2017春季四年级奥数班讲义.doc

1、合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 1 / 21第 一 讲定义新运算(又名:自定义)例 1:规定一种运算: ab=3a4b,例如,25=3245=620=26,52=3542=158=23, ,根据以上规律计算: 102 210简析:本题属于“用字母表示数”的学习内容,重点是弄清规定,找出规律. 含义为:给定两个数 a 和 b,用 3 乘第一个数 a,用 4 乘第二个数 b,并将结果相加102 210 =31042 = 32410=308 = 640=38 =46 式中的“”为“关系符号” ，不是运算符号，可以是任意的字符，图片，实物等 计算完毕后比较一下:定义新运算中

2、,交换律适用吗?配套练习:1.规定一种运算:mn=4m3n,根据以上规律计算:532.规定一种运算：ab=abab，试求： 64例 2：对于两个数 a 和 b，规定：ab=a+3b+4，试求：123 123简析：本题是例 1 的发展，重点在于弄清运算顺序。其运算顺序与四则混合运算顺序相同，但要注意，先计算部分是个整体，应加括号，没算到的部分往下带。应该用发展的、动态的眼光对待 a 和 b.123 =1+32+43 a=1,b=2 =463 =243 =24+33+4a=24,b=3 =277 =189 123=12+33+4a=2,b=3=157=135=1+335+4a=1,b=35=439

3、=156配套练习:1.对于两个数 a 和 b,规定 ab=a+5b,试求 123 123 注意:5b 表示 5b 或 b52.对于两个数 a 和 b,规定:ab=a2b2.试求:354例 3:如果 23=2+3+4,52=5+6,45=4+5+6+7+8,照此规律,计算 合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 2 / 2135 83简析:本题是自找规律,通过观察,找到 a 和 b 之间的关系是关键.首数字是第一个数,每组数是递增的,个数的多少受第二个数的限制,第二数是几,加数就是几个加数较多时可用配对法计算或等差数列求和公式计算.35 83=3+4+5+6+7 =8+9+1

4、0=25 =27注:本组计算有技巧,你能发现吗?配套练习:1.如果 53=567,24=2345,按此规律计算:34.2.如果 24=242+4,36=3636,按此规律计算:84例 4:规定一种运算:5C3=543321=10,6C2=6521 =15,10C4=109874321=210,按此规律计算:7C4简析:本题是高二的排列组合问题,在小学属于“阅读与理解”的内容.在数图形和“解决问题的策略”中有比较广泛的用途.本题是例 3 的具体应用,难度较小.鼓励学生自主完成.解答过程:略.第 二 讲一. 阔 步 课 堂例 1:甲乙两数的乘积是 60,如果甲数扩大 5 倍,乙数不变,乘积是多少?

5、如果甲数不变,乙数扩大 5 倍,乘积是多少?如果甲乙都扩大 5 倍,乘积是多少?简析:扩大几倍,就是某数乘几.可通过具体算式探讨规律.再运用规律解决问题.605=300 605=300 6055=1500二.盈亏问题例 1:将一堆苹果分给小朋友,每人分 9 个,则少 45 个;每人分 7 个,则多 5 个.有多少人,共有多少个苹果?简析:本题属典型的盈亏问题.多为“盈”,少为“亏”.重点在于理解“盈”与“亏”之间的关系.可借助线段图加以理解.苹果总数和人数是不变的,两次分配中的总数差异是因为两次中每人分得的个数差异造成的. 总数相差多少?借助线段图直观显示(图略) 45+5=50（个） 每人分

6、配相差多少? 97=2（个） 一共有几人? 502=25（人） 一共有几个苹果? 92545=180（个）或者 257+5=180（个）做完后体会线段图与例题中各数量的对应关系答：略配套练习: 某校有若干个学生寄宿学校.若每一间房住 6 人,则多 40 人;若每间房住 8 人,则最后一间房少 2 人.有多少住宿学生和多少间房? 数学兴趣小组同学做数学题,如果每人做 6 道题,则少 4 道;如果每人做 4 道题,则多 10 道.有多少个学生和多少道题?合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 3 / 21例 2:同学们去划船.每船坐 4 人,则少一条船;如果每条船坐 6 人,则

7、多出 4 条船.有多少条船和多少人?简析:本题是例 1 的升级.将盈与亏复杂化.少一条船,意味着多出:4 人此为盈;多出 4条船,意味着少:64=24（人）,此为亏.然后借助例 1 的程式化解答方式求解. 总数相差多少?41+46=28（人） 每条船坐的人数相差多少? 6-4=2（人） 有几条船? 282=14（条） 有多少人? 1444=60（人）或者 14646=60（人）答：略配套练习: 学校给新生分配宿舍,如果每间住 8 人,则少 2 间房;如果每间住 10 人,则多出 2 间房.一共有几间房和多少人? 一个学生从家到学校,如果以每分钟 50 米的速度行走,就要迟到 8 分钟;如果以每

8、分钟 60 米 的速度行走,就可以提前 5 分钟到校.这个学生出发时离上学时间还有多少分钟?例 3:学校派一些学生搬一批树苗.如果每人搬 6 棵,则差 4 棵;如果每人搬 8 棵,则差 18 棵.学生有多少人?有多少棵树?简析:本题属双亏问题.重点在于理解总数相差多少.仍然借助线段图解决问题（图略）. 总数相差多少?18-4=14（棵） 每人搬的树苗相差多少? 86=2（棵） 有多少人? 142=7（人） 有多少棵树? 764=38(棵)答：略配套练习: 科学课堂上,老师给同学们发树叶.如果每人分 6 片,少 7 片;如果每人分 8 片,则少 17 片.有多少片树叶? 一堆苹果分给同学们.每人

9、 4 个,多 8 个;若每人 2 个,多 18 个.学生有多少人?第 三 讲一 . 阔 步 课 堂例 1:有两桶水,如果从第一桶倒 10 升给第二桶,那么两桶水一样多.已知两桶水一共有 120 升,这两桶水各有多少升?简析:本题属和差问题.可以用线段图帮助理解.也可用公式解决.方法一:倒着做.从总重入手,倒推各有多少升:1202=60（升） 第一桶有:60+10=70（升）,第二桶有 60-10=50（升） 方法二:画线段图.变不平均分为平均分.A 方法一:都与第二桶同样多:120-102=100（升）1002=50（升）第二桶 第一桶:120-50=70（升）合肥市青少年活动中心（东校区）四

10、年级奥数教程刘家长老师编制 4 / 21B 方法二:都与第一桶同样多:120+102=140（升） 1402=70（升）第一桶 第二桶 120-70=50（升） 直接用公式(略)答：略二 . 替 换 法例 1.=200,=5 则=（ ） =（ ）简析:这是符号化的替换,比较直观.有两种替换方式. 替换成:每个加 5,正好可将换成.3 个加 53=15,现在的总和是200+15=215,正好是 5 个的总和,所以每个是:2155=43,因此是:43-5=38 替换成:每个减去 5,正好可以替换成.每个减少 5,一共减少:52=10,现在总和是 200-10=190,这是 5 个的总和.每个为:1

11、905=38,每个为:38+5=43配套练习:1. =300,=5,则是几?是几?2. 甲乙共有 600 元,甲比乙多 10 元.甲乙各有多少元?学生做完后思考:本题与和差问题有什么相通之处?例 2:=210,=3,则=( ),=( )简析:本题是例 1 的变式.本质相同.区别在于替换条件有所变化.因计算条件限制,替换只能以大换小.第二个条件是替换根据.一个可换 3 个.一共可换 32=6（个）,现在共有 6+1=7(个),所以每个为:2107=30,每个为:303=90配套练习:1.长方形周长 80 厘米,长比宽长 2 厘米.求长方形的长与宽各是多少.2.甲乙共有 600 元.甲的钱是乙的

12、2 倍.甲乙各有多少元?做完后思考:本题与和倍问题有什么相通之处?例 3:等腰三角形的顶角比底角大 18.求它的顶角与底角度数.简析:本题是替换法的实际应用.如何替换是关键,弄清底角与顶角概念也很重要.等腰三角形两腰的夹角是顶角,底与腰的夹角是底角.等腰三角形有两个相等的底角. 全替换成底角:顶角去掉 18,变成底角,三底角之和是:180-18=162,每个底角度数为:1623=54,则顶角为:5418=72 全替换为顶角:每个底角增加 18,一共增加 182=36.此时三个顶角之和为:180+36=216,每个顶角度数为:2163=72,则底角为:72-18=54答：略配套练习:1.等腰三角

13、形的底角比顶角大 18,则底角与顶角各是多少度?2.等腰三角形的底角度数是顶角的 2 倍,则底角与顶角各是多少度?例 4:甲乙共有 210 元.甲的钱比乙的 3 倍多 10 元.甲乙各有多少元?合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 5 / 21简析:本题属“不完整倍数问题”,关键是变“不完整”为“完整”.基本思想是:多退少补 从甲的钱数里去掉多出的 10 元,此时甲乙共有 210-10=200（元）,甲的钱正好是乙的 3 倍. 画线段图,弄清 200 元与倍数间的关系.顺利解答:200（3+1）=50（元）,从而甲的钱数为 503+10=160（元）或者 210-50=1

14、60（元）答：略 完成后思考:本题与“和倍问题”有何相通之处?配套练习:1.甲有 200 元,比乙的 4 倍多 40 元.乙有多少元?2.甲乙共有 300 元.甲比乙的 3 倍少 60 元.甲乙各有多少元?第 四 讲一 . 阔 步 课 堂例 1:三角形的周长是 20 厘米.则三角形的最长边长度小于（ 10 ）厘米.简析:本题属于三角形三边关系的内容.重点在于：三角形任意两边之和大于第三边.最短的两边之和也大于第三边,从而最长边小于 202=10（厘米）例 2:把一根 16 厘米长的吸管剪成三段（每段都是整厘米）,围成一个三角形,可能围成多少种不同的三角形?简析:本题是例 1 的发展,根据同样的

15、道理求解.可先确定最长边的范围. 最长边的范围:最长边小于 162=8（厘米） 小于 8,且另两边都不大于 8,则 16=7+7+2=7+6+3=7+5+4=6+6+4=6+5+5,共有5 种答：略配套练习：用 12 根火柴棒拼三角形，可以拼出多少种不同的三角形？（不许弯折）二.还原问题例 1:一个数的 7 倍减去 5 再加上 2,然后除以 3 得 20.求这个数.简析:本题从最后的条件入手解答,也叫“倒着做”.一般用分步式解答. 203=60 60-2=58 58+5=63 637=9合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 6 / 21配套练习:1.甲,乙,丙三人各有人民

16、币若干元.甲给乙 125 元,乙给丙 135 元,丙给甲 40 元.这时三个人的钱数都是 365 元.甲,乙,丙三人原来各有多少元?2.一个数乘 9,加上 19,再乘 2,最后除以 2 等于 109,这个数是多少?例 2:马大哈做减法计算时,把减数个位上的 1 看成 7,把被减数十位上的 6 看成 9,结果得到差为 600.正确的差是多少?简析:本题属于“还原问题”的变式。减数多了 7-1=6，就是差少了 6；被减数多算了 90-60=30，差增加了 30.于是本题可转化为还原问题:“某数减 6，再加 30，得 600,求这个数” 。 7-1=6，90-60=30 600-30+6=576配套

17、练习：1.粗心的王蕾在做加法试题时，把个位上的 5 看成看 6，把十位上的 8 看成了3，结果得到和为 123，正确的答案应该是多少？2.小马虎甲在计算一道三位数乘两位数乘法时，把一个乘数个位上的 5 误写成3，乘得的积是 4485；小马虎乙却把这个 5 错写成 8，乘得的积是 5460.正确的积是多少？例 3：袋子里有一些球，熊爱华每次拿出其中的一半再放回去 1 个球，这样共操作了 4 次，袋中还有 5 个球。袋中原来有多少个球？简析：本题操作步骤较多，可以从第四次操作后袋中还有 5 个球往前倒推。 第三次操作后还剩几个球？（5-1）2=8（个） 第二次操作后还剩多少个球？（8-1）2=14

18、（个） 第一次操作后还剩多少个球？（14-1）2=26（个） 开始有多少个球？（26-1）2=50（个）答：袋中原来有 50 个球。配套练习：袋子里一共有若干个棋子，琪琪每次拿出其中的一半多 2 个，这样一共拿了 5次，袋中正好没有棋子了。原来袋中有多少个棋子第 五 讲一 . 阔 步 课 堂例 1:一个房间,用边长 6 分米的方砖来铺,需要 500 块;改用边长 5 分米的方砖来铺,需要多少块方砖?简析:本题属铺地问题.铺地并非只沿着边来铺,所以不能算周长,要算地面的大小即面积.原来一块砖的面积多大? 66=36（平方分米）合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 7 / 2

19、1房间有多大?36500=18000（平方分米）现在每块砖面积多大? 55=25（平方分米）现在要多少块砖?1800025=720(块)答:略例 2:(文字题)28 与 14 的和除以它们的差,结果是多少?简析:文字题重点在于计算顺序,可以看做是小型化的应用题.可以运用“遇和 、 差 、 再,括号自然来”辅助列式计算.（28+14）（28-14）=4214=3配套练习:用边长 4 分米的方砖铺地,需要 600 块.改用面积 30 平方分米的方砖来铺,需要多少块?二.数码问题例 1:一个两位数,十位数字是个位数字的 2 倍.如果这个数加上 4,所得的两位数的两个数字相同.求这个两位数.简析:本题

20、属于“简单枚举”,可以把符合第一个条件的两位数列举出来,再根据后面的条件进行排除.符合第一个条件的两位数有:21,42,63,84把每个数加 4 后进行排查:21+4=25,两个数字不相同42+4=46, 两个数字不相同63+4=67, 两个数字不相同84+4=88, 两个数字相同,符合条件.答:这个数是 84.配套练习:一个两位数,个位数字是十位数字的 3 倍.如果把这个数加 7,则这两个数字就相同.求这个数.例 2:一个两位数,其数字之和是 5,如果这个数减去 9,则两个数字的位置互换.求原来的两位数.简析:本题属于例 1 的巩固与拓展.也采用列举法进行筛选.符合第一个条件的两位数有:14

21、 与 41,23 与 32,50用后面的条件进行排查:14-9=5,不符合条件41-9=32,不符合条件23-9=14,不符合条件32-9=23,符合条件50-9=41,不符合条件答:这个数为 32.例 3:4 个连续自然数之和为 206.则这 4 个自然数各是多少?简析:本题属于“寻找规律,运用规律”的内容,可以先通过对任意 4 个连续自然数的观察研究,寻找规律:等差.再进行计算合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 8 / 21 以最小数为基准:后面三个数分别比第一个数大 1,2,3.所以从总和里去掉1,2,3 后,四个数大小相等.(206-1-2-3)4=50 , 5

22、0+1=51,51+1=52,52+1=53.四个数为 50,51,52,53 以最大数为基准:前面的三个数分别比第一个数小 1,2,3.因此,只要把总和增加 1+2+3=6,四个数就大小相等了.(206+1+2+3)4=53,53-1=52,53-2=51,53-3=50四个数为 50,51,52,53 以中间数为基准:中间两个数的和是:2062=103两数相差 1,属于“和差问题”,较大数为: （103+1）2=52,较小数为: （103-1）2=51.则其余两个数为:52+1=63,51-1=50配套练习:5 个连续自然数之和为 105,求这 5 个数各是多少.例 4:一本书共有 246

23、 页,求从第一页到最后一页,编这本书的页码一共用了多少个数字?简析:本题体现了分类思想,.要做到有条不紊,必须合理分类.1-9 页,9 个数,9 个数字10-99 页,90 个数,共有 902=180(个)数字100-246 页,共 147 个数,共有 1473=441(个)数字一共用了多少个数字? 9+180+441=630(个)数字答:一共用了 630 个数字.第 六 讲一 . 阔 步 课 堂就大家提出的问题讲解一至两个:略二.容 斥（重叠）问题例 1.某班 40 名同学参加书法或绘画活动.参加书法的有 30 人,参加绘画的有 15人.两种都参加的有多少人?简析:本题是关于重叠的内容.获得

24、基本解题模式是关键.其基本模式是 A+B-C=不重复总数.画图(略),用序号标清数量解答:30+15-40=5(人) 也可以借助图形分类计算(略)配套练习:五年级有 200 名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门优秀.其中语文优秀的有 110 人,数学优秀的 150 人.语文和数学都优秀的有多少人?例 2:某小学选出 10 人参加区级作文和书法比赛.结果人人获奖.其中 3 人两项比赛都获奖,作文比赛 6 人获奖,书法比赛几人获奖?简析:本题是例 1 的变式题.处理方法基本相同.作文获奖人数+书法获奖人数-都获奖人数=10 人合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 9 /

25、21 10+3-6=7（人） 想一想:下面的算式有什么道理?10-6+3=7（人）10-(6-3)=7（人）配套练习:一个班有 50 人,他们分别订了数学大世界和中国少年报,其中订阅数学大世界的有 30 人,两种都订阅的有 12 人,订阅中国少年报的有多少人?例 3:某班 56 人,参加语文竞赛的有 28 人,参加绘画比赛的有 27 人,两项都没有参加的有 25 人.那么同时参加比赛的有多少人?简析:本题增加了不参加比赛的人.既然没参加,那就从总人数里去掉这些人,剩下的就是至少参加一项的人了. 参加比赛的有多少人? 56-25=31（人） 两项都参加的有多少人? 28+27-31=24（人）

26、下面的算式有什么道理?28-(56-25-27)=24（人）27-(56-25-28)=24（人）答:同时参加比赛的有 24 人.配套练习:1.一个旅行社有 36 人,其中会英语的有 24 人,会法语的有 18 人,两样都不会的有 4 人.两样都会的有多少人?2.四年级参加合唱队的有 40 人,参加舞蹈队的有 20 人,两项都参加的有 14 人,两项都没有参加的有 10 人,这个年级有多少人?例 4.光明小学举办书法展览.各个年级均有展品,其中 24 幅不是五年级的,有 22幅不是六年级的,五六年级的参展作品共有 10 幅,其他年级参展的作品一共有多少幅?简析这是一道需要简单推理的学习内容.数

27、量关系比较复杂,应该列举:其他年级作品数+六年级作品数=24(幅)其他年级作品数+五年级作品数=22(幅)五年级作品数+六年级作品数=10(幅)其它年级作品数(22+24-10)2=18(幅)答: 其他年级参展的作品一共有 18 幅.做完后思考:下面的解法有什么道理? (24+10+22)2-10=18(幅) 24- (24-22+10)2=18(幅) 22-10-（24-22）2=18(幅)注意: “和差问题”没学好的同学抓紧复习公式.合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 10 / 21第 七 讲一 . 阔 步 课 堂例 1:数平行四边形个数简析:本题属于技巧性学习内容

28、.基本方法是一个个地数,这过于繁琐,而且容易重复与遗漏.其次是按照 “一个一个地数,两个两个地数,”,根据个数分类数,仍然费时费力.因此有必要简化,用数学的方法解决问题.本教材使用“横加竖加”的方法计算个数,快捷简便.配套练习求长方形个数.例 2:一个梯形的上底长度是下底的 3 倍,如果将梯形的下底延长 6 厘米,这个梯形就变成了- 平行四边形.这个梯形的上下底各是多少厘米?简析:本题属于与操作相关的学习内容.重点通过画图观察,找到解题突破口.是差倍问题的具体应用. 画图解答:6（3-1）=3 (厘米).下底长度 上底长度: 33=9(厘米)配套练习:梯形的上底长度是下底的 4 倍.如果下底延

29、长 12 厘米,就变成了平行四边形.则上底长度是多少?二.假定法解题例 1:今有鸡、兔共居一笼,已知鸡头和兔头共 35 个,鸡脚和兔脚共 94 只.鸡和兔各有多少只?简析:本题属于中国古代“鸡兔同笼”问题.有画图法,列表法,假定法等多种解题方法.用假定法解题需要把两个量看成同一个量,根据总量和单一量的变化求解.qq 上流传的方法:假定鸡和兔一起跳舞,第一节:拎起一只脚,大家都做到,这时还有 94-35=59只脚,第二节:大家表现都不错,欢迎再拎一只脚,这时还有 59-35=24 只脚.只合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 11 / 21是鸡儿耐不住,扑通扑通全跌倒(偷笑

30、:鸡儿早已没有脚,只能屁股着地冷汗冒).这时出来数一遍,一双脚来一只兔,数来数去不混淆.一个字:妙!假定法:假定全是兔:共有几只脚?435=140（只）多算几只脚?140-94=46(只)每只鸡多算几只脚?4-2=2(只)有几只鸡?462=23(只)兔有几只? 35-23=12（只）答:鸡有 23 只,兔有 12 只.配套练习:假定全是鸡呢?例 2:兔妈妈采蘑菇,晴天每天采 32 个,雨天每天采 22 个.兔妈妈一共采了 390个,平均每天采 26 个,这些天有几天下雨?简析:本题是鸡兔同笼问题的变式.可以先求出采蘑菇的天数.然后合理假定.一共采了几天?39026=15（天）假定全是晴天一共采

31、大多少个?3215=480（个）多采多少个? 480-390=90（个）每个雨天多采了多少个? 32-22=10（个）雨天一共有多少天? 9010=9(天)假定全是雨天呢?答:这些天有 9 天下雨.配套练习:将问题改为“这些天有几天是晴天?”用两种方法解答.例 3:某次数学竞赛一共有 10 题.答对一题得 10 分,答错一题或不答倒扣 5 分.小明参赛得分为 70 分.他做对了多少题?简析:本题的难点在于:如何计算答对一题与答错一题的分数差异.可以借助线段图帮助理解.假定全答对:1010=100（分）100-70=30（分）10+5=15（分）难点所在3015=2（题）10-2=8(题)假定全

32、做错:一个倒扣多少分?510=50（分）总共相差多少分? 70+50=120（分）注意:是加不是减,可以画图(略)每道对题少算多少分? 10+5=15（分）做对几题?12015=8（题）答:他做对了 8 题.合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 12 / 21第 八 讲一 . 阔 步 课 堂例 1:只能向下和向右,从 A 走到 B, 一共有几种不同走法? 简析:本题属于“找规律”的内容.一般采用色笔标注的方法进行,但过于繁琐,有时无法进行.因此必须采用科学的方法甲乙解决.用对角标注数字的方法:一共 6 种走法.答:一共有 6 种不同走法.配套练习:只能向下和向右,从 A

33、走到 B, 一共有几种不同走法? 例 2:用 1,3,5,7,一共可以组成多少个没有重复数字的四位数?简析:本题属于排列问题,虽属于高中数学知识,但也是小学“找规律”的内容.初始阶段可以采用枚举法.但现在应该用计算法.属于乘法原理.千位有 4 种选择,百位有 3 种选择,十位有 2 种选择,个位此时只有一种选择.要组成四位数,单有某位都不行,因此不能一步完成.应把每步的可能排法相乘.4321=24（个）答: 一共可以组成 24 个没有重复数字的四位数.配套练习:用 1,2,4,5 可以组成多少个没有重复数字的三位数?二.逻 辑 推 理例 1:已知某月中,星期二的天数比星期一的天数多,而星期三的

34、天数比星期四的天数多.那么这个月最后一天是星期几?简析:一周有 7 天,一个月最多有 31 天,317=4（周）3（天）.一个月里无论星期几,最多有 5 个,最少 4 个.即本题中星期二和星期三有 5 个,星期一和星期四有 4 个.然后画个月历进行推算即可.图略.答:这个月最后一天是星期三.配套练习:某年二月,星期日的天数最多,那么这个月的最后一天是星期几?例 2:下面是一个九位数密码,相邻三个数字的和是 12.你能破解密码吗?4 3简析:本题已知数字少,必须找到数字排列规律才能正确解答.借助天平原理,两边同时去掉相同部分,余下部分也相等.从而发现,每隔 2 格数字相同,等两个数字并排时就能算

35、出另外数字了,从而可以解答.合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 13 / 214 5 3 4 5 3 4 5 3答:密码为配套练习:下面是十一位密码,任意三个相邻数字之和是 13,你你能破译吗?4 3例 3:甲乙丙丁与玛丽五个同学一起参加象棋比赛,每两人赛一盘.比赛一点时间后,甲赛了 4 盘,乙赛了 3 盘,丙赛了 2 盘,丁赛了 1 盘.那么玛丽赛了多少盘?简析:本题必须进行必要的转化.用五个点表示五个人,两人比赛过的,用线段连接.通过画图可以很好解决问题.解答:见图答:玛丽赛了 2 盘.第 九 讲一 . 阔 步 课 堂例 1:用简便方法计算:9937+37 1015

36、7-57 6538+3638-38简析:四年级简便计算一般要在计算过程中凑整十,整百,整千,如果没有出现,一般意味着简算失败.9937+37=9937+371熟练时可以省略不写.理解成 99 个 37 再加一个 37=（99+1）37正好凑成 100 个 37 =10037=370010157-57=（101-1）57与第一题同样道理=10057=57006538+3638-38=（65+36-1）38不要把最后的 38 忽略.加减号不能随意更改.=10038=3800配套练习:用简便方法计算:3652+6352+52 2019393例 2:有 8 个大小完全一样的球,其中一个是次品,并且较轻

37、.用一架没有砝码的天平秤,最少称几次可以找出次品?简析:4 5 3 4 5 3 4 5 3合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 14 / 21找次品是训练学生语言表达能力和动手操作能力的良好素材.关键是:三个球一个次品如何找.解答:随便拿 6 个，三个一边，称重后，两种情况：一样重的话，次品一定在剩下的两个球里，所以剩下的两个小球再称一次,上翘的那端的托盘里是次品。一共两次.如果不一样重，次品一定在较轻的 3 个球里，再在 3 个球里，拿两个称一下，如果一样重，那没放进去的第三个就是次品，如果不一样重，上翘的托盘里放的就是次品。也是两次答:至少要称两次.配套练习:有 9

38、个大小完全一样的球,其中一个是次品,并且较轻.用一架没有砝码的天平秤,最少称几次可以找出次品?二.进 制 问 题计算法则:0+0=0,0+1=1,1+1=1000=0,10=0,11=1例 1: 把十进制数 18 改写成二进制数.简析:二进制就是只用 1 和 0 两个数字,表示各个数.满二进一.即每两个相同的单位组成和它相邻的较高的单位.182=9092=4142=2022=10此法叫做 二除取余法.18（10） =10010（2）也可以用短除法完成.注意:余数为 0 也要写上.配套练习:把下面的十进制数改写成二进制数:19 24例 2: 把二进制数 110（2） 改写成十进制数.简析:二进制

39、数改写成十进制数,只要把它写成 2 的幂之和的形式. （幂,指的是某数自乘,例如 3 自乘 4 次,即 3333,写成 34）这是一个三位的二进制数,它的最高计数单位是 23-1=22.110（2） =12+12+02=141201=4+2+0=6配套练习:合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 15 / 2111011（2） 改写成十进制数是多少?例 3: 计算: 1101 （2） 101 （2）简析:任何进制数的运算,都可以根据十进制数的运算法则来进行.二进制加减法只要注意满二进一和借一算二即可.1 1 0 1（2）+ 1 0 1（2）1 0 0 1 0（2） 1101

40、（2） 101 （2） =10010（2）配套练习:计算下列各题:110（2） 11 （2） 10101（2） 1111 （2）例 4: 计算: 1011 （2） 11（2）简析:二进制的乘法也可列竖式解决.口诀只有两句:一一得一和一零得零.竖式:略配套练习: 计算: 1101 （2） 101（2） 第 十 讲一 . 阔 步 课 堂例 1: 甲乙两个车站之间有 3 个小站.各站之间票价各不相同 .要满足乘客需要,车站一共要配备多少种车票?有多少种票价?简析:本题属于排列与组合问题.车票的来与去是不同的,即有序.而票价往返是一样的.多少种车票? 每个车站要准备其他车站的 4 种车票,5 个站要准

41、备:45=20（种）车票.也可先算出单程要几种车票:1+2+3+4=10（种）,再乘 2:102=20（种）有几种不同票价?1+2+3+4=10（种）或者 542=10(种)答:车站一共要配备 20 种车票.有 10 种票价.配套练习:甲乙之间有 4 个小站要停靠.从甲到乙,一共要准备多少种车票?例 2: 四个连续奇数之和为 192.求这四个数各是多少.简析:连续奇数相邻两数相差 2.具体可参照第五课时的方法求解. （192+2+4+6 ）4=2044=51最大数合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 16 / 2151-2=49,51-4=47,51-6=45答:四个数分

42、别是 45,47,49,51. （192-2-4-6） 4=1804=45最小数45+2=47,47+2=49,49+2=51答:四个数分别是 45,47,49,51. 中间两数和: 1922=96, 两数差为 2,用和差问题解题公式计算:（ 96+2）2=49第三个数 49+2=51第四个数49-2=47第二个数 47-2=45第一个数或者:（96-2）2=47第二个数,47-2=45第一个数47+2=49第三个数 47-2=45第一个数答:四个数分别是 45,47,49,51.二.行 程 问 题 (一)例 1: 甲、乙两人分别从相距 20 千米的两地同时相向而行 .甲每小时行 6 千米,乙

43、每小时行 4 千米.两人几小时后相遇?简析:相向而行就是面对面行走.这是行程问题中的“相遇问题”.其基本数量关系是:速度和时间=路程.根据公式可以派生两个除法计算的公式.本题是为以后学习打基础.务必理解.甲乙两人每小时共行多少千米?6+4=10（千米）几小时相遇?2010=2（小时）答:2 小时后相遇.例 2: 甲、乙两人同时从相距 2000 米的两地相向而行 ,甲每分钟行 110 米,乙每分钟行 90 米.如果一条狗开始与甲同行,每分钟行 500 米,遇到乙后再返回向甲跑去.这样不断往返,直到甲乙相遇为止.狗共跑了多少米?简析:本题也叫“苏步青问题”,关键在于“看人不看狗”.人狗行走的时间相

44、同.如果着眼于狗,计算繁琐,过程复杂,可能无法求解.而着眼于人,问题迎刃而解. 甲乙几小时相遇? 2000（110+90）=2000200=10（分钟）狗一共走了多少米? 50010=5000（米）答:狗共跑了 5000 米.配套练习:甲、乙两个车队同时从相距 330 千米的两地相向而行.甲每小时 60 千米,乙每小时 50 千米.一个人骑摩托车以每小时 80 千米的速度在两队中间往返联络.当两车队相遇时,摩托车行驶了多少千米?例 3: 甲、乙两人在环形跑道上以各自不变的速度跑步.如果两人同时从同一地点相背而行,乙跑 4 分钟后两人第一次相遇.甲跑一周要 6 分钟,乙跑一周要几分钟?简析:本题

45、是高年级的学习内容.但本题解法有别于高年级.甲、乙各跑 4 分钟相遇,甲继续跑乙的合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 17 / 214 分钟路程,只需 6-4=2（分钟）,花的时间是乙的一半,因此乙的时间是甲的两倍.4（6-4）6=12（分钟）倍比法配套练习:甲骑摩托车,乙骑自行车分别从两地同时出发,相向而行,5 小时后相遇.甲行完全程要 15 小时,乙行完全程要多少小时?第 十 一 讲一 . 阔 步 课 堂例 1: 正方形的边长增加 3 厘米,面积增加 51 平方厘米.求原来正方形的面积.简析:本题体现数形结合思想.先画出符合题意的图形,再进行合理分割,就能求出边长,

46、继而求出面积.A,B,C 为增加部分,其中 A,B 大小相等.C 是边长为 3 厘米的正方形. C 的面积是多少? 33= 9（平方厘米） A 和 B 的面积是多少? 51-9=42（平方厘米）A 或 B 的面积:422=21（平方厘米）原正方形边长: 213=7（平方厘米）原正方形面积: 77=49（平方厘米）答:原来正方形的面积是 49 平方厘米.配套练习:正方形的边长增加 2 厘米,面积增加 36 平方厘米.求原来正方形的面积.例 2:AB=610,若 A 与 B 都扩大 2 倍,则商与余数各是多少?简析:本题属于“商不变性质”的应用.注意,商虽不变,但余数却跟着变.商是 6,余数是 1

47、02=20配套练习:AB=2010,若 A 和 B 都缩小 2 倍,商和余数各是多少?二.巧妙求和例 1:王蕾读一本长篇小说,她第一天读 30 页,从第二天起,她每天读的页数都比前一天多 3 页,第 11 天读了 60 页,正好读完.这本书有多少页?简析:本题属于等差数列求和.基本公式为: 和=（首项+尾项）项数2 项数=（尾项-首项）公差+1（30+60）112=495（页）答:这本书有 495 页.配套练习:马师傅做一批零件,第一天做了 20 个,以后每天都比前一天多做 2 个,最后一天合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制 18 / 21做了 42 个.这批零件有多少个?例 2:30 把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,最多要试多少次?简析:本题属于组合问题.第一把锁要打开,要试 30-1=29（次）