1、第 1 页 共 13 页二项式定理【学习目标】1理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题【要点梳理】要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数 n,都有： nrnrn bCabaCba 10)( *N)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做 nba)(的二项展开式。式中的 rn做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，即通项为展开式的第 r+1 项： 1rnrTCab，其中的系数 rnC（r=0，1，2，n）叫做二项式系数，2二项式(a+b) n 的展开式的特点：(1)项数：共有 n+1 项，比二项式的次数
2、大 1；(2)二项式系数：第 r+1 项的二项式系数为 rnC，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 n字母 a 降幂排列，次数由 n 到 0；字母 b 升幂排列，次数从 0 到 n，每一项中，a，b 次数和均为 n；3.两个常用的二项展开式： 1()(1)(1)n rnrnabCbCb ( *N) 21nnxxCx 要点二、二项展开式的通项公式二项展开式的通项： -1rnrTab（ ,10）公式特点：它表示二项展开式的第 r+1 项，该项的二项式系数是 rnC；字母 b 的次数和组合数的上标相同；a 与 b 的次数之和为 n。要点诠释：（1）二项式(a+b) n
3、的二项展开式的第 r+1 项 rnab和(b+a) n 的二项展开式的第 r+1 项 rnCba是有区别的，应用二项式定理时，其中的 a 和 b 是不能随便交换位置的（2）通项是针对在(a+b) n 这个标准形式下而言的，如(a b) n 的二项展开式的通项是1()rnrrTCab（只需把b 看成 b 代入二项式定理） 。要点三：二项式系数及其性质1.杨辉三角和二项展开式的推导。在我国南宋，数学家杨辉于 1261 年所著的详解九章算法如下表，可直观地看出二项式系数。第 2 页 共 13 页nba)(展开式中的二项式系数 ,当 n依次取 1,2,3,时,如下表所示:11 12)(1 2 131
4、3 3 14ba1 4 6 4 15)(1 5 10 10 5 161 6 15 20 15 6 1 上表叫做二项式系数的表, 也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质。表中每行两端都是 1，而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。用组合的思想方法理解(a+b) n 的展开式中 nrab的系数 rnC的意义：为了得到(a+b) n 展开式中nrab的系数，可以考虑在 ()()nab这 n 个括号中取 r 个 b，则这种取法种数为 rnC，即为nr的系数 2.()n的展开式中各项的二项式系数 0nC、 1、 2n 具有如下性质：对称性：二项展开式中，与首末
5、两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 rnr；增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当 n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数 2n最大；当 n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数 21C，n相等，且最大.各二项式系数之和为 ，即 01234nnnnCC ；二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即 1531420 nnnn 。要点诠释：二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第 r+1 项 rnrbaC的二项式系数是组合数 rnC，展开式的系数是单项式 rnrbaC的系数，二者不一定相等。如(a
6、 b) n 的二项展开式的通项是 1()rnrrTab，在这里对应项的二项式系数都是 rn，但项的系数是 (1)rn，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念3. abc展开式中 pqrabc的系数求法（ ,0pqr的整数且 pqrn）nrnrnn cbaCcbaC)()()(如： 10c展开式中含 523的系数为 !52310527310要点诠释：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。要点四：二项式定理的应用1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.第 3 页 共 13 页2.利用赋值法进行求有关系数和。二项式定理表示一个恒等式，对于任意的 a，b，该等式
7、都成立。利用赋值法（即通过对 a、b 取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。设 201()n nfxaxx(1)令 x=0，则 (nf(2)令 x=1，则 012()nafb(3)令 x=1，则 3(1)nnfa(4) 024()-fa(5) 13523.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：如：求证： 982n能被 64 整除（ *Nn）4.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大) ，使等式转化
8、为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。nx1； 2)1(1)(xnxn；（ 0）如：求证： 25.进行近似计算：求数的 n次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数) 的形式。当 |x充分小时，我们常用下列公式估计近似值： xn1)(； 2)1(1)(xnxn；如：求 605.的近似值，使结果精确到 0.01；【典型例题】类型一、求二项展开式的特定项或特定项的系数例 1. 求523x的二项式的展开式【思路点拨】 按照二项式的展开式或按通项依次写出每一项，但要注意符号【解析】（1）解法一：523x0 23051423325552()()()()CCCxCx第 4
9、页 共 13 页454552233()CxCx471018032解法二：535210()xx03513423232343455551(4)()()(4)()(3)2CCxxCx2960876010x524133x。【总结升华】 记准、记熟二项式 (a+b)n 的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简捷举一反三：【变式】求612x的二项式的展开式【答案】先将原式化简。再展开 66631(2)xxx0615434256666631(2)() ()()CCCxC6543249001xx3例 2试求：（1 ） (x3 2)5 的展开式中 x5 的系数；
10、（2 ） (2x2 )6 的展开式中的常数项；【思路点拨】先根据已知条件求出二项式的指数 n，然后再求展开式中含 x 的项因为题中条件和求解部分都涉及指定项问题，故选用通项公式【解析】 （1）T r1 rrrrr xCxC51253)()依题意 15 5r5 ，解得 r2故( 2)2 40 为所求 x5 的系数（2）T r1 rC6(2x2)6-r r1( 1)r26-r rxC312依题意 12 3r0 ，解得 r4第 5 页 共 13 页故 4)1(22 6C60 为所求的常数项【总结升华】1.利用通项公式求给定项时避免出错的关键是弄清共有多少项,所求的是第几项,相应的 r是多少；2. 注
11、意系数与二项式系数的区别；3. 在求解过程中要注意幂的运算公式的准确应用。举一反三：【变式 1】求 291()x的展开式中 3x的二项式系数及 3x的系数.【答案】 6， ；通项 291831 9()()rrrrrrTCC， 83， 5，故展开式中 x的二项式系数为 54926，3x的系数为 59(1)26.【变式 2】求 153x的展开式中的第 4 项.【答案】524； 155315333624()(4TCxCx。【变式 3】（1）求 9()x的展开式常数项； （2）求 93()x的展开式的中间两项 奎 屯王 新 敞新 疆【答案】3992193()rrrrrrTCx，（1）当 30,62时展
12、开式是常数项，即常数项为 637928TC；（2） 9()x的展开式共 1项，它的中间两项分别是第 5项、第 项，4891253TCx，15950326978TCxx奎 屯王 新 敞新 疆例 3 求二项式102的展开式中的有理项【思路点拨】 展开式中第 r+1 项为 210()rrrCx，展开式中的有理项，就是通项中 x 的指数为第 6 页 共 13 页正整数的项【解析】 设二项式的通项为5202101 1()r rrrrrTCxCx，令 520rZ，即 r=0，2 ，4，6，8 时， 5Z。0210TCx，221515304x，44101058TCx，665571023x，8809146TC
13、x。二项式102x的展开式中的常数项是第 9 项： 4526；有理项是第 1 项：x 20，第 3 项：154x，第 5 项： 108，第 7 项： 503x，第 9 项： 【总结升华】 求有理项是对 x 的指数是整数情况的讨论，要考虑到一些指数或组合数的序号的要求举一反三：【变式】如果在nx421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。【答案】 （1）展开式中前三项的系数分别为 1， 2n ， 8)1(， 由题意得：2 2n=1+ 8)1(得 n=8。设第 r+1 项为有理项， 431612rrrxcT，则 r 是 4 的倍数，所以 r=0，4 ，8。有理项为 9541 5,
14、83,x。类型二、 二项式之积及三项式展开问题例 4求 25()的展开式中 3x的系数.【思路点拨】 将 2(1)变形为 21，要使两个因式的乘积中出现 3x，根据式子的结构可以第 7 页 共 13 页分类讨论：当前一个因式为 1 时，后面的应该为 3x；当前一个因式为 x时，后面的应该为 2x；当前一个因式为 2x时，后面的应该为 x；也可以利用通项公式 rnrrbaCT1化简解答。【解析】解法一： 2525(1)(1)(xx，的通项公式 kkk xCCT55)1 （ 0,1234,5） ，分三类讨论：（1）当前一个因式为 1 时，后面的应该为 3，即 32345()0Tx；（2）当前一个因
15、式为 2x时，后面的应该为 2x，即 231；（3）当前一个因式为 时，后面的应该为 ，即 25()Cx；故展开式中 3x的系数为 105。解法二： 2)1(的通项公式 rrxCT21（ ,12） ，5x的通项公式 kkk xC55)( ,（ 0,1234,5） ，令 3rk,则 2或 1r或 03，从而 x的系数为 5325C。举一反三：【变式 1】求 25(1)x的展开式中 3x的系数.【答案】 5；)1(x的通项公式 kkk CCT551)1( （ 0,1234,5） ，分二类讨论：（1）当前一个因式为 1 时，后面的应该为 3x，即 32345()0Tx；（2）当前一个因式为 2x时，
16、后面的应该为 ，即 12；故展开式中 3的系数为 5。【变式 2】在(1x) 5(1-x)4 的展开式中，x 3 的系数为_【答案】 (1x) 5(1-x)4(1x)(1-x 2)4，其中(1-x 2)4 展开的通项为 (-x2)r，4C第 8 页 共 13 页故展开式中 x3 的系数为 -414C例 5. 求(1+x+x 2)8 展开式中 x5 的系数【思路点拨】要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理， ，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开 奎 屯王 新 敞新 疆【解析】 解法一：(1+x+x 2)8=1+
17、(x+x2)8，所以 218()rrrTCx，则 x5 的系数由(x+x 2)r 来决定，1krkrkTCx，令 r+k=5，解得 0k或 41或 3k。含 x5 的系数为 50413288854。解法二： 2201728(1)()()()xCxx63523 82881()C Cx ，则展开式中含 x5 的系数为 01786504。解法三：(1+x+x 2)8=(1+x+x2)(1+x+x2)(1+x+x2)（共 8 个） ，这 8 个因式中乘积展开式中形成 x5 的来源有三：（1）有 2 个括号各出 1 个 x2，其余 6 个括号恰有 1 个括号出 1 个 x，这种方式共有 2186C种；（
18、2）有 1 个括号出 1 个 x2，其余 7 个括号中恰有 3 个括号各出 1 个 x，共有 1种；（3）没有 1 个括号出 x2，恰有 5 个括号各给出 1 个 x，共有 58C种所以 x5 的系数是235887804C【总结升华】 高考题中，常出现三项式展开或两个二项式乘积的展开问题，所用解法一般为二项式定理展开，或将三项式转化为二项式举一反三：【变式 1】32x的展开式中的常数项 .【答案】 3=61x 所求展开式中的常数项是 - 36C 20【变式 2】在(1+x+px 2)10 的展开式中，试求使 x4 的系数为最小值时 p 的值【答案】由通项 21010()()rrrrrTCpp，
19、又(1+px) r 的通项为 mrx。 10rr 。而 m+r=4，且 0mr 10 。第 9 页 共 13 页 04mr，或 13r，或 2mr。x 4 的系数为 031222 21045360145(8)1045()10CpCppp。仅当 p=4 时，x 4 的系数为最小。类型三：有关二项式系数的性质及计算的问题例 6. （1 ）求(1+2x) 7 展开式中系数最大的项；（2 ）求(12x) 7 展开式中系数最大的项。【思路点拨】 利用展开式的通项，得到系数的表达式，进而求出其最大值。【解析】 （1）设第 r+1 项系数最大，则有77 2rrC即1!7!2()(1)72!r rr rr 8
20、271r，解得163r，即 1453r，r=5。系数最大的项为 5561726TCx。（2 ）展开式共有 8 项，系数最大的项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得。又因 (12x)7 括号内的两项中后项系数绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大的项必在中间或偏右，故只需要比较T5 和 T7 两项系数大小即可， 4377617(2)4C系 数系 数，所以系数最大的项是第五项， 4457(2)560TCx。【总结升华】求展开式中系数最大的项，一般是解一个不等式组 1rT。举一反三：【变式】设 n)52x1(展开式的第 10 项系数最大，求 n. 【答案】展开式的通项为 rnrrnrnrr121
21、2TC(x)()x55rn2C5为第 10 页 共 13 页第 10 项系数最大，98nn1092C5为25n14为又 +nNn=13 或 n=14【变式 2】 已知 2na的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项。【答案】 因为 465nnC，所以 !2!4()6()5()n。即 n2 21n+98=0，解得 n=14 或 7。当 n=14 时，第 8 项的二项式系数最大，77814(2)34TCa。当 n=7 时，第 4 项与第 5 项的二项式系数最大，333471(2)TCa，34457()702。类型四、利用赋值法进行求有关系数和。例 7. 已知(1
22、2x) 7=a0+a1x+a2x2+a7x7，求：（1）a 1+a2+a7；（2 ）a 1+a3+a5+a7；（3 ）a 0+a2+a4+a6；（4）|a 0|+|a1|+|a2|+|a7|。【思路点拨】求展开式的各项系数之和常用赋值法【解析】 令 x=1，则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1 ，令 x=1，则 a0a1+a2a3+a4a5+a6a7=37 ，（1）因为 a0= 7C（或令 x=9，得 a0=1） ，所以 a1+a2+a3+a7=2。（2）由（ ）2 得71357094。（3）由（+）2 得 0246132aa。（4）方法一：因为 (12x)7 展开式中，a
23、0，a 2，a 4，a 6 大于零，而 a1，a 3，a 5，a 7 小于零，所以|a 0|+|a1|+|a2|+|a7|=(a0+a2+a4+a6)(a1+a3+a5+a7)=1093(1094)=2187。方法二：|a 0|+|a1|+|a2|+|a7|，即(1+2x) 7 展开式中各项的系数和，所以 |a0|+|a1|+|a7|=37=2187。【总结升华】 求展开式的各项系数之和常用赋值法。“赋值法”是解决二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值。一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x=0 可得常数项，令 x=1 可得所有项系数之和，令 x=1 可得偶次项系
24、数之和与奇次数系数之和的差，而当二项展开式中含负值时，令 x=1 则可得各项系数绝对值之和。举一反三：第 11 页 共 13 页【变式 1】已知 72701(12)xaxax ，求：（1） 7a ； （2） 357； （3） 017|a .【答案】 （1）当 x时， 7()(2)1x，展开式右边为027 1aa 1，当 x时， 0， 2712a ，（2）令 ， 1 令 1x， 70234563a 得： 71357()1a， 1357a7132.（3）由展开式知： 1357,均为负， 0248,均为正，由（2）中+ 得： 70246()13aa， 70246a， 017|a 01234567aa
25、724635()()a奎 屯王 新 敞新 疆举一反三：【变式 1】求值： 122(1)3nnnnCC .【答案】 12233()2(1) n n nn【变式 2】设 1xxx 01naxa ，当 01254naa 时，求 的值 奎 屯王 新 敞新 疆【答案】令 得： 23012 nn 2(1)54， 8,7n，类型四、 二项式定理的综合运用第 12 页 共 13 页例 8.求证： 2389n（ nN）能被 64 整除.【思路点拨】可将 2化成 112)8()3(n再进行展开,化简即可证得.【解析】 128)3(nn0 12111.8nnnnCCC 29n0221 11.)9nn nn 0121
26、8(.)nC故 23n（ N）能被 64 整除。【总结升华】利用二项式定理进行证明,需要多项式展开后的各项尽量多的含有 2648的式子.举一反三：【变式 1】求证 1923能被 10 整除【答案】 (0)02312223230().10()(1)CC 1923213323(). 02123 3().1C故 92能被 10 整除。例 9：当 Nn且 1，求证 )1(2n【解析】 211)(2 nCCnnnn n13!31!22 212!13! 12nnn.21n从而 3)(n【总结升华】 用二项式定理证明不等式时，根据 n 的最小值，确定展开的最少项，然后分析具体情况确定其中有多少项即可举一反三
27、：第 13 页 共 13 页【变式】求证： (1)()2nnx，其中 |1x， 2n， N。【答案】 41)(1,2)kn nCC |x， 20kx， 242(1)()()nn knn 1n。例 10. 求 6.98的近似值，使误差小于 0001【思路点拨】因为 660.(1.)，所以可以用二项式定理来计算【解析】 6 26.(.2(.2)15(0.)(0.2) ， 3150.).06.0T即第 3 项以后的项的绝对值都小于 0.001，从第 3 项起，以后的项可以忽略不计，即 660.98(10.2)1(0.2).98【总结升华】由 3n nnnxCxxCx 知，当 x 的绝对值与 1 相比很小且 n 足够大时， 2x， 3， 等项的绝对值就会更小，因此在精确度允许的范围之内可以忽略不计因此可以使用近似计算公式 (1)nx在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍举一反三：【变式】0.991 5 精确到 0.01 的近似值是 奎 屯王 新 敞新 疆【答案】0.991 5=(1-0.009)5= 96.0.C150
