1、第二章综合素能检测本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题) 两部分 满分 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1直线 l1l 2，在 l1 上取 3 个点，在 l2 上取 2 个点，由这 5 个点能确定平面的个数为( )导 学 号 92180597A5 B4 C9 D1答案 D解析 由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别 在两平行直线上的 5 个点只能确定一个平面2教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线( )导 学
2、号 92180598A平行 B垂直C相交 D异面答案 B解析 当直尺垂直于地面时， A 不对；当直尺平行于地面时， C 不对；当直尺位于地面上时， D 不对3已知 m、n 是两条不同直线， 、 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )导 学 号 92180599A若 、 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m、n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 、 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m、n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面答案 D解析 A 项， 、 可能相交，故错误；B 项，直 线 m、n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若 m， n，mn
3、，则 m，故 错误；D 项，假设 m、n 垂直于同一平面， 则必有 mn，所以原命题正确，故 D 项正确4已知 、 是两个平面，直线 l，l ，若以l；l； 中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有 ( )导 学 号 92180600A；B；C；D； 答案 A解析 因为 ，所以在 内找到一条直线 m，使 m，又因为 l，所以 lm.又因为 l，所以 l，即 ；因为 l，所以过 l 可作一平面 n，所以 ln，又因为 l，所以 n，又因为 n，所以 ，即.5如图，在斜三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BAC90，BC 1AC，若过 C1 作 C1H平面 ABC，垂足为 H，则点
4、 H 一定在 ( )导 学 号 92180601A直线 AC 上 B直线 AB 上C直线 BC 上 DABC 的内部答案 B解析 BAC90 ，BAAC又 BC1AC，AC平面 ABC1，平面 ABC平面 ABC1.平面 ABC平面 ABC1AB，C1 在面 ABC 上的射影在直线 AB 上6设直线 l平面 ，过平面 外一点 A 与 l， 都成 30角的直线有 ( )导 学 号 92180602A1 条 B2 条C3 条 D4 条答案 B解析 如图，和 成 30角的直线一定是以 A 为顶点的圆锥的母线所在直线，当ABCACB30且 BCl 时，直线 AC，AB 都满足条件，故选 B7(2016
5、浙江文)已知互相垂直的平面 、 交于直线 l.若直线 m、n 满足m ， n，则 ( )导 学 号 92180603Aml BmnCnl Dm n答案 C解析 选项 A，只有当 m 或 m 时，m l；选项 B，只有当 m 时，mn；选项 C，由于 l，nl；选项 D，只有当 m 或 m 时，mn，故 选 C8(2016南安一中高一检测) 如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M、N 分别为棱 BC和棱 CC1 的中点，则异面直线 AC 与 MN 所成的角为 ( )导 学 号 92180604A30 B45C60 D90答案 C解析 如图，连接 A1C1、BC1、A1BM、N 分别为
6、棱 BC 和棱 CC1 的中点，MNBC1.又 A1CAC，A1C1B 为异面直线 AC 与 MN 所成的角A1BC1为正三角形，A1C1B60.故选 C9等腰 RtABC 中，ABBC 1，M 为 AC 的中点，沿 BM 把它折成二面角，折后A 与 C 的距离为 1，则二面角 CBMA 的大小为 ( )导 学 号 92180605A30 B60C90 D120答案 C解析 如图，由 ABBC1， ABC90知 AC .2M 为 AC 的中点， MCAM ，且 CMBM，AMBM，22CMA 为二面角 CBMA 的平面角AC1，MCMA ，MC2MA 2AC 2，22CMA90 ，故选 C10
7、点 P 在正方体侧面 BCC1B1 及其边界上运动，并且保持 APBD 1，则点 P 的轨迹为 ( )导 学 号 92180606A线段 B1CBBB 1 的中点与 CC1 的中点连成的线段C线段 BC1DBC 的中点与 B1C1 的中点连成的线段答案 A解析 APBD 1 恒成立，要保 证 AP 所在的平面始终垂直于 BD1.ACBD1，AB1BD1，ACAB 1A，BD1面 AB1C，P 点在线段 B1C 上运动11如图， ， l，A，B ，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与、 所成的角分别是 和 ，AB 在 、 内的射影长分别是 m 和 n，若 ab，则( )导 学 号
8、92180607A ，m n B ，m nC，mn D，mn答案 D解析 由勾股定理得 a2n 2b 2m 2AB 2.又 ab，mn.由已知得 sin ，sin ，而 ab，bAB aABsinsin ，又 ，(0， )，.212如图，在三棱柱 ABCABC中，点 E、F、H、K 分别为AC、CB、AB、B C 的中点，G 为ABC 的重心，从 K、H、G 、B中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为 ( )导 学 号 92180608AK BHCG DB答案 C解析 应用验证法：选 G 点为 P 时，EF AB且 EFAB，此时恰有 AB和 AB 平行
9、于平面 PEF，故 选 C第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13直线 l 与平面 所成角为 30，l A，m，Am，则 m 与 l 所成角的取值范围是_. 导 学 号 92180609答案 30，90解析 直线 l 与平面 所成的 30的角为 m 与 l 所成角的最小值，当 m 在 内适当旋转就可以得到 lm，即 m 与 l 所成角的最大值为 90.14如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点，若B 1MN 是直角，则C 1MN 等于_. 导 学 号 92
10、180610答案 90解析 因为 C1B1平面 ABB1A1，MN平面 ABB1A1，所以 C1B1MN.又因为 MNMB1，MB1，C1B1平面 C1MB1，MB1C 1B1B 1，所以 MN平面 C1MB1，所以 MNC1M，所以C 1MN90.15如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可). 导 学 号 92180611答案 DM PC(或 BMPC)解析 连接 AC，则 BDAC，由 PA底面 ABCD，可知 BDPA，BD平面PAC，BDPC故当
11、DMPC(或 BMPC)时，平面 MBD平面 PCD16如图所示，已知矩形 ABCD 中，AB3，BCa，若 PA平面 AC，在满足条件的 E 点有两个时，a 的取值范围是_. 导 学 号 92180612答案 a6解析 由题意知：PA DE，又 PEDE，PAPEP，所以 DE平面 PAE，DEAE.易证ABE ECD设 BEx，则 ，即 .ABCE BECD 3a x x3x2ax90 ，由 0，解得 a6.三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)(2016江苏)如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D、E
12、分别为AB、 BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA 1F，A 1C1A 1B1.导 学 号 92180613求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.解析 (1)在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中， A1C1AC在ABC 中， 因为 D、E 分别为 AB、BC 的中点， 所以 DEAC, 于是 DEA1C1.又 DE平面 A1C1F, A1C1平面 A1C1F，所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中， A1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1, 所以 A1AA1C1.又 A1C1A1B
13、1, A1A平面 ABB1A1, A1B1平面 ABB1A1, A1AA 1B1A 1, 所以 A1C1平面 ABB1A1.因为 B1D平面 ABB1A1，所以 A1C1B1D又 B1DA1F, A1C1平面 A1C1F, A1F平面 A1C1F, A1C1A 1FA 1, 所以 B1D平面A1C1F.因为直线 B1D平面 B1DE, 所以平面 B1DE平面 A1C1F.18(本小题满分 12 分)如图所示，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC3，BC4，AB5，AA 14，点 D 是 AB 的中点. 导 学 号 92180614(1)求证：ACBC 1；(2)求证：AC 1平面 CDB
14、1；(3)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值解析 (1)在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面三 边长AC3，BC4，AB5，AC BC又 C1CACAC平面 BCC1B1.BC1平面 BCC1B，ACBC1.(2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连接 DE，又四 边形 BCC1B1为正方形D 是 AB 的中点，E 是 BC1 的中点，DEAC1.DE平面 CDB1，AC1平面 CDB1，AC1平面 CDB1.(3)DEAC1，CED 为 AC1 与 B1C 所成的角在CED 中，ED AC1 ，12 52CD AB ，CE CB12 ，12 52 12 2cosCED
15、.252 225异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 .22519(本小题满分 12 分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的左视图、俯视图，在直观图中，N 是 BC 的中点， M 是 BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示. 导 学 号 92180615(1)求出该几何体的体积；(2)求证：AN平面 CME；(3)求证：平面 BDE平面 BCD解析 (1)由题意可知，四棱 锥 BACDE 中，平面 ABC平面 ACDE，ABAC，AB平面 ACDE.又 ACABAE2，CD 4，则四棱锥 BACDE 的体积为V SACD
16、EAB 24.13 13 4 222(2)连接 MN，则 MNCDAECD，MNAE.又 MNAE CD，四边形 ANME 为平行四边形，12ANEM.AN平面 CME，EM平面 CME，AN平面 CME.(3)ACAB，N 是 BC 的中点，ANBC又平面 ABC平面 BCDAN平面 BCD由(2)知：ANEM ，EM平面 BCD又 EM平面 BDE，平面 BDE平面 BCD20(本小题满分 12 分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. 导 学 号 92180616(1)请按字母 F、G、H 标记在正方体相应地顶点处( 不需要说明理由) ；(2)判断平面 BEG 与平
17、面 ACH 的位置关系并说明你的结论；(3)证明：直线 DF平面 BEG.解析 (1)点 F、G、H 的位置如图所示(2)平面 BEC平面 ACH.证明如下：因为 ABCDEFGH 为正方体，所以 BCFG，BCFG ，又 FGEH，FGEH，所以 BCEH，BCEH ，于是四边形 BCEH 为平行四边形，所以 BECH，又 CH平面 ACH，BE平面 ACH，所以 BE平面 ACH，同理，BG平面 ACH，又 BEBG B，所以平面 BEG平面 ACH.(3)连接 FH 交 EG 于点 O，连接 BD因为 ABCDEFGH 为正方体，所以 DH平面 EFGH，因为 EG平面 EFGH，所以
18、DHEG，又 EGFH，EGFH O，所以 EG平面 BFHD，又 DF平面 BFHD，所以 DFEG，同理 DFBG，又 EGBG G ，所以 DF平面 BEG.21(本小题满分 12 分)(2016浙江文)如图，在三棱台 ABCDEF 中，平面 BCFE平面 ABC，ACB90，BE EFFC 1，BC 2，AC3. 导 学 号 92180617(1)求证：BF平面 ACFD；(2)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值解析 (1)延长 AD、BE、CF 相交于一点 K，如图所示因为平面 BCFE平面 ABC，且 ACBC，所以 AC平面 BCK，因此 BFAC又因为 EFBC，B
19、EEFFC1， BC2，所以BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 BFCK.所以 BF平面 ACFD(2)因为 BF平面 ACK，所以BDF 是直线 BD 与平面 ACFD 所成的角在 RtBFD 中，BF ，DF ，332BD ，DF2 BF2212得 cosBDF ，217所以直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦 值为 .21722(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，已知AB 3，AD 2 ，PA2，PD 2 ，PAB60.2 导 学 号 92180618(1)求证：AD 平面 PAB；(2)求异面直线 PC 与 AD 所成的
20、角的正切值；(3)求二面角 PBDA 的正切值解析 (1)证明：在PAD 中， PA2，AD2，PD2 ，2PA2AD 2PD 2，ADPD在矩形 ABCD 中，ADAB PAABA， AD平面 PAB(2)BCAD，PCB 是异面直线 PC 与 AD 所成的角在PAB 中，由余弦定理得PB .PA2 AB2 2PAABcosPAB 7由(1)知 AD平面 PAB，PB平面 PAB，ADPB，BCPB，则PBC 是直角三角形，故 tanPCB .PBBC 72异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值为 .72(3)过点 P 作 PHAB 于点 H，过点 H 作 HEBD 于点 E，连结 PE.AD平面 PAB，PH平面 ABCD，ADPH.又 ADAB A，PH平面 ABCD又 PH平面 PHE，平面 PHE平面 ABCD又 平面 PHE平面 ABCDHE，BDHE，BD平面 PHE.而 PE平面 PHE，BDPE，故PEH 是二面角 PBDA 的平面角由题设可得，PHPA sin60 ，3AHPAcos601，BHABAH2，BD ，HE BH .AB2 AD2 13ADBD 413在 RtPHE 中， tanPEH .PHHE 394二面角 PBDA 的正切值为 .394
