1、高考数学(浙江专用),10.5 曲线与方程,考点 曲线与方程 1.(2017课标全国理,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C: +y2=1上,过M作x轴的垂线, 垂足为N,点P满足 = . (1)求点P的轨迹方程; (2)设点Q在直线x=-3上,且 =1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,统一命题、省(区、市)卷题组,五年高考,解析 本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题. (1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0), =(x-x0,y), =(0,y0). 由 = 得x0=x,y0= y. 因为M(x0,y0)在C上,所以 + =1. 因此点P的轨迹方
2、程为x2+y2=2. (2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则 =(-3,t), =(-1-m,-n), =3+3m-tn, =(m,n), =(-3-m,t-n). 由 =1得-3m-m2+tn-n2=1, 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以 =0,即 . 又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,思路分析 (1)设出P、M的坐标,利用 = 得到P、M坐标间的关系,由点M在C上求解. (2)利用向量的坐标运算得 =0,进而证明直线l过曲线C的左焦点F. 方法总结 求轨迹方程的方法有直接法和间接法.直接法有定义
3、法、待定系数法和直译法.间 接法有相关点法、交轨法和参数法.,2.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C 于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ; (2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.,解析 由题设知F .设l1:y=a,l2:y=b,则ab0, 且A ,B ,P ,Q ,R . 记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0. (3分) (1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2
4、,则 k1= = = = =-b=k2. 所以ARFQ. (5分) (2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF= |b-a|FD|= |b-a| ,SPQF= . 由题设可得2 |b-a| = , 所以x1=0(舍去),或x1=1. (8分) 设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE,可得 = (x1). 而 =y,所以y2=x-1(x1). 当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1. (12分) 疑难突破 第(1)问求解关键是把ARFQ的证明转化为kAR=kFQ的证明;第(2)问需找到AB中点 所满足的几何条件,从而将其转
5、化为等量关系.在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨 论思想的应用.,评析 本题主要考查抛物线的性质,直线的斜率及其应用,轨迹方程的求法等知识,考查分类讨 论思想的应用,考查学生对基础知识和基本技能的应用能力.,3.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C1的圆心坐标; (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程; (3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不 存在,说明理由.,解析 (1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所
6、以圆心坐标为(3,0). (2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),M(x0,y0), 则x0= ,y0= . 由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx. 将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0. 由题意,可得=36-20(1+t2)0(*),x1+x2= , 所以x0= ,代入直线l的方程,得y0= . 因为 + = + = = =3x0, 所以 + = . 由(*)解得t2 ,又t20,所以 x03. 所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为 +y2= .,(3)存在.由(2)知,曲线C是在区间 上的一段圆弧. 如图,D ,E ,F(3,0
7、),直线L过定点G(4,0). 联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0. 令判别式=0,解得k= ,由求根公式解得交点的横坐标为xH,I= ,由图可知:要使直线L 与曲线C只有一个交点,则kkDG,kEGkGH,kGI,即k .,考点 曲线与方程 1.(2014广东,20,14分)已知椭圆C: + =1(ab0)的一个焦点为( ,0),离心率为 . (1)求椭圆C的标准方程; (2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.,C组 教师专用题组,解析 (1)由题意知c= ,e= = , a=3
8、,b2=a2-c2=4, 故椭圆C的标准方程为 + =1. (2)设两切线为l1,l2, 当l1x轴或l1x轴时,l2x轴或l2x轴,可知P(3,2). 当l1与x轴不垂直且不平行时,x03,设l1的斜率为k,且k0,则l2的斜率为- ,l1的方程为y-y0=k (x-x0),与 + =1联立, 整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0, 直线l1与椭圆相切,=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0, ( -9)k2-2x0y0k+ -4=0, k是方程( -9)x2-2x0y0x+ -4=0的一个根,同理,- 是方程
9、( -9)x2-2x0y0x+ -4=0的另一个根, k = ,整理得 + =13,其中x03,点P的轨迹方程为x2+y2=13(x3). P(3,2)满足上式. 综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13. 评析 本题考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系以及轨迹方程的求法.考查分 类讨论思想以及方程思想的应用.,2.(2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记 点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程; (2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个 公共点时k的相应取值范围.,
10、解析 (1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1, 即 =|x|+1, 化简整理得y2=2(|x|+x). 故点M的轨迹C的方程为y2= (2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x0), 依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2). 由方程组 可得ky2-4y+4(2k+1)=0. i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x= . 故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点 . ii)当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1). 设直线l与x轴的交点为(x0,0),则 由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=- . ,若 由解得k , 即
11、当k(-,-1) 时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点, 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点. 若 或 则由解得k 或- k0, 即当k 时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点. 当k 时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点, 故当k 时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点. 若 则由解得-1k- 或0k . 即当k 时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点, 故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.,综合i)和ii)可知,当k(-,-1) 0时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k 时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k 时,直线l与轨迹C 恰好有三个公共
12、点.,考点 曲线与方程 1.(2018浙江杭州二中期中,9)2 000多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apllonius)发现:平面 截圆锥的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为PH,AB为底面直径,顶角为2,那么不过顶点P 的平面:与PH的夹角满足 时,截口曲线为椭圆;与PH的夹角=时,截口曲线为抛物线; 与PH的夹角满足0时,截口曲线为双曲线.如图,底面内的直线AMAB,过AM的平面截圆 锥所得的曲线为椭圆,其中与PB的交点为C,可知AC为长轴.那么当C在线段PB上运动时,截口 曲线的短轴顶点的轨迹为 ( )A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线,三年模拟,A组 20162018年高考
13、模拟基础题组,答案 D 因为短轴两端点到A,C的距离相等,当C运动时,短轴两端点在过AC中点且与PB平 行的平面内,此时截口曲面的短轴顶点的轨迹所在的平面与PH的夹角=,因而轨迹为抛物线, 故选D.,2.(2017浙江温州十校期末联考,6)点P为直线y= x上任一点,F1(-5,0),F2(5,0),则下列结论正确的 是 ( ) A.|PF1|-|PF2|8 B.|PF1|-|PF2|=8 C.|PF1|-|PF2|8 D.以上都有可能,答案 C 若|PF1|-|PF2|=8,则点P的轨迹是以F1(-5,0),F2(5,0)为焦点的双曲线,其方程为 - = 1.因为直线y= x是该双曲线的一条
14、渐近线,整条直线在双曲线的外面,因此有|PF1|-|PF2|8.,3.(2018浙江嘉兴教学测试(4月),12)已知直角坐标系中A(-2,0),B(2,0),动点P满足|PA|= |PB|,则 点P的轨迹方程是 ;轨迹为 .,答案 x2+y2-12x+4=0;一个圆,解析 设P(x,y),则|PA|= ,|PB|= ,代入|PA|= |PB|,并化简可得x2+y2-12x+ 4=0,故轨迹为一个圆.,4.(2017浙江名校(绍兴一中)交流卷一,14)若抛物线C:y2=2px的焦点F在直线l:x-ay-1=0(aR) 上,则此抛物线的方程是 ;若直线l与C交于A,B两点,则 = (O为坐标原 点
15、).,答案 y2=4x;-3,解析 抛物线C:y2=2px的焦点为F ,代入x-ay-1=0得p=2,所以抛物线的方程是y2=4x.设A (ay1+1,y1),B(ay2+1,y2),将x-ay-1=0代入y2=4x,消去x得到y2-4ay-4=0,所以y1+y2=4a,y1y2=-4, 因此 =(ay1+1)(ay2+1)+y1y2=(a2+1)y1y2+a(y1+y2)+1=-4(a2+1)+4a2+1=-3.,5.(2018浙江嘉兴高三期末,21)如图,AB为半圆x2+y2=1(y0)的直径,点D,P是半圆弧上的两点, ODAB,POB=30.曲线C经过点P,且曲线C上任意一点M满足|M
16、A|+|MB|为定值. (1)求曲线C的方程; (2)设过点D的直线l与曲线C交于不同的两点E,F,求OEF面积最大时直线l的方程.,解析 (1)根据椭圆的定义,曲线C是以A(-1,0),B(1,0)两点为焦点的椭圆,其中2c=2,P . 2a=|PA|+|PB|= + = + , a2= ,b2= ,曲线C的方程为 + =1. (5分) (2)当直线l的斜率不存在时,OEF不存在,所以直线l的斜率存在. 设过点D的直线l的斜率为k,则l:y=kx+1. 由 得(2+6k2)x2+12kx+3=0, =(12k)2-4(2+6k2)3=24(3k2-1)0,k2 , 设E(x1,y1),F(x
17、2,y2), x1+x2=- ,x1x2= , (8分) |EF|= |x1-x2|= , (10分),又点O到直线l的距离d= , OEF的面积S= |EF|d= . (12分) 令 =,0,则S= = = ,当且仅当= ,即= ,也即3k2-1=2,k= 1时,OEF的面积取到最大值 . 此时直线l的方程为y=x+1或y=-x+1. (15分),6.(2017浙江稽阳联谊学校联考(4月),21)已知两个不同的动点A,B在椭圆 + =1上,且线段 AB的垂直平分线恒过点P(0,-1).求: (1)线段AB的中点M的轨迹方程; (2)线段AB的长度的最大值.,解析 (1)设A(x1,y1),B
18、(x2,y2),M(x0,y0).易知直线AB的斜率存在, 由题意可知, + =1, + =1,则 + =0,得 =- . 又 =-1,得y0=-2. 从而,线段AB的中点M的轨迹方程为y=-2(- x ). (2)由(1)知,直线AB的斜率k=x0. 所以直线AB的方程为y+2=x0(x-x0),与椭圆方程联立得, ( +2)x2-2x0( +2)x+ +4 -4=0, 则x1+x2=2 ,x1x2= , 于是,|AB|= |x1-x2|= =2 2 , 当且仅当x0=0时,取等号,所以线段AB的长度的最大值为2 .,1.(2018浙江镇海中学高三模拟,10)已知A(0,3),B(0,-3)
19、,C(2 ,2),以C为焦点的椭圆过A,B两点, 则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为 ( ) A.y2- =1(y-1) B.y2- =1(y1) C.y2- =1 D.x2- =1,B组 20162018年高考模拟综合题组 (时间：20分钟 分值：26分),答案 A 依题意有|FA|+|CA|=|FB|+|CB|,即有|FA|-|FB|=|CB|-|CA|=7-5=2, 故点F的轨迹是以A,B为上、下焦点,实轴长为2,焦距为6的双曲线下支,因此a=1,c=3,则b2=8,则 椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为y2- =1(y-1).,2.(2017浙江镇海中学第一学期期中,6)如图,在四边形ABC
20、D中,将ADC沿AC所在的直线进行 翻折,则翻折过程中线段DB的中点M的轨迹是 ( )A.椭圆的一段 B.抛物线的一段 C.一段圆弧 D.双曲线的一段,答案 C 设线段AB的中点为N,则MNAD,|MN|= |AD|,且为定值,故点M在以N为球心, |AD| 为半径的球面上.同理,设线段BC的中点为P,则有|PM|= |CD|,且为定值,故点M在以P为球心, | CD|为半径的球面上,故点M在两球面的交线,即一段圆弧上运动,故选C.,3.(2016浙江镇海中学测试卷四,13)在直角坐标系xOy上取两个定点A1(-2,0),A2(2,0),再取两个动 点N1(0,m),N2(0,n),且mn=3
21、.则直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹方程为 .,二、填空题,答案 + =1(x2),解析 依题意知直线A1N1的方程为y= (x+2), 直线A2N2的方程为y=- (x-2). 设M(x,y). 两式相乘得y2=- (x2-4),由mn=3,得 + =1. 点A1(-2,0),A2(2,0)不在所求轨迹上, M的轨迹方程为 + =1(x2).,4.(2018浙江新高考调研卷四(金华一中),21,14分)已知动圆O1过定点A(2,0),且在y轴上截得弦 MN的长为4. (1)求动圆圆心O1的轨迹C的方程; (2)若B(x0,y0)是动圆圆心O1的轨迹C上的动点,点P,Q在y轴上,圆(x-2
22、)2+y2=4内切于BPQ,求 BPQ面积的最小值及此时点B的坐标.,三、解答题,解析 (1)如图,设动圆圆心O1(x,y),由题意知,|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1HMN交 MN于H,则H是MN的中点, |O1M|=|O1A|, = , 化简得y2=4x(x0).又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=4x, 所以动圆圆心的轨迹C的方程为y2=4x.(2)设P(0,p),Q(0,q),且pq. 直线PB的方程:y-p= x,化简得(y0-p)x-x0y+x0p=0,圆心(2,0)到直线PB的距离是2, =2, 从而4(y0-p)2+4 =4(y0-p)2+4x0p(y0-p)+ p2,易知x04, 上式化简后,得(x0-4)p2+4y0p-4x0=0, 同理,(x0-4)q2+4y0q-4x0=0, p+q=- ,pq=- , p-q= =4 , B(x0,y0)是抛物线上的一点, =4x0,p-q= , SBPQ= (p-q)x0= =2 32, 当且仅当x0-4= ,即x0=8,y0=4 时取等号,此时B(8,4 ).BPQ面积的最小值为32.,
