1、1第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1理解命题的概念2了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的含义1命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3充分条件与必要条件(1)若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件(2)若 pq，则 p 与 q 互
2、为充要条件(3)若 p/ q，且 q/ p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件1一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论2 “p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同 “p 的一个充分不必要条件是 q”等价于“q 是 p 的充分不必2要条件” ，显然这与“p 是 q 的充分不必要条件”是截然不同的1(2013福建高考)已知集合 A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C
3、充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 当 a3 时，A 1,3，AB；反之，当 AB 时，a2 或 3，所以“a3”是“AB”的充分而不必要条件2命题“若 x2y 2，则 xy”的逆否命题是( )A “若 xy，则 x2y 2” B “若 xy，则 x2y 2”C “若 xy ，则 x2y 2” D “若 xy，则 x2y 2”解析：选 C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若 x2y 2，则xy”的逆否命题是“若 x y，则 x2y 2”3(教材习题改编)命题“如果 b24ac0，则方程 ax2bxc0(a0) 有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题
4、的个数为( )A0 B1 C 2 D3解析：选 D 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实根，则 b24ac0” ，为真命题，则它的否命题也为真4命题“若 f(x)是奇函数，则 f(x)是奇函数”的否命题是 ( )A若 f(x)是偶函数，则 f(x) 是偶函数B若 f(x)不是奇函数，则 f(x )不是奇函数C若 f(x)是奇函数，则 f(x)是奇函数D若 f(x) 不是奇函数，则 f(x)不是奇函数解析：选 B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若 f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是 B 选项5下面四个条件中，使 ab 成
5、立的充分而不必要的条件是 ( )Aab1 Bab1 Ca 2b 2 Da 3b 3解析：选 A 由 ab1，且 b1b，得 ab；反之不成立.3考点一 四种命题的关系 例 1 (1)命题“若 x1，则 x0”的否命题是( )A若 x1，则 x0 B若 x1，则 x0C若 x1，则 x0 D若 x1，则 x0(2)命题“若 x，y 都是偶数，则 xy 也是偶数”的逆否命题是( )A若 xy 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数B若 xy 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数C若 xy 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数D若 xy 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数自主解答 (1)因为“x1”的否
6、定为“x1” ， “x0” 的否定为“x0” ，所以命题“若 x1，则 x0”的否命题为：“若 x1，则 x0” (2)由于“x，y 都是偶数”的否定表达是“x，y 不都是偶数” ， “xy 是偶数”的否定表达是“xy 不是偶数” ，故原命题的逆否命题为“若 x y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数” 答案 (1)C (2)C【互动探究】试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性解：逆命题：若 xy 是偶数，则 x，y 都是偶数是假命题否命题：若 x，y 不都是偶数，则 xy 不是偶数是假命题 【方法规律】判断四种命题间关系的方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题
7、的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用1命题 p：“若 ab，则 ab2 012 且 ab”的逆否命题是 ( )A若 ab2 012 且 a b，则 ab4B若 ab2 012 且 ab ，则 abC若 ab2 012 或 ab ，则 abD若 ab2 012 或 a b，则 ab解析：选 C “且”的否定是 “或” ，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若ab2 012 或 ab，则 ab” 2下列命题中为真命题的是( )A命题“若 xy，则 x
8、|y|”的逆命题B命题“若 x1，则 x21”的否命题C命题“若 x1，则 x2x20”的否命题D命题“若 x20，则 x1”的逆否命题解析：选 A A 中逆命题为“若 x| y|，则 xy ”是真命题；B 中否命题为“若 x1，则 x21”是假命题；C 中否命题为“若 x1，则 x2x20”是假命题；D 中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题考点二 命题的真假判断 例 2 (1)下列命题是真命题的是( )A若 ，则 xy1x 1yB若 x21，则 x1C若 xy ，则 x yD若 xy，则 x2y 2(2)(2014济南模拟)在空间中，给出下列四个命题：过一点有且只有一个平面与已知直线垂
9、直；若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线其中正确的是( )A B C D自主解答 (1)取 x1 排除 B；取 xy1 排除 C；取 x2，y1 排除 D，5故选 A.(2)对于，由线面垂直的判定可知正确；对于，若点在平面的两侧，则过这两点的直线可能与该平面相交，故错误；对于，两条相交直线在同一平面内的射影可以为一条直线，故错误；对于，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条与交线垂直的直线，故正确综上可知，选 D.答案
10、(1)A (2)D【方法规律】命题的真假判断方法(1)给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可(2)由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假给出下列命题：函数 ysin(x k )(kR)不可能是偶函数；已知数列a n的前 n 项和 Sna n1(aR，a0)，则数列 an一定是等比数列；若函数 f(x)的定义域是 R，且满足 f(x)f (x2) 3，则 f(x)是以 4 为周期的周期函数；过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交其中所有正确的命题有_( 填正确命题的序号) 解析：
11、当 k 时，y sin(xk)就是偶函数，故错；当 a1 时，S n0，则 an12的各项都为零，不是等比数列，故错；由 f(x)f(x 2)3，则 f(x2)f(x 4)3，相减得 f(x)f(x 4)0，即 f(x)f (x4)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数， 正确；过两条异面直线外一点，有时没有一条直线能与两条异面直线都相交，故错综上所述，正确的命题只有.答案：6高频考点 考点三充 要 条 件 1充分条件、必要条件是每年高考的必考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于容易题2高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成
12、立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题例 3 (1)(2013 北京高考) “ ”是“曲线 ysin(2x )过坐标原点”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2012四川高考)设 a、b 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件a|a| b|b|是( )Aab Ba bCa2b Da b 且|a|b|(3)给出下列命题：“数列a n为等比数列”是“数列a nan1 为等比数列”的充分不必要条件；“a2”是“函数 f(x)|xa|在区间2 ，)上为增函数 ”的充要条件；“m3”是“直线(m3)x
13、my20 与直线 mx6y50 互相垂直”的充要条件；设 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 所对的边，若 a1，b ，则3“A30”是“B60”的必要不充分条件其中真命题的序号是_自主解答 (1)当 时，ysin(2x) sin 2x，则曲线 ysin 2x 过坐标原点，所以“ ”“曲线 ysin(2 x)过坐标原点” ；当 2 时，ysin(2x 2)sin 2x，则曲线 ysin 2x 过坐标原点，所以“ ”/“曲线 ysin(2x )过坐标原点” ，所以“”是“曲线 ysin(2x )过坐标原点”的充分而不必要条件(2) ， 分别是与 a，b 同方向的单位向量，由 ，得 a
14、 与 b 的方向相同而 aba|a| b|b| a|a| b|b|7时，a 与 b 的方向还可能相反故选 C.(3)对于，当数列a n为等比数列时，易知数列 anan1 是等比数列，但当数列 anan1 为等比数列时，数列a n未必是等比数列，如数列 1,3,2,6,4,12,8 显然不是等比数列，而相应的数列 3,6,12,24,48,96 是等比数列，因此正确；对于，当 a2 时，函数 f(x)|xa|在区间2，)上是增函数，因此不正确；对于，当 m3 时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有 m3，也可能 m0.因此不正确；对于，由题意得 ，若 B60，则 sin A
15、 ，注意到 ba，故 A30，反之，当 A30ba sin Bsin A 3 12时，有 sin B ，由于 ba，所以 B60 或 B120，因此正确综上所述，真命题32的序号是.答案 (1)A (2)C (3)充要条件问题的常见类型及解题策略(1)判断指定条件与结论之间的关系解决此类问题应分三步：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推结论，从结论推条件；确定条件和结论是什么关系(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性(3)充要条件与命题真假性的交汇问题依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可
16、1(2014西安模拟)如果对于任意实数 x， x表示不超过 x 的最大整数，那么“x y”是“| x y|1 成立 ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 若x y，则 |xy| 1；反之，若|xy| 1，如取 x1.1，y0.9，则x 8y，即“xy”是“| xy| 1 成立”的充分不必要条件2已知 p： 0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的1x 1取值范围是( )A(2，1 B2，1 C 3,1 D2，)解析：选 A 不等式 0，解得 x2 或 x0 可以化为 (x1)(x a)0，当a1 时，解得 x1 或 x1 时，不
17、等式(x1)(xa)0 的解集是 (，1) (a，)，此时a1，故1sin x 1sin xxsin x1a，即 a 时，不等式的解为 1a 时，由x |1a xax|3x1，得Error!解得 a1；12 12当 a 时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；12当 a 时，由x |ax1a x|3x1，得Error!解得 0a .12 12综上，a 的取值范围是0,1答案 0,1点评 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假.p、q 之间的关系 和 之间的关系pqp 是 q 的充分不必要条件 是 的必要不充分条件p 是 q 的必要不充分条件 是 的充分不必要
18、条件p 是 q 的充要条件 是 的充要条件pqp 是 q 的既不充分也不必要条件 是 的既不充分也不必要条件全盘巩固1 “若 b24ac0，则 ax2bx c0 没有实根” ，其否命题是 ( )A若 b24ac0，则 ax2bxc0 没有实根B若 b24ac 0，则 ax2bxc0 有实根C若 b24ac 0，则 ax2bxc0 有实根12D若 b24ac0，则 ax2bxc0 没有实根解析：选 C 由原命题与否命题的关系可知， “若 b24ac0，则 ax2bxc0 没有实根”的否命题是“若 b24ac0，则 ax2bx c0 有实根” 2f(x)，g(x) 是定义在 R 上的函数，h(x)
19、 f (x)g(x)，则“f(x )，g(x) 均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B 因为 f(x)，g(x) 均为偶函数，可推出 h(x)为偶函数，反之，则不成立3(2014黄冈模拟)与命题“ 若 a，b，c 成等比数列，则 b2ac”等价的命题是( )A若 a，b，c 成等比数列，则 b2acB若 a，b，c 不成等比数列，则 b2acC若 b2ac，则 a，b，c 成等比数列D若 b2ac，则 a，b，c 不成等比数列解析：选 D 因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若 a，b，c 成等比数列，
20、则 b2ac” 等价的命题是“若 b2ac，则 a，b，c 不成等比数列 ”4设 a0 且 a1，则“函数 f(x)a x 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)(2 a)x 3 在R 上是增函数”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A “函数 f(x)a x 在 R 上是减函数”的充要条件是 p：0a1.因为 g(x)3(2 a)x2，而 x20，所以 “函数 g(x)(2a) x3 在 R 上是增函数 ”的充要条件是2a0，即 a2.又因为 a0 且 a1，所以“函数 g(x)(2a)x 3 在 R 上是增函数”的充要条件是 q：0a2
21、 且 a1.显然 pq，但 q/ p，所以 p 是 q 的充分不必要条件，即“函数 f(x)a x 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)(2 a)x 3 在 R 上是增函数”的充分不必要条件5(2014南昌模拟)下列选项中正确的是 ( )A若 x0 且 x1，则 ln x 21ln xB在数列a n中， “|an1 |a n”是“数列a n为递增数列”的必要不充分条件13C命题“所有素数都是奇数 ”的否定为“所有素数都是偶数”D若命题 p 为真命题，则其否命题为假命题解析：选 B 当 0x 1 时，ln x0，此时 ln x 2，A 错；当|a n1 |a n 时，1ln xan不一定是递增
22、数列，但若 an是递增数列，则必有 ana n1 |a n1 |，B 对；全称命题的否定为特称命题，C 错；若命题 p 为真命题，其否命题可能为真命题，也可能为假命题，D 错6已知 p： 1，q：(xa)(xa1)0.若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数2x 1a 的取值范围是( )A. B. C (，0) D(，0) 0，12 (0，12) 12， ) (12， )解析：选 A 令 Ax | 1 ，得 AError!，令 B x|(xa)(xa1) 0，得2x 1B x|axa1，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 AB，需Error!0a .127在命题 p 的四种形式(原命题、逆命
23、题、否命题、逆否命题) 中，真命题的个数记为f(p)，已知命题 p：“若两条直线 l1：a 1xb 1yc 10，l 2：a 2xb 2yc 20 平行，则a1b2a 2b10” 那么 f(p)_.解析：原命题 p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题，而其逆命题是：若a1b2a 2b10，则两条直线 l1：a 1xb 1yc 10 与 l2：a 2xb 2yc 20 平行，这是假命题，因为当 a1b2a 2b10 时，还有可能 l1 与 l2 重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故 f(p)2.答案：28下列四个命题：“若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；“若 x2x60，
24、则 x2 ”的否命题；在ABC 中， “A30”是“sin A ”的充分不必要条件；12“函数 f(x)tan(x )为奇函数”的充要条件是“k(kZ)” 其中真命题的序号是_( 把真命题的序号都填上) 解析：原命题的逆命题为：“若 x，y 互为相反数，则 xy0” ，是真命题；“若 x2x60，则 x2” 的否命题是“若 x2x6 0，则 x2” ，也是真命题；在14ABC 中， “A 30”是“sin A ”的必要不充分条件，是假命题；“函数 f(x)tan(x )为12奇函数”的充要条件是“ (kZ)”，是假命题k2答案：9已知 ：x a， ：|x1|1.若 是 的必要不充分条件，则实数
25、 a 的取值范围为_解析：xa ，可看作集合 Ax| xa ，由| x1|1，得 0x2， 可看作集合B x|0x2又 是 的必要不充分条件，B A， a0.答案：(，010已知函数 f(x)是(，) 上的增函数，a，bR ，对命题“若 ab0，则 f(a)f(b)f( a) f(b)” (1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论解：(1)否命题：已知函数 f(x)在( ，)上是增函数， a，bR ，若 ab0，则f(a) f(b)f(a)f(b) 该命题是真命题，证明如下：a b0， ab，ba.又f (x)在(，) 上是增函数f(a)f(b
26、) ，f (b)f(a )，f (a)f(b)f(a)f (b)，否命题为真命题(2)逆否命题：已知函数 f(x)在( ，)上是增函数， a，bR ，若 f(a)f(b)f(a)f(b )，则 ab0.真命题，可证明原命题为真来证明它a b0， ab，ba，f (x)在(，) 上是增函数，f(a)f( b)，f(b)f(a)， f(a)f (b)f (a)f(b) ，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题11已知集合 AError!，Bx|x m 21若“xA”是“xB”的充分条件，求实数 m 的取值范围解：yx 2 x1 2 ，x ， y 2，AError!.32 (x 34) 716 34
27、，2 71615由 xm 21，得 x1m 2，Bx|x1m 2 “xA”是“xB”的充分条件，AB，1m 2 ，解得 m 或 m ，716 34 34故实数 m 的取值范围是 .( ， 34 34， )12已知两个关于 x 的一元二次方程 mx24x40 和 x24mx4m 24m 50，求两方程的根都是整数的充要条件解： mx24x40 是一元二次方程， m0.又另一方程为 x24mx4m 24m50，且两方程都要有实根，Error!解得 m . 54，1两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，Error!m 为 4 的约数又m ，m 1 或 1. 54，1当 m1 时，第一个方程 x
28、24x40 的根为非整数；而当 m1 时，两方程的根均为整数， 两方程的根均为整数的充要条件是 m1.冲击名校1对于函数 yf( x)，x R， “y| f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“yf(x) 是奇函数”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B y |f(x )|的图象关于 y 轴对称，但是 yf(x)不一定为奇函数，如取函数 f(x)x 2，则函数 y| x2|的图象关于 y 轴对称，但函数 f(x)x 2 是偶函数不是奇函数，即“y| f(x)|的图象关于 y 轴对称”/ “yf (x)是奇函数” ；若 yf(x) 是奇函数，图
29、象关于原点对称，所以 y| f(x)|的图象关于 y 轴对称，即“yf (x)是奇函数”“y| f(x)|的图象关于y 轴对称” ，故应选 B.2已知下列各组命题，其中 p 是 q 的充分必要条件的是( )Ap：m2 或 m6；q：yx 2mxm 3 有两个不同的零点Bp： 1；q：y f(x)是偶函数f xfxCp：cos cos ；q：tan tan 16Dp：AB A；q：AU， BU， UB UA解析：选 D 对于 A，由 y x2mx m 3 有两个不同的零点，可得 m 24( m3)0，从而可得 m2 或 m6.所以 p 是 q 的必要不充分条件；对于 B，由 1f(x )f (x
30、)yf (x)是偶函数，但由 yf(x)是偶函数不能推出f xfx1，例如函数 f(x)0，所以 p 是 q 的充分不必要条件；f xfx对于 C，当 cos cos 0 时，不存在 tan tan ，反之也不成立，所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件；对于 D，由 ABA ，知 AB，所以 UB UA；反之，由 UB UA，知 AB，即 ABA.所以 pq.综上所述，p 是 q 的充分必要条件的是 D.高频滚动1已知全集 UR，集合 Ax|x 23x 40 ，Bx|2 x8，那么集合( UA)B( )A x|3x4 B x|x4Cx|3x4 D x|3x4解析：选 C Ax |x23x4
31、0 x|x1 或 x4，所以 UAx|1x4，又B x|2x8 x |x3，所以 (UA)Bx|3x 4 2对于任意的两个正数 m， n，定义运算：当 m，n 都为偶数或都为奇数时，mn ；当 m，n 为一奇一偶时，mn .设集合 A(a，b)|ab6，a，bN *，m n2 mn则集合 A 中的元素个数为_解析：(1)当 a，b 都为偶数或都为奇数时， 6a b12，即a b22104866111395712，故符合题意的点(a，b) 有 25111个(2)当 a，b 为一奇一偶时， 6ab36，即 136 3124936，故符合题ab意的点( a，b) 有 236 个综上可知，集合 A 中的元素共有 17 个17答案：17
