连接 DM由于CM=BM，F=BEM，MCF=B，所以MCFMBE(AAS)，所以 M 是 EF 的中点由于 ABCD 及 DEAB，所以，DEFD，三角形 DEF 是直角三角形，DM 为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知F=MDC，又由已知 MC=CD，所以MDC=CMD，则MCF=MDC+CMD=2F从而EMC=F+MCF=3F=3BEM例 4 如图 2-35 所示矩形 ABCD 中，CEBD 于 E，AF 平分BAD 交EC 延长线于 F求证：CA=
7、CF分析 只要证明CAF 是等腰三角形，即CAF=CFA 即可由于CAF=45-CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与CAD 相等的角 a，使得CFA=45-a为此，延长 DC 交 AF 于 H，并设 AF 与 BC交于 G，我们不难证明FCH=CAD证 延长 DC 交 AF 于 H，显然FCH=DCE又在 RtBCD 中，由于CEBD，故DCE=DBC因为矩形对角线相等，所以DCBCDA，从而DBC=CAD，因此，FCH=CAD 又 AG 平分BAD=90，所以ABG 是等腰直角三角形，从而易证HCG 也是等腰直角三角形，所以CHG=45由于CHG 是CHF 的外角，所以CHG=CF
8、H+FCH=45，所以 CFH=45-FCH 由，CFH=45 -CAD=CAF，于是在三角形 CAF 中，有CA=CF例 5 设正方形 ABCD 的边 CD 的中点为 E，F 是 CE 的中点(图 2-36)求证：分析 作BAF 的平分线，将角分为1 与2 相等的两部分，设法证明DAE=1 或2证 如图作BAF 的平分线 AH 交 DC 的延长线于 H，则1=2=3，所以FA=FH设正方形边长为 a，在 RtADF 中，从而所以 RtABGRtHCG(AAS)，从而RtABGRtADE(SAS)，例 6 如图 2-37 所示正方形 ABCD 中，在 AD 的延长线上取点E，F，使 DE=AD
9、，DF=BD，连接 BF 分别交 CD，CE 于 H，G求证：GHD是等腰三角形分析 准确地画图可启示我们证明GDH=GHD证 因为 DE BC，所以四边形 BCED 为平行四边形，所以1=4又 BD=FD，所以所以 BC=GC=CD因此，DCG 为等腰三角形，且顶角DCG=45，所以又所以 HDG=GHD，从而 GH=GD，即GHD 是等腰三角形练习十二1如图 2-38 所示DEAC，BFAC，DE=BF，ADB=DBC求证：四边形 ABCD 是平行四边形2如图 2-39 所示在平行四边形 ABCD 中，ABE 和BCF 都是等边三角形求证：DEF 是等边三角形3如图 2-40 所示 ABCD 中，AF 平分BAD 交 BC 于 F，DEAF交 CB 于 E求证：BE=CF4如图 2-41 所示矩形 ABCD 中，F 在 CB 延长线上，AE=EF，CF=CA求证：BEDE5如图 2-42 所示在正方形 ABCD 中，CE 垂直于CAB 的平分
