1、1线性代数（经管类）考点第一章 行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1二阶行列式由 4 个数 得到下列式子： 称为一个二阶行列式，其运)2,1(jia12a算规则为 212121aa2三阶行列式由 9 个数 得到下列式子：)3,21,(jia 32311a称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3余子式及代数余子式设有三阶行列式 32311aD对任何一个元素 ，我们划去它所
2、在的第 i 行及第 j 列，剩下的元素按原先次序ija组成一个二阶行列式，称它为元素 的余子式，记成ij ijM例如 ， ，321aM3211a2311a再记 ，称 为元素 的代数余子式 .ijiijA)(ijAij例如 ， ，121231M那么 ，三阶行列式 定义为3D312113231121 AaAaa2我们把它称为 按第一列的展开式，经常简写成3D1131)(i iii MaAaD4n 阶行列式一阶行列式 11Dn 阶行列式 121121221 nnnn AaAaa 其中 为元素 的代数余子式.(,)ijA ij5特殊行列式上三角行列式121220nnnaaa 下三角行列式121210n
3、nnaa 对角行列式 2120nnaa （二）行列式的性质性质 1 行列式和它的转置行列式相等，即 TD性质 2 用数 k 乘行列式 D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质 3 互换行列式的任意两行（列） ，行列式的值改变符号.推论 1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论 2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.性质 4 行列式可以按行（列）拆开.性质 5 把行列式 D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一3行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为 D.定理 1（行列式展
4、开定理）n 阶行列式 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子nijaD式的乘积的和，即 ),21(21 niAaAniii 或 ),(21 jnjjj 前一式称为 D 按第 i 行的展开式，后一式称为 D 按第 j 列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理 2 n 阶行列式 的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的nija代数余子式的乘积之和等于零.即 )(021 kiAaAknikiki 或 )(021 sjAansjsjsj （三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角
5、）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（1） ，在按行或按列提取公因子 k 时，必须在新的行列式前面乘上 k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：例 1 计算行列式 52073144D解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是 ，利用12a这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为 0，然后按第二列展开.42121456356105() 720703123122 8575D 行 行 按 第 二 列 展 开行 行 列 列
6、按 第 二 行 展 开4例 2 计算行列式 abD4解：方法 1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取 0 值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为 （我们把它称为行和相同行列式） ，我们可以先把后三列都加到第一ba3列上去，提出第一列的公因子 ，再将后三行都减去第一行：ba31(3)3100()babababa 3)(ba方法 2 观察到这个行列式每一行元素中有多个 b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与 有相同值的五阶行列式：4D12345411001bbaaabb ab行 （ ） ， ， ， 行这样得到一个“箭形”行列式，
7、如果 ，则原行列式的值为零，故不妨假设a，即 ，把后四列的 倍加到第一列上，可以把第一列的ba01（1）化为零. 44001()(3)bba baaba5例 3 三阶范德蒙德行列式 )()(12313123213 xxxV（四）克拉默法则定理 1（克拉默法则）设含有 n 个方程的 n 元线性方程组为121212,nnaxaxb 如果其系数行列式 ，则方程组必有唯一解：0nijaD njDxj ,21,其中 是把 D 中第 j 列换成常数项 后得到的行列式.j nb,21把这个法则应用于齐次线性方程组，则有定理 2 设有含 n 个方程的 n 元齐次线性方程组1212120,nnnaxax 如果其
8、系数行列式 ，则该方程组只有零解：0D021nxx换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有 ，在教材第二章中，将要0D证明，n 个方程的 n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.第二章 矩阵（一）矩阵的定义1矩阵的概念由 个数 排成的一个 m 行 n 列的数表nm),21;,21(njmiaj 6mnmnaA 21121称为一个 m 行 n 列矩阵或 矩阵n当 时，称 为 n 阶矩阵或 n 阶方阵ija元素全为零的矩阵称为零矩阵，用 或 O 表示m23 个常用的特殊方阵：n 阶对角矩阵是指形如 的矩阵naA 021n 阶单位方阵是指形如 的矩阵10 nEn 阶三角矩阵是
9、指形如 的矩阵nnnaa 2121 0,03矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而 n 阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“ ”与矩阵*记号“ ”也不同，不能用错.*（二）矩阵的运算1矩阵的同型与相等设有矩阵 ， ，若 ， ，则说 A 与 B 是同型nmijaA)(kijbB)(kmn矩阵.若 A 与 B 同型,且对应元素相等，即 ，则称矩阵 A 与 B 相等，记为ijija因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.72矩阵的加、减法设 ， 是两个同型矩阵则规定nmijaA)(nmijbB)(ijijnmijij
10、baBA)(注意：只有 A 与 B 为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.3数乘运算设 ，k 为任一个数，则规定nmija)( nmijkaA)(故数 k 与矩阵 A 的乘积就是 A 中所有元素都乘以 k，要注意数 k 与行列式 D 的乘积，只是用 k 乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.4乘法运算设 ， ，则规定kmijaA)(nkijbB)( nmijcAB)(其中 jijijiij abc21 ),21;,21(i由此定义可知，只有当左矩阵 A 的列数与右矩阵 B 的
11、行数相等时，AB 才有意义，而且矩阵 AB 的行数为 A 的行数，AB 的列数为 B 的列数，而矩阵 AB 中的元素是由左矩阵 A 中某一行元素与右矩阵 B 中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：不满足交换律，即 在 时，不能推出 或 ，因而也不满足消去律.00特别，若矩阵 A 与 B 满足 ，则称 A 与 B 可交换，此时 A 与 B 必为同阶方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.5方阵的乘幂与多项式方阵设 A 为 n 阶方阵，则规定 m个特别 E0又若 ，则规定110()mfxaxax 10()mfAAaE称 为 A 的方阵多项式，它也是一
12、个 n 阶方阵)(f6矩阵的转置设 A 为一个 矩阵，把 A 中行与列互换，得到一个 矩阵，称为 A 的nmmn转置矩阵，记为 ，转置运算满足以下运算律：T8， ， ，AT)( TTBA)( TkA)( TTAB)(由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义设 A 为一个 n 阶方阵，若 A 满足 ，则称 A 为对称矩阵，若 A 满足，则称 A 为反对称矩阵.T7方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于 n 阶方阵，有方阵的行列式的概念.设 为一个 n 阶方阵，则由 A 中元素构成一个 n 阶行列式 ，称为)(ijaA nija方阵 A 的行列式，记为方阵的行列式具有下列性质：设 A
13、，B 为 n 阶方阵，k 为数，则 ；T kn BA（三）方阵的逆矩阵1可逆矩阵的概念与性质设 A 为一个 n 阶方阵，若存在另一个 n 阶方阵 B，使满足 ，则EBA把 B 称为 A 的逆矩阵，且说 A 为一个可逆矩阵，意指 A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把 A 的逆矩阵 B 记为 ，从而 A 与 首先必可交换，且乘积为单位方阵 E.11逆矩阵具有以下性质：设 A，B 为同阶可逆矩阵， 为常数，则0k 是可逆矩阵，且 ；1 1)(AB 是可逆矩阵，且 ；1kA 是可逆矩阵，且 1)(Ak 是可逆矩阵，且TATT)(1可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即设 P 为可逆矩阵，则 BPBAP2伴随
14、矩阵设 为一个 n 阶方阵， 为 A 的行列式 中元素 的代数余)(ijaij nijaij9子式，则矩阵 称为 A 的伴随矩阵，记为 （务必注意 中元素nnnA 21121 *A*排列的特点）伴随矩阵必满足 E*（n 为 A 的阶数）1A3n 阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法定理：n 阶方阵 A 可逆 ，且0*1A推论：设 A，B 均为 n 阶方阵，且满足 ，则 A，B 都可逆，且E，A11例 1 设 dcba（1）求 A 的伴随矩阵 *（2）a，b，c，d 满足什么条件时，A 可逆？此时求 1A解：（1）对二阶方阵 A，求 的口诀为“主交换，次变号”即A*（2）由 ，故当 时，即 ，A 为可b
15、cadc0bcad0逆矩阵此时 acbadA1*1（四）分块矩阵1 分块矩阵的概念与运算对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵 A 的列分块方式与右矩阵 B 的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时 A 的各子块分别左乘 B 的对应的子块.2准对角矩阵的逆矩阵10形如 的分块矩阵称为准对角矩阵，其中 均为方rA21 rA,21阵空白处都是零块.若 都是可逆矩阵，则这个准对
16、角矩阵也可逆，并且r,21 112121 rrAA（五）矩阵的初等变换与初等方阵1 初等变换对一个矩阵 A 施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，（1）交换 A 的某两行（列） ；（2）用一个非零数 k 乘 A 的某一行（列） ；（3）把 A 中某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“ ”连接前后矩阵.初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2初等方阵由单位方阵 E 经过
17、一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为 ，ijP和 ，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类)(kDiTij的初等方阵.3初等变换与初等方阵的关系设 A 为任一个矩阵，当在 A 的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对 A 作同类型的初等行变换；在 A 的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对 A 作同类型的初等列变换.114矩阵的等价与等价标准形若矩阵 A 经过若干次初等变换变为 B，则称 A 与 B 等价，记为 BA对任一个 矩阵 A，必与分块矩阵 等价，称这个分块矩阵为 A 的nmOEr等价标准形.即对任一个 矩阵 A，必存
18、在 n 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q，使得 OEPAQr5用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵设 A 为任一个 n 阶可逆矩阵，构造 矩阵（A，E）n2然后 ),(),(1AE注意：这里的初等变换必须是初等行变换.例 2 求 的逆矩阵4213解： 12321 313 200(,) 02144021031AE 行 行行 行行 行 行 行行 行 行 行则 13241A例 3 求解矩阵方程 213421X12解：令 ，则矩阵方程为 ，这里 A 即为例 22134,213BA BX中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘 ，得1A 2053431X也能用初等行变换法，不用求出 ，而直接求1B1),(2
19、05324),( 1AEBA 则 0531X（六）矩阵的秩1 秩的定义设 A 为 矩阵，把 A 中非零子式的最高阶数称为 A 的秩，记为秩 或nm )(A)(r零矩阵的秩为 0，因而 ，对 n 阶方阵 A，若秩 ，m,i)(秩 n)(称 A 为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.2 秩的求法由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵 A，只要用初等行变换把 A 化成阶梯形矩阵 T，则秩(A)=秩(T)=T 中非零行的行数.3与满秩矩阵等价的条件n 阶方阵 A 满秩 A 可逆，即存在 B，使EA 非奇异，即 0A 的等价标准形为 EA 可以表示为有限个初等方阵的
20、乘积13齐次线性方程组 只有零解0AX对任意非零列向量 b，非齐次线性方程组 有唯bAX一解A 的行（列）向量组线性无关A 的行（列）向量组为 的一个基nR任意 n 维行（列）向量均可以表示为 A 的行（列）向量组 的线性组合，且表示法唯一.A 的特征值均不为零为正定矩阵.T（七）线性方程组的消元法.对任一个线性方程组 mnmnbxaxa 21 222 121可以表示成矩阵形式 ，其中 为系数矩阵，bAXij)(为常数列矩阵， 为未知元列矩阵.Tmb),(21 Tnx),21从而线性方程组 与增广矩阵 一一对应 .b,(bA对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶
21、梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.第三章 向量空间（一）n 维向量的定义与向量组的线性组合1 n 维向量的定义与向量的线性运算由 n 个数组成的一个有序数组称为一个 n 维向量，若用一行表示，称为 n 维行向量，即 矩阵，若用一列表示，称为 n 维列向量，即 矩阵 1n与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.142向量的线性组合设 是一组 n 维向量， 是一组常数，则称m,21 mk,21k21为 的一个线性组合，常数 称为组合系数.m,21 mk,21若一个向量 可以表示成mkk21则称 是 的线性组合，或称 可用 线性表出.m,21 m,213矩阵的行、
22、列向量组设 A 为一个 矩阵，若把 A 按列分块，可得一个 m 维列向量组称之为 An的列向量组. 若把 A 按行分块，可得一个 n 维行向量组称之为 A 的行向量组.4线性表示的判断及表出系数的求法.向量 能用 线性表出的充要条件是线性方程组m,21有解，且每一个解就是一个组合系数.xx21例 1 问 能否表示成 ， ， 的T)5,1(T)3,21(T)4,10(2T)6,32(线性组合？解：设线性方程组为 321xx对方程组的增广矩阵作初等行变换： 102564310),(),321A则方程组有唯一解 ,21xx所以 可以唯一地表示成 的线性组合，且3321（二）向量组的线性相关与线性无关
23、1 线性相关性概念15设 是 m 个 n 维向量，如果存在 m 个不全为零的数 ，,21 mk,21使得，则称向量组 线性相关，称021kk ,21为相关系数.否则，称向量 线性无关.m, m由定义可知， 线性无关就是指向量等式m,21当且仅当 时成立.021kk 021mkk特别 单个向量 线性相关 ；0单个向量 线性无关 2求相关系数的方法设 为 m 个 n 维列向量，则 线性相关 m 元齐次线,21 m,21 性方程组 有非零解，且每一个非零解就是一个相关系02xx数 矩阵 的秩小于 m),(1mA例 2 设向量组 ，试讨论其线性相关237(1,4),(,6)TTT性.解：考虑方程组 0
24、321xx其系数矩阵 0121764),(321A于是，秩 ，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为)(0231x令 ，得一个非零解为13x 1,321x则 2323线性相关性的若干基本定理16定理 1 n 维向量组 线性相关 至少有一个向量是其余向量的m,21 线性组合.即 线性无关 任一个向量都不能表示为其余向量的线性m,2组合.定理 2 如果向量组 线性无关，又 线性相关，m,21 m,21则 可以用 线性表出，且表示法是唯一的.m,1定理 3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.定理 4 无关组的接长向量组必无关.（三）向量组的极大无关组和向量组
25、的秩1向量组等价的概念若向量组 S 可以由向量组 R 线性表出，向量组 R 也可以由向量组 S 线性表出，则称这两个向量组等价.2向量组的极大无关组设 T 为一个向量组，若存在 T 的一个部分组 S，它是线性无关的，且 T 中任一个向量都能由 S 线性表示，则称部分向量组 S 为 T 的一个极大无关组.显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质：定理 1 向量组 T 与它的任一个极大无关组等价，因而 T 的任意两个极大无关组等价.定理 2 向量组 T 的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.3向量组的秩与矩阵的秩的关系把向量
26、组 T 的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组 T 的秩.把矩阵 A 的行向量组的秩，称为 A 的行秩，把 A 的列向量组的秩称为 A 的列秩.定理：对任一个矩阵 A，A 的列秩=A 的行秩=秩（A）此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵 A，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.例 3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出： )3,42(),3412(),61,(),92,1(),721,( 543 解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个 矩阵，再用初等行变换把它517化成简化阶梯形矩阵 BATTT 10136974
27、21,54321易见 B 的秩为 4，A 的秩为 4，从而秩 ，而且 B 中主元,5421位于第一、二、三、五列，那么相应地 为向量组的一个极大无3关组，而且 324（四）向量空间1 向量空间及其子空间的定义定义 1 n 维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实 n 维向量空间，记作 R定义 2 设 V 是 n 维向量构成的非空集合，若 V 对于向量的线性运算封闭，则称集合 V 是 的子空间，也称为向量空间.2 向量空间的基与维数设 V 为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间 V 的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.显然，n 维向量空间 的
28、维数为 n，且 中任意 n 个线性无关的向量都是nRnR的一个基.R3 向量在某个基下的坐标设 是向量空间 V 的一个基，则 V 中任一个向量 都可以用r,21 唯一地线性表出，由 r 个表出系数组成的 r 维列向量称为向量 在r,此基下的坐标.18第四章 线性方程组（一） 线性方程组关于解的结论定理 1 设 为 n 元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是bAX)(,(rbA定理 2 当 n 元非齐次线性方程组 有解时，即 时，bAXrAbr)(,(那么（1） 有唯一解 ；bAXnr（2） 有无穷多解 .定理 3 n 元齐次线性方程组 有非零解的充要条件是0AXnrA)(推论 1 设 A 为
29、 n 阶方阵，则 n 元齐次线性方程组 有非零解0X190A推论 2 设 A 为 矩阵，且 ，则 n 元齐次线性方程组必有非零解nm（二）齐次线性方程组解的性质与解空间首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.考虑由齐次线性方程组 的解的全体所组成的向量集合0AXV显然 V 是非空的，因为 V 中有零向量，即零解，而且容易证明 V 对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是 V 成为 n维列向量空间 的一个子空间，我们称 V 为方程组 的解空间nR0AX（三）齐次线性方程组的基础解系与通解把 n 元齐
30、次线性方程组 的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组0AX的一个基础解系.当 n 元齐次线性方程组 有非零解时，即 时，就一定存在nrA)(基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为 求基础解系与通解的方法是：对方程组 先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，0AX即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.例 1 求 的通解023324321xx解：对系数矩阵 A，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵： 1 234103415行 (-)+2行 行 (-)行3行 行 行 行，有非零解，取 为自由未知量，可得一般解为42)(Ar 43,x44321,5xx20写成向量形式，令 ， 为
31、任意常数，则通解为13kx241054321kX可见， 为方程组的一个基础解系.1054,321（四）非齐次线性方程组1 非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系设 为一个 n 元非齐次线性方程组， 为它的导出组，则它们的bAX0AX解之间有以下性质：性质 1 如果 是 的解，则 是 的解21,bAX21性质 2 如果 是 的解， 是 的解，则 是 的解0bAX由这两个性质，可以得到 的解的结构定理：b定理 设 A 是 矩阵，且 ，则方程组 的通解为nmrAr)(,(rnkkX21*其中 为 的任一个解（称为特解）, 为导出组 的一*b r,1 0AX个基础解系.2求
32、非齐次线性方程组的通解的方法对非齐次线性方程组 ，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向bAX量形式，就得到方程组的通解.例 2 当参数 a，b 为何值时，线性方程组 1232)3(041421axxb有唯一解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解.解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：21 234241110100021(,)331020Abababab行 行 行 -行行 行行 -行当 时， ，有唯一解；1a4)(,(Ar当 时， ， ，无解；,b3b2)(当 时， ，有无穷多解.),(r此时，方程组的一般解为 44332412xx令 为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为2413,kx10201kX
