1、立体几何高考试题1.(2014全国新课标 I，19，12分)如图，三棱柱 中，侧面1CBA为菱形， 的中点为 ，且 平面 .CB1B1OA1（1）证明： ;1A（2）若 , 求三棱柱 的高.,1,601BC 1CBA2.(2014 全国新课标，18，12 分)如图，四棱锥 中，底面PABCD为矩形， 平面 ， 是 的重点.ABCDPABCDE（1）证明： /平面 ；（2）设 ，三棱锥 的体积 ，求 到平面1,334V的距离.PBC3.(2014 全国大纲，19，12 分) 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 A1 在平面ABC 内的射影 D 在 AC 上 ，ACB=90 ，BC=1，A
2、C=CC 1=2.(1)证明：AC 1A 1B;(2)设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 ，求二面角 A1-AB-C 的大小.34.(2014 北京，17，14 分)如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面，1ABC， ，BC=1, 、 分别为 、 的中点.ABC12AEF（1）求证：平面 平面 ；B1（2）求证： 平面 ；1/F（3）求三棱锥 的体积.EACC1B1A1FECBA5.(2014 山东，18，12 分) 如图，四棱锥 中，PABCD分别为线段 的中点.1,2APCDABEF平 面 ,PAD（）求证： ；APBEF 平 面（II）求证： .C平 面6.(2014 江苏，16
3、，14 分)如图，在三棱锥 ABCP中， D，E，F 分别为棱ABCP,的中点 .已知 ACP, ,658DF求证: (1)直线 /平面 DEF；(2)平面 B平面 A.16PDCEFBA7.(2014 浙江，20，12 分)如图，在四棱锥 ABCDE 中，平面 平面ABC； ， ， ， 。BCDE90BED2C1DEB2（1）证明： 平面 ；A（2）求直线 与平面 ABC 所成的角的正切值。8.(2014 福建，19，12 分)如图，三棱锥 中，ABCD.,ABCDB平 面（）求证： 平面 ；（）若 ， 为 中点，求三棱锥 的体积.1MAMBC9.(2014 安徽，19，13 分)如图，四棱
4、锥 的底面边长为 8 的正方形，ABCDP四条侧棱长均为 .点 分别是棱 上共面的四点，平172HFEG, P,面 平面 ， 平面 .GEFHABCD/(1)证明： ;/(2)若 ，求四边形 的面积.2EF10.(2014 辽宁，19，12 分) 如图， 和 所在平面互相垂直，且ABCD， ，E、F、G 分别为 AC、DC、AD 的2ABCD012D中点.（）求证： 平面 BCG；EF（）求三棱锥 D-BCG 的体积.附：椎体的体积公式 ，其中 S 为底面面积，h 为高.13V G FEB CDAPFEDC B A11 (2014 天津，17，13 分) 如图，四棱锥 的底面是平行四边形，PA
5、BCD-， ， ， 分别是棱 ， 的中点.2BAD=A=5PD=,EFP（）证明 平面 ；/EFB（）若二面角 为 ，-60（）证明 平面 平面 ；CA（）求直线 与平面 所成角的正弦值.P12 (2014 湖南，18，12 分)如图 3，已知二面角 的大小为 ，MN60菱形 在面 内， 两点在棱 上， ， 是 的中点，AB,B60BADEAB面 ，垂足为 .O（1）证明： 平面 ；ODE（2）求异面直线 与 所成角的余弦值.C13 (2014 湖北，20，12 分)如图 1-5，在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，E，F，P ，Q ，M，N 分别是棱 AB，AD，DD 1，BB 1，
6、A 1B1，A 1D1 的中点求证：(1)直线 BC1 平面 EFPQ；(2)直线 AC1 平面 PQMN.图 1-514 (2014 江西，19，12 分) 三棱柱 中， .1CBA111,BA（1）求证： ；11CA（2）若 ，问 为何值时，三棱柱 体7,3,2B1 1C积最大，并求此最大值。15 (2014 陕西，17，12 分)四面体 及其三视图如图所示，平行于棱ABCD的平面分别交四面体的棱BCAD,于点 .A,HGFE,（1）求四面体 的体积；ABCD（2）证明：四边形 是矩形.EFGH16 (2014 重庆，20，12 分)如题（20）图，四棱锥 PABCD中，底面是以O为中心的
7、菱形， PO底面 AB，2,3， M为 上一点，且12BM.（1）证明： C平面 M；（2）若 PA，求四棱锥 PAB的体积.17 (2014 四川，18，12 分) 在如图所示的多面体中，四边形 和1AB都为矩形。1AC（）若 ，证明：直线 平面 ；BBC1A（）设 ， 分别是线段 ， 的中点，在线段 上是DE1否存在一点 ，使直线 平面 ？请证明你的结论。M/M18 (2014 广东，18，13 分)如图 2，四边形 为矩形， 平面 ，ABCDPABCD,作如图 3 折叠，折痕 ，其中点 分别在线段1,2ABCPEF ,EF上，沿 折叠后点 叠在线段 上的点记为 ，并且 .DEFPM（1）
8、证明： 平面 ;MD（2）求三棱锥 的体积.C参考答案：【1】(2014 全国新课标 I，19，12 分)解：（I） 连接 ，则 O 为 与 的交点.因为侧面 为菱形，所以1BC11BC1BCDEB1 C1A CBA1CE FPBADPADCBFEM11.BC又 平面 ，所以 ，故AO1BCAO平面 ABO.1由于 平面 ABO，故 6B1.分（II） 作 ，垂足为 D，连接 AD.作 ，OCOHAD垂足为 H. 由于 ， ，故 平面 AOD，所以BACB.又 ，所以 平面 ABC.H因为 ，所以 为等边三角形，又 BC=1，1601可得 .由于 ，所以34OD1ACB1.2OABC由 ，且
9、，得H 74D21.4H又 O 为 的中点，所以点 到平面 ABC 的距离为 故三棱柱1BC1B的距离为 .1AB27【2】(2014 全国新课标，18，12 分)解：（I）设 BD 与 AC 的交点为 O，连结 EO.因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点，又E 为 PD 的中点，所以 EOPB.EO 平面 AEC，PB 平面 AEC,所以 PB平面 AEC.（）V .1366PABDA由 ，可得 .342作 交 于 。AHPB由题设知 平面 ，所以 ，故 平面 。CABCAHPBC又 .31所以 A 到平面 PBC 的距离为 .【3】(2014 全国大纲，19，12 分)解法一
10、：（1）A 1D平面 ABC, A1D 平面 AA1C1C,故平面 AA1C1C平面ABC,又 BCAC，所以 BC平面 AA1C1C，连结 A1C，因为侧面 AA1C1C 是棱形，所以 AC1A 1C,由三垂线定理的 AC1A 1B.(2) BC平面 AA1C1C，BC 平面 BCC1B1,故平面 AA1C1C平面 BCC1B1,作 A1EC 1C,E 为垂足，则 A1E平面 BCC1B1,又直线 A A1平面 BCC1B1，因而 A1E 为直线 A A1 与平面 BCC1B1 间的距离，A 1E= ，因为 A1C 为ACC 13的平分线，故 A1D=A1E= ,3作 DFAB ， F 为垂
11、足，连结 A1F,由三垂线定理得 A1FAB ，故A 1FD 为二面角 A1-AB-C 的平面角，由 AD= ,得 D 为 AC 的中点，DF=21,tanA 1FD= ,所以二面角 A1-AB-C 的大小为 arctan52CB5DF.15解法二：以 C 为坐标原点，射线 CA 为 x 轴的正半轴，以 CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz，由题设知 A1D 与 z 轴平行，z 轴在平面AA1C1C 内.（1）设 A1（a ，0，c ） ，由题设有 a2，A（2,0,0）B（0,1,0） ，则 (-AF2，1，0),， ，由1(2,0)(2,0)ACAac111(4,0
12、)(,)ACacBAac得 ，即 ，于是1224ac,所以 .B224c1B（2）设平面 BCC1B1 的法向量 ，则 ， ,即(,)mxyzC1,mB，因 ，故 y=0，且（a-2 ）0,mC10,(2,0)CAacx-cz=0，令 x=c，则 z=2-a， ，点 A 到平面 BCC1B1 的距离为(2)c，又依题设，点 A 到平面22cos, ()AAcmaBCC1B1 的距离为 ，所以 c= .代入得 a=3（舍去）或 a=1.于是33，(,0)设平面 ABA1的法向量 ，则 ,即 .(,)npqr1,nAB10,nAB且-2 p+q=0，令 p= ，则 q=2 ，r=1， ，又3pr3
13、(32)为平面 ABC 的法向量，故 cos ，所以二面角 A1-(0,1) ,4pnAB-C 的大小为 arccos 14【4】(2014 北京，17，14 分)解：（I）在三棱柱 中， 底面 ABC，所以 AB，1ABC1B1B又因为 ABBC ，所以 AB平面 ，所以平面 平面 .1BCABE1C（II）取 AB 中点 G，连结 EG，FG，因为 E，F 分别是 、 的中点，所以 FGAC，且 FG= AC，1AC2因为 AC ，且 AC= ，所以 FG ，且 FG= ，11EC1所以四边形 为平行四边形，所以 EG，1 /F又因为 EG 平面 ABE， 平面 ABE，1C所以 平面 .
14、1/CFABE（III ）因为 =AC=2，BC=1 ，ABBC，所以 AB= ，1 23ACB所以三棱锥 的体积为： = = .13ABCVS13【5】(2014 山东，18，12 分)解：（I）设 ，连结 OF，EC，ACBEO由于 E 为 AD 的中点，1,/2ABCDABC所以 ,/,因此四边形 ABCE 为菱形，所以 O 为 AC 的中点，又 F 为 PC 的中点，因此在 中，可得 .PAC/POF又 平面 BEF， 平面 BEF，所以 平面 .BE(I)由题意知， ,/,DC所以四边形 为平行四边形，BCDE因此 ./又 平面 PCD，AP所以 ，因此 .APB因为四边形 ABCE
15、 为菱形，所以 .BEC又 ，AP ，AC 平面 PAC，AP所以 平面 .【6】(2014 江苏，16，14 分)【解析】 （1）D,E,分别为 PC,AC,的中点DE PA又DE 平面 PAC，PA 平面 PAC直线 PA平面 DEF（2）E,F 分别为棱 AC,AB 的中点，且 BC=8，由中位线知 EF=4D,E, 分别为 PC,AC,的中点，且 PA=6，由中位线知 DE=3，又DF=5DF=EF+DE=25，DE EF，又DEPA，PAEF，又PAAC，又AC EF=E，AC 平面 ABC，EF 平面 ABC，PA平面ABC，DE平面 ABC，DE 平面 BDE， 平面 BDE平面
16、 ABC【7】(2014 浙江，20，12 分)解：（1）连结 ，在直角梯形 中，由 ， 得BDBCDE1BE2CD，2C由 得 ，即 ，,A22AA又平面 平面 ，从而 平面 .BECBE（2）在直角梯形 中，由 ， 得 ，D2DBC又平面 平面 ，所以 平面 .ACA作 于 的延长线交于 ，连结 ，则 平面 ，EF/ FFA所以 是直线 与平面 所成的角.EBC在 中，由 ， ，得 ， ，BEFRt14EBF22BF在 中， ， ，得 ，ACT223C6A在 中，由 ， 得 ，EFRt6F13tanEF所以直线 与平面 所成的角的正切值是 .ABC【8】(2014 福建，19，12 分)解
17、：（1） 平面 BCD， 平面 BCD，D .ABD又 ， ，CB平面 ABD， 平面 ABD， 平面 .（2）由 平面 BCD，得 .AAD ， .1BD12BDSM 是 AD 的中点， .24ABABDS由（1）知， 平面 ABD，C三棱锥 C-ABM 的高 ，1h因此三棱锥 的体积.132AMBCAABMVS解法二：（1）同解法一.（2）由 平面 BCD 知，平面 ABD 平面 BCD，AB又平面 ABD 平面 BCD=BD，如图，过点 M 作 交 BD 于点 N.ND则 平面 BCD，且 ，MN12MNAB又 ，,CDB .12S三棱锥 的体积A.111332MBCDMBCBCDBCD
18、VVASMNS 【9】(2014 安徽，19，13 分)解：（）证：因为 BC平面 GEFH， ，且P平 面，PGEFH平 面 平 面所以 GHBC。同理可证 EFBC，因此 GHEF。（）解：连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK因为 PA=PC，O 是 AC 的中点，所以 ，同理可得PACBDPO又 ，且 AC、BD 都在底面内，所以BDAC=平 面又因为 且 ，所以 ，GEFH平 面 平 面 GEFH平 面 /GEFH平 面因为 PK平 面 平 面所以 PO GK，且 ，从而 。ABCD平 面 所以 GK 是梯形 GEFH 的高由 得8,2ABE:1:4
19、BAKD从而 ，即 K 为 OB 的中点。14KDO再由 POGK 得， ，即 G 为 PB 的中点，且12P142GHBC由已知可得 2, 683BB所以 3GK故四边形 GEFH 的面积 。4122HEFSK【10】(2014 辽宁，19，12 分)解：（）证明：由已知得 因此 又 为 中点，ABCDACDGA所以 ；同理 ；因此 平面 又 所以CGADB/EF平面 BCGEF（）在平面 内作 交 延长线于 由平面 平面BOOBC知 平面 BC又 为 中点，因此 到平面 距离 是 长度的一半在 中，GADGBDhAA0sin63O所以 01131sin232DBCGDBCVShC GFEB
20、 CDAO【11】(2014 天津，17，13 分)解：（I）)证明：如图取 PB 中点 M,连接 MF,AM.因为 F 为 PC 中点，故MF/BC 且 MF= BC.由已知有 BC/AD，BC=AD.又由于 E 为 AD 中点，因而12MF/AE 且 MF=AE，故四边形 AMFE 为平行四边形，所以 EF/AM,又 AM 平面 PAB,而 EF 平面 PAB,所以 EF/平面 PAB.（II） （i）证明：连接 PE,BE.因为 PA=PD,BA=BD,而 E 为 AD 中点，故PE AD,BE AD,所以 PEB 为二面角 P-AD-B 的平面角 .在三角形 PAD 中，由，可解得 P
21、E=2. 在三角形 ABD 中，由 ,可解得BE=1. 在三角形 PEB 中， PE=2, BE=1, ,由余弦定理，可解得60PEBPB= ，从而 ，即 BE PB,又 BC/AD,BE AD,从而 BE BC,因此390PBEBE 平面 PBC.又 BE 平面 ABCD，所以平面 PBC 平面 ABCD,（ii）连接 BF，由（i）知 BE 平面 PBC.所以 EFB 为直线 EF 与平面 PBC所成的角，由 PB= ，PA= ,AB= 得 ABP 为直角，而 MB= PB= ,可352123得 AM= ,故 EF= ,又 BE=1，故在直角三角形 EBF 中，1212所以，直线 EF 与
22、平面 PBC 所成角的正弦值为sin.1BEF 21【12】(2014 湖南，18，12 分)解：(I)如图,因为 , ,所以 ,连接 ,由题可知 是正DOABDOABABD三角形,又 是 的中点 ,所以 ,而 ,故 平面 .EEEOE(II)因为 ,所以 与 所成的角等于 与 所成的角,即 是/BCADOADOADO与 所成的角 ,由(I) 可知, 平面 ,所以 ,又 ,于是BCODABODEABDEAB是二面角 的平面角,从而 ,不妨设 ,则EMN062,易知 ,在 中, ,连接 ,在2A3Rt3sin2O中, ,所以异面直线 与 所成角的余弦值RtOD32cos4DOABCD为 .34【
23、13】(2014 湖北，20，12 分)证明：(1)连接 AD1，由 ABCD - A1B1C1D1 是正方体，知 AD1BC 1.因为 F，P 分别是 AD，DD 1 的中点，所以 FPAD 1.从而 BC1FP.而 FP平面 EFPQ，且 BC1平面 EFPQ，故直线 BC1平面 EFPQ.(2)如图，连接 AC，BD， A1C1，则 ACBD .由 CC1平面 ABCD，BD平面 ABCD，可得 CC1BD.又 ACCC1 C，所以 BD平面 ACC1A1.而 AC1平面 ACC1A1，所以 BDAC 1.因为 M，N 分别是 A1B1，A 1D1 的中点，所以 MNBD，从而 MNAC
24、 1.同理可证 PNAC 1.又 PNMNN，所以直线 AC1平面 PQMN.【14】(2014 江西，19，12 分)（1）证明：由 知 ,又 ,故 平面 即 ,1ABC11BA1B1,CA1B又 ，所以1/B.（2）解法一：设 在 中 同理1,x1RtA22114,x在 中, 22113,ACBC，所以2 211 17cos ,sin(4)3(4)3BACxxBAC 从而三棱柱 的体积为12117sin.2ABCS 1因 故当123ABCxVS22426317(),7xxx时，即 时，体积 取到最大值6427x147V3.解法二：过 作 BC 的垂线，垂足为 D，连接 AD，由 ，A 1D
25、 ,故1 1BC平面 D， ADBCABC又 ,所以 ,设 =x，在 Rt9012127ABSCAB得 1A，1AD中1 122111 21=-x7. x7-Sl=ABC ABCSBV 直，从 而 三 棱 柱 的 体 积【15】(2014 陕西，17，12 分)解：(1)由该四面体的三视图可知：3213VBDC1, 四 面 体 体 积平 面AADCBA是 矩 形 。四 边 形 平 面又 是 平 行 四 边 形四 边 形同 理 平 面， 平 面平 面， 平 面平 面）（ EFGHBCADEFHG,/,BC/ EHABCEFGBDCEFGH2【16】(2014 重庆，20，12 分)解：（）如答（
26、20）图，因 为菱形， 为菱形中心，连结 ，则ABCDOOB，因 ，故AOB3sin2sin16AB又因为 ，且 ，在 中12MOBM22cosOMBOBM2134所以 ，故22BB又 底面 ，所以 ,从而 与平面 内两条相交直线POACDPOCPOM都垂直，所以 平面,M.（）解：由（）可知， cos2cos36AB设 ，由 底面 知， 为直角三角形，故PaP223AO由 也是直角三角形，故M2234MOa连结 ，在 中,BcosABABM2121cos34由已知 ，故 为直角三角形，则PP22AM即 ，得 ， （舍去） ，即314a32a32PO此时 1ABMOBOMSSABM135228
27、所以四棱锥 的体积P115338216PABMOABVS【17】(2014 四川，18，12 分)【解析】（）111 111BCBC, BC/AAA面， 面， 为 矩 形四 边 形 为 矩 形四 边 形 =（） MCAABMGFEGDFEAGD1111/, /F2,/,/ ,面中 点 时 ，为， 当存 在 点所 以 面重 合 时 ，与 点当 点 面为 平 行 四 边 形 ， 即且 则中 点 ， 连 接，分 别 为设【18】(2014 广东，18，13 分) 00:(1):, ,. 1(2),6,3,=,2,PDPDPABCDCBMPFFFFMC CDDEF 解 证 明 平 面 平 面 平 面平 面 平 面 平 面 平 面平 面 又 平 面平 面 平 面 又 易 知 从 而 2222133,=, ,4836()(,116.338CDEMCDEFDEPSPVS 即
