1、立体几何中的共点、共线、共面问题一、共线问题例 1. 若 ABC 所在的平面和 A 1B1C1所在平面相交，并且直线 AA1、BB 1、CC 1相交于一点 O，求证：(1)AB 和 A1B1、BC 和 B1C1、AC 和 A1C1分别在同一平面内；(2)如果 AB 和 A1B1、BC 和 B1C1、AC 和 A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).例 2. 点 P、Q、R 分别在三棱锥 A-BCD 的三条侧棱上，且PQBCX,QRCDZ,PRBDY.求证：X、Y、Z 三点共线.例 3. 已 知 ABC 三 边 所 在 直 线 分 别 与 平 面 交 于 P、 Q、 R 三 点 ， 求
2、证 ： P、 Q、 R 三 点 共线 。二、共面问题例 4. 直线 m、n 分别和平行直线 a、b、c 都相交，交点为 A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线 a、b、c、m、n 共面.例 5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.已知：如图，直线 l1，l 2，l 3，l 4两两相交，且不共点.求证：直线 l1，l 2，l 3，l 4在同一平面内例 6. 已知：A 1、B 1、C 1和 A2、B 2、C 2分别是两条异面直线 l1和 l2上的任意三点，M、N、R、T 分别是 A1A2、B 1A2、B 1B2、C 1C2的中点.求证：M、N、R、T 四点共面.例 7. 在空间四边形
3、ABCD 中，M、N、P、Q 分别是四边上的点，且满足 k.MBANCD(1)求证：M、N、P、Q 共面.(2)当对角线 ACa,BDb，且 MNPQ 是正方形时，求 AC、BD 所成的角及 k 的值(用 a,b表示)三、共点问题例 8. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.1、(1)证明：AA 1BB 1O,AA 1、BB 1确定平面 BAO，A、A 1、B、B 1都在平面 ABO 内，AB 平面 ABO；A 1B1 平面 ABO.同理可证，BC 和 B1C1、AC 和 A1C1分别在同一平面内.(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理 2，证明这
4、两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.2 证明：如图，设 ABA 1B1P；ACA 1C1R； 面 ABC面 A1B1C1PR. BC 面 ABC；B 1C1 面 A1B1C1，且 BCB 1C1Q QPR,即 P、R、Q 在同一直线上.3 解析：A、B、C 是不在同一直线上的三点过 A、B、C 有一个平面 又 P且,.,lp则设内内 又 在既 在点 .,:三 点 共 线同 理 可 证RQPl4 解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.证明 ab,过 a、b 可以确定一个
5、平面 .Aa,a ，A,同理 Ba.又Am，Bm,m .同理可证 n .bc,过 b,c 可以确定平面 ，同理可证 m .平面 、 都经过相交直线 b、m,平面 和平面 重合，即直线 a、b、c、m、n 共面.5、解析：证明几条直线共面的依据是公理 3 及推论和公理 1.先证某两线确定平面，然后证其它直线也在 内.证明：图中，l 1l 2P， l 1,l2确定平面 .又 l 1l 3A,l 2l 3C, C,A.故 l 3 .同理 l 4 . l 1,l2,l3,l4共面.图中，l 1,l2,l3,l4的位置关系，同理可证 l1,l2,l3,l4共面.所以结论成立.6、证明 如图，连结 MN、
6、NR，则 MNl 1,NRl 2，且 M、N、R 不在同一直线上(否则，根据三线平行公理，知 l1l 2与条件矛盾). MN、NR 可确定平面 ，连结 B1C2，取其中点 S.连 RS、ST，则 RSl 2，又 RNl 2， N、R、S 三点共线.即有 S，又 STl 1，MNl 1，MNST，又 S， ST . M、N、R、T 四点共面. 7 解析：(1) kBAQD MQBD，且 1 BMAk MQ BD1又 kNBCPD PNBD，且 B1k 从而 NP BDBC MQNP，MQ，NP 共面，从而 M、N、P、Q 四点共面.(2) ， MAk1 , BNCAB1k MNAC，又 NPBD
7、. MN 与 NP 所成的角等于 AC 与 BD 所成的角. MNPQ 是正方形， MNP90 AC 与 BD 所成的角为 90，又 ACa，BDb， ACMNB1k MN a1k又 MQ b,且 MQMN，b a，即 k .1kb说明：公理 4 是证明空间两直线平行的基本出发点.已知：平面 平面 a，平面 平面 b，平面 平面 c.求证： a、 b、 c 相交于同一点，或 a b c.证明： a， b a、 b a、 b 相交或 a b.(1)a、 b 相交时，不妨设 a b P，即 P a， P b而 a、 b ， a P ， P ，故 P 为 和 的公共点又 c由公理 2 知 P c a、 b、 c 都经过点 P，即 a、 b、 c 三线共点.(2)当 a b 时 c 且 a ， a a c 且 a b a b c故 a、 b、 c 两两平行.由此可知 a、 b、 c 相交于一点或两两平行.
