1、第 1 页（共 12 页）C BAl3l2 l1立体几何之点线面之间的位置关系（一）1、公理（1）公理 1：对直线 a 和平面 ，若点 A、Ba , A、B，则 （2）公理 2：若两个平面 、 有一个公共点 P，则 、 有且只有一条过点 P 的公共直线 a（3）公理 3： 不共线的三点可确定一个平面推论： 一条直线和其外一点可确定一个平面 两条相交直线可确定一个平面 两条平行直线可确定一个平面（4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面3、异面直线所成角 的范
2、围是 0 090 0练习1、已知直线 、 和 两两相交，且三线不共点.1l23l求证：直线 、 和 在同一平面上.2、三个平面将空间分成 k 个部分,求 k 的可能取值.分析: 可以根据三个平面的位置情况分类讨论，按条件可将三个平面位置情况分为 5 种:（1）三个平面相互平行（2）两个平面相互平行且与第三个平面相交（3）三个平面两两相交且交线重合空 间 图 形 的 关 系 空 间 基 本 关 系 与 公 理 平 行 关 系 垂 直 关 系 公 理 点 、 线 、 面 的 位 置 关 系 判 定 性 质 应 用 应 用 性 质 判 定 第 2 页（共 12 页）（4）三个平面两两相交且交线平行（
3、5）三个平面两两相交且交线共3、如图所示，O 1是正方体 ABCDA1B1C1D1的上底面的中心，G 是对角线 A1C 和截面 B1D1A 的交点，求证：O 1、G、A 三点共线。4、已知棱长为 a 的正方体 中，M、N 分别为 CD、AD 中点。求证：四边形 是梯形。5、如图， 是平面 外的一点 分别是 的重ABCD,GH,ABCD心，求证： /GH6、如图，已知不共面的直线 相交于 点， 是直线 上的两点，,abcO,MPa分别是 上的一点 奎 屯王 新 敞新 疆,NQ,bc求证： 和 是异面直线 奎 屯王 新 敞新 疆MP7、已知正方体 ABCDA 1B1C1D1的棱长为 a，则棱 A1
4、B1所在直线与面对角线 BC1所在直线间的距离是 NMHG DCBAcbaQPNMO A1 B1 C1D1D CBA第 3 页（共 12 页）立体几何之点线面之间的位置关系（二）直线与平面平行、平面与平面平行1、 直线与平面的位置关系：平行、相交、在平面内2、 直线和平面平行的判定及性质（1） 判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （简述为线线平行 线面平行）（2） 性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（简述为线面平行 线线平行）3、 两个平面的位置关系：平行、相交4、 两个平面平行的判定与性
5、质（1） 判定 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（2） 性质 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线公垂线夹在平行平面间的部分叫做这两个平面的公垂线段两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离练习1、 如图，在三棱锥 P-ABC 中，点 、D 分别是 AC、PC 的中点，求证： OD/平面 PAB DO CBAP2、 如图在四棱锥 P-ABCD 中，M、N 分别是 AB，PC 的中点，若 ABCD 是平行四边形，求证：MN/平面 PAD jE NMD CBAP
6、3、如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面 A1BD/平面 CB1D1第 4 页（共 12 页）D1 C1B1A1 DCBA 111111 ,N,:/ABCABMABMN4、 如 图 在 直 三 棱 柱 中 ， 、 分 别 是 的 中 点 。求 证 平 面 平 面NMC1B1A1CBA 1 1:/DAMNPCBDMP5、 在 正 方 体 中 ， 、 、 分 别 是 、 、 的 中 点 。求 证 平 面 平 面PMND1 C1B1A1D CBA6、在正方形 中，已知正方体的棱长为 ，M、N 分别在其对角线 AD1与 DB 上，若 AM=BN=x。（1）求证：MN/
7、平面 CDD1C1；（2）设 MN=y，求 y=f(x)的表达式；（3）求 MN 的最小值，并求此时 x 的值；（4）求 AD1与 BD 所成的角。第 5 页（共 12 页）立体几何之点线面之间的位置关系（三）直线与平面垂直、平面与平面垂直1、线面垂直的定义如果直线 l 和平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 垂直，记作l。2、线面垂直的判定及性质（1）判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。（2）性质 垂直于同一平面的两条直线平行。3、线面角直线和平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成
8、的角。特别地，如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 0的角，4、二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，如图所示，即为一个二面角 l。二面角的取值范围是 。 5、 面面垂直的判定及性质（1） 判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直” 。（2） 性质 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。练习1、在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求证： A1C平面 BC1D.A1
9、B1 C1D1ACBD第 6 页（共 12 页）2、12. 如图, 在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，AC3，BC4，AB=5,AA 14，点 D 是 AB 的中点，（I）求证：ACBC 1；（II）求证：AC 1/平面 CDB1；（III）求异面直线 AC 1与 B 1C 所成角的余弦值3、如图所示，直三棱柱 ABC-A1B1C1，底面 ABC 中，CA=CB=1,BCA=90 。 ,棱 AA1=2,M,N 分别是A1B1,A1A 的中点。（1）求 BN 的长；（2）求 BA1 ，B 1C 夹角的余弦值；（3）求证 A1BC 1M4、已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，ABDC，底
10、面 ABCD，且PADB,90PA=AD=DC= =1，M 是 PB 的中点。12证明：面 PAD面 PCD5、已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 是菱形， 平面 ABCD，PD=AD，点PDAB,60E 为 AB 中点，点 F 为 PD 中点.（1）证明平面 PED平面 PAB； （2）求二面角 PABF的平面角的余弦值. ABCA1B1C1NM第 7 页（共 12 页）例 1. 如图所示，在斜边为 AB 的 RtABC 中，过 A 作 PA平面 ABC，AMPB 于 M，ANPC于 N。（1）求证：BC面 PAC；（2）求证：PB面 AMN；（3）若 PA=AB=4，设BPC=，试用
11、tan 表示AMN 的面积，当 tan 取何值时，AMN 的面积最大？最大面积是多少？【空间中的平行问题】（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。（线线平行线面平行）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （线面平行线线平行）（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面面平行）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。 （线线平行面面平行）垂
12、直于同一条直线的两个平面平行两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 （面面平行线面平行）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （面面平行线线平行）【空间中的垂直问题】（1）线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面第 8 页（共 12 页）垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角） ，就说这两个平面垂直。（2）垂直关
13、系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。第 9 页（共 12 页）立体几何空间几何体部分主要考察三视图、几何体的表面积与体积的计算等，其中三视图是高考考察的热点，每年都有考察，难度逐渐加大。点、线、面之间的位置关系主要包括点线面之间的位置关系及线面、面面平行的判定与
14、性质和线面、面面垂直的判定和性质高考考察本部分内容比较稳定，通常是一大一小，难度中等，主要考察求角的问题及线线、线面、面面的平行与垂直等。本章知识结构：第 10 页（共 12 页）重点知识回顾1、空间几何体的结构特征（1 ）棱柱：有两个面相互平行，其余各面是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共定点的三角形棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥（2）圆柱、圆锥、圆台、球2、空间几何体的侧面积、表面积棱柱、圆柱、圆锥、圆台、球圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ）A B C DS 24S323、空间
15、几何体的体积棱柱、棱锥、圆锥、球将棱长为 1 的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）A B C D23326344.空间几何体的三视图和直观图（2010 陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A）2 （B）1（C） （D）33（2010 安徽文数） （9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A）372 （B ）360 （C ）292 （D）2805.公理公理 1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理 2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只
16、有一条过该点的公共直线6.线线位置关系（1 ）空间直线位置分三种：平行、相交、异面（2 ）异面直线判定定理：不同在任意一个平面内的两条直线是一面直线;取值范围（3 ）平行公理：平行于同一直线的两条直线平行（4 ）等角定理：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补 第 11 页（共 12 页）7. 直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）空间直线与平面位置分三种：在平面内、相交、平行（2 ）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则认为这条直线平行于这个平面（3 ）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面
17、的交线和该直线平行（4 ）直线与平面垂直判定定理：一条直线和平面内的两条相交直线垂直 （5 ）直线和平面垂直性质定理：垂直于同一平面的两条直线相互平行设 是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题,若 ，则 ； 若 l 上两点到 的距离相等，则 ；,/l若 若则,/l .,/,/ l则且其中正确的命题是 （ ）A B C D（2010 浙江理数） （6）设 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是lm（A）若 ， ，则 （B）若 ， ，则lllm/（C ）若 ， ，则 （D）若 ， ，则/l/l/8. 平面平行与平面垂直.（1）二面角的相关概念：a.二面角：从一条直线出发的两个
18、半平面所组成的图形 b.在二面角的棱上任取一点，以此点为垂足在两个半平面内分别做射线垂直于棱，所组成的角叫平面角；如果两个平面所称的二面角为直二面角，则两平面垂直（2 ）空间两个平面的位置关系：相交或平行（3 ）平面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行（4 ）两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则两交线平行（5）两个平面垂直性质判定：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直（6 ）两个平面垂直性质定理：如果连个平面垂直，那么一个平面内垂直于他们交线的直线 与另一个平面垂直(2009 年广东卷文)给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A和 B和 C和 D和 4.（2009 浙江卷文）设 ,是两个不同的平面， l是一条直线，以下命题正确的是（ 第 12 页（共 12 页）A若 ,l，则 l B若 /,/l，则 l C若 /，则 D若 ，则
