1、线性代数 课 程 教 案学院、部 系、所 授课教师 课程名称 线性代数 课程学时 45 学时 实验学时 教材名称 年 月 日第 2 页，共 41 页 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 3 节授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式1 二阶与三阶行列式2 全排列及其逆序数3 阶行列式的定义n4 对换本授课单元教学目标或要求：1. 会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式。2. 知道 阶行列式的定义。n本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：行列式的定义1. 计算排列的逆序数的方法设 是 这 个自然数的任一排列，并规定由小到
2、大为标准次序。12np , n先看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ；11p1t再看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ；222最后看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ；npnpnt则此排列的逆序数为 。12tt2. 阶行列式n 1212121()12 nnntpppnnaaDa 其中 为自然数 的一个排列， 为这个排列的逆序数，求和符号是对所有排列12np , t求和。()阶行列式 中所含 个数叫做 的元素，位于第 行第 列的元素 ，叫做 的 元。2 ijijaD(,)ij3. 对角线法则：只对 2 阶和 3 阶行列式适用第 3 页，共 41 页 121221aDa12312312312
3、33132123123aa重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：(1) 和式中的任一项是取自 中不同行、不同列的 个元素的乘积。由排列知识可知， 中这样的DnD乘积共有 项。!n(2) 和式中的任一项都带有符号 ， 为排列 的逆序数，即当 是偶排列(1)t12()p 12np时，对应的项取正号；当 是奇排列时，对应的项取负号。2np综上所述， 阶行列式 恰是 中所有不同行、不同列的 个元素的乘积的代数和，其中一n半带正号，一半带负号。例：写出 4 阶行列式中含有 的项。123a解： 和 。123a4例：试判断 和 是否都是 6 阶行列式中的项。412563241526a解： 下
4、标的逆序数为 ，所以123 01201是 6 阶行列式中的项。45aa下标的逆序数为 ，所以()(34)58不是 6 阶行列式中的项。3212例：计算行列式0134D解： 012()本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出 阶行列式的定义。n通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。本授课单元思考题、讨论题、作业：1 P.26 1(1)(3)2 2(5)(6)本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版
5、）线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 2 节授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式5 行列式的性质6 行列式按行（列）展开7 克拉默法则本授课单元教学目标或要求：1 知道 阶行列式的性质。n2 知道代数余子式的定义和性质。3 会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的 阶行列式。n4 知道克拉默法则。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：1. 行列式的性质(1) 行列式 与它的转置行列式 相等。DTD(2) 互换行列式的两行（列） ，行列式变号。(3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式
6、；或者行列式kk的某一行（列）的各元素有公因子 ，则 可提到行列式记号之外。k(4) 行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。(5) 若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。(6) 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。2. 行列式的按行（列）展开(1) 把 阶行列式中 元 所在的第 行和第 列划去后所成的 阶行列式称为 元 的n(,)ijijaij1n(,)ijija余子式，记作 ；记 ，则称 为 元 的代数余子式。ijM(1)jiAijA(,)ija(2) 阶行列式等于它的任一行（
7、列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。即可以按第 行展开：i；12(1,2)iiinDan 或可以按第 列展开：j.,jjjAaA (3) 行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即，120,ijijinjaij或 .3. 克拉默法则含有 个未知元 的 个线性方程的方程组n12,nx第 5 页，共 41 页 121212nnnaxaxb 当 全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。12,nb(1) 如果方程组的系数行列式 ，那么它有唯一解： ，其中0D(1,2)iiDxn是把 中第 列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的 阶
8、行列(,)iD i式。(2) 如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式 。0(3) 如果齐次线性方程组的系数行列式 ，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零0解，那么它的系数行列式必定等于零。用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1) 方程个数等于未知元个数；(2) 系数行列式不等于零。克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.4. 一些常用的行列式(1) 上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积。即 12122121n nnnnaaDa 特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积，即 .212nnaDa类似地， .1(
9、1)2, 2,11nnnnaDaa(2) 设 ， ，则1kkka 112nnb第 6 页，共 41 页 .1112110kkknnnkaDDcb (3) 范德蒙（Vandermonde ）行列式 12212 1112(,) ()nnn ijijnnxxVx x 计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。重点和难点：行列式的计算，要注重学会利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。例：课本 P.12 例 7例 9例：课本 P.21 例 13例：课本 P.25 例 16本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合以从行列式的定
10、义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。通过大量的例题引导学生掌握如何利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。本授课单元思考题、讨论题、作业：思考题问：当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能否用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解。本授课单元思考题、讨论题、作业：5 P.26 4(1)(2)(3)，5(1)(2)，7(1)(2) (5)6 P.26 5 (4)，7 (3) (6)7 P.28 8(1)，9本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附
11、册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）第 7 页，共 41 页 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 2 节授课题目（教学章节或主题）：第二章 矩阵及其运算1 矩阵2 矩阵运算3 逆矩阵4 矩阵分块法本授课单元教学目标或要求：掌握矩阵的定义,矩阵的加减法数乘 转置矩阵求逆 矩阵的行列式分块矩阵等运算,了解矩阵多项式运算本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：本章拟分 3 次课完成,第一讲: 1 矩阵,2 矩阵的运算; 第二讲 : 3 逆矩阵;第三讲: 4 矩阵分块法第一讲: 1 矩阵,2 矩阵的运算 ; 基本内容:1 矩阵:一 矩阵的定义,
12、定义 1 由 MN 个数 组成的 行 列的数表),21;,(njmiaj mnmnmnaa 212112称为 行 列矩阵,简称 MN 矩阵,为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表n示它,记作mnmnaa 212112这 MN 个数称为菊阵 A 的元素,简称为元,数 位于矩阵 A 的第 行 列,称为矩阵 A 的(I,J) 元,以ij ij数 为(I,J)元的矩阵可简记为 或 ,MN 矩阵 A 也记着 .ija)(ijnmij nm元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵行数和列数都等于 的矩阵称为 阶矩阵或 阶方阵, 阶矩阵 A 也记作 .n n只有一行的矩阵)(2
13、1naaA称为行矩阵,又称为行向量, 行矩阵也记作 ),(21n第 8 页，共 41 页 只有一列的矩阵nbA21称为列矩阵,又称为列向量.两个矩阵的行数相等,列数也相等,称它们是同型矩阵,如果 A= ,B= 是同型矩阵,并且它们的)(ijaijb对应元素相等,即),njmibajij ,21,(那么就称矩阵 A 与矩阵 B 相等,级作A=B元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作 O,不同型的零矩阵是不同的.2 矩阵的运算一 矩阵的加法定义 2 设有两个 矩阵 A= 和 B= ,那么矩阵 A 与 B 的和记着 A+B,规定为nm)(ija)(ijb mnmmnbaba 21 22 1121两个矩阵是
14、同型矩阵时才能进行加法运算.矩阵加法满足下列运算规律(设 A,B,C 都是 矩阵):( ) A+B=B+A;i( )(A+B)+C=A+(B+C)A= 的负矩阵记为ija-A= )(ijA+(-A)=O规定矩阵的减法为A-B=A+(-B)二 矩阵的数乘定义 3 数 与矩阵 A 的乘积记作 或 ,规定为Amnmnaa 212211第 9 页，共 41 页 矩阵数乘满足下列运算规律(设 A,B 为 矩阵, 为数):nm,(1) ;)()A(2) (3) B)重点,难点:矩阵乘矩阵:让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义 ,特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵的行的原因.说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习
15、提高学生的计算准确率.三 矩阵乘矩阵定义 4 设 A=( )是一个 矩阵,B=( )是一个 矩阵,那么矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一ijasmijbns个 矩阵 C=( ),其中nmijc),21;,( 11njmi babaskjijisjijiij 把此乘积记为C=AB且有sjjiiba 2121),( ijskjijisjiji cbaba121例 4 求矩阵A= 与20134310B的乘积解 C=AB= =20134310192例 5 求矩阵A= 与 B=21463第 10 页，共 41 页 的乘积 AB 与 BA解 AB= =2146316832BA= = 0AB对于两个 阶方阵
16、A,B,若 AB=BA,称方阵 A 与 B 可交换n从上面等式可以得出结论:若 而 也不能得出 X=Y 的结论O)(YX矩阵的乘法虽不满足交换律,满足结合律和分配律(1) (AB)C=A(BC)(2) 为数)()(BAB(3) A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA对于单位矩阵 E,有nmnmnEE,即:EA=AE=A特殊矩阵:1 单位矩阵;E= 101 2 数量矩阵E 03 对角矩阵naa 0214 ;三角矩阵或naa 02211 nna 2110可以得到:)()(nEAE第 11 页，共 41 页 表明纯量矩阵跟任何矩阵可交换定义矩阵的幂为kllklkl AAA)(,121其中
17、为正整数k例 6 证明nncossiicosini证 用数学归纳法, 时显然成立,设 = 时成立,即1kkssiisii当 时,有knkkcossinicossii1 cosini= iiinikkk= )1cos()1si(等式得证.四 矩阵的转置定义 5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做 A 的转置矩阵,记作 TAA= .则mnmnaa 212112TAmnnmaa 212121A 的转置也是一种运算,满足(1) T)(2) TB(3) (4) (AB) T证明(4) 设 ,B= ,记 ,有smijaA)(nsijb)( mnijTnmij dDABcCAB)(,)(ki
18、jjic1而 的第 行为 , 的第 列为 ,因此TB),(2siib TjTjsja),(1kijskjiij bad11 ),2;,(mncjiij 有TTAB)例 7 已知第 12 页，共 41 页 ,B=2310A10347求 TB)(解 因为=AB231103471034所以10347)(T若 A 是 阶方阵,如果满足 ,即nA),2(njiaij 那么 A 称为对称矩阵.例 设列矩阵 X= 满足 ,E 是 阶单位阵, ,证明 是对Tx,21 1XnTXEH2H称矩阵,且 EHT证 )(HT2所以 H 是对称矩阵.=T2)(XE= +T4(T= += + =五 方阵的行列式定义 6 由
19、 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵 A 的行列式,记作n或A.det满足下列运算规律(A,B 为 阶方阵, 为数)n(1) T(2) n(3) ,且BA例 9 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下的矩阵ijAnnnA 212121称为 A 的伴随矩阵,试证第 13 页，共 41 页 EA证明 设 ,记 ,则)(ijaA)(ijbijjnijiij Aa21故 )(ij类似有)()(1 EAaAijijnkkji本授课单元教学手段与方法：讲授为主,练习为辅,主要让学生充分理解矩阵运算的定义,原则,从而掌握矩阵运算,并通过练习提高学生运算的准确率.本授课单元思考
20、题、讨论题、作业：P53:3.4(1),(2);(3),(4)本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点” 、 “难点” 、 “教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。第 14 页，共 41 页 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 2 节第二讲: 3 逆矩阵 基本内容: 3 逆矩阵定义 7 对于 阶矩阵 A,如果有一个 阶矩阵 B,使nnEBA则说矩阵 A 是可逆的,并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵,简称
21、逆阵.记为 1A如果 A 可逆,则 A 的逆阵是唯一的.因为: 设 B,C 都是 A 的逆阵,则有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C定理 1 若矩阵 A 可逆,则 0证 A 可逆,即有 ,使 ,故 所以 .1E1110定理 2 若 ,则矩阵 A 可逆,且01其中 为 A 的伴随矩阵.证 由例 9 可知EA所以有1按照逆矩阵的定义知 A 可逆 ,且有1当 时称 A 为奇异矩阵 ,否则称 A 为非奇异矩阵,可逆矩阵就是非奇异矩阵 .0推论 若 ,则)(EB或 1证 ,故 ,因而 存在,有10111)()( AEBA逆阵满足下列运算:(1) 若 A 可逆,则 也可逆,且 .11)(第 15
22、页，共 41 页 (2) 若 A 可逆,数 ,则 可逆,且0A11A(3) 若 A,B 为同阶矩阵且可逆 ,则 AB 也可逆,且11)(B证 ,由推论有: EAAB1)( 11)(AB(4) 若 A 可逆, 则 也可逆 ,且TTT)(1证 ,由推论有: ET)()(11 T)(1当 时,定义0, 为正整数TTA)()(1 kkA)(,10这样,当 , 为整数,有)(,重点,难点:逆矩阵的求法.定理 2 说明通过求伴随矩阵的方式,让学生掌握矩阵求逆,并告知学生下一章里还有更简单的求逆方法.例 10 求二阶矩阵 的逆阵.dcba解 , , 当 时,有Aa0Abcd1例 11 求方阵3412A的逆阵
23、.解 ,知 A 可逆, 的余子式2 2,5,46,3,23323111MM得第 16 页，共 41 页 25634321321MA所以 1251A例 12 设,34211302,5CB求矩阵 X 使其满足CAXB解 若 存在,有1A111B即=X1CA125302513= =20540例 13 设 P= 求,1,42PAn解 124,1121, PAPAPn而 ,0nn20,022所以=1PAn 1424n 12421n第 17 页，共 41 页 122421121nn定义 设 mxaxa210)(为 的 次多项式,A 为 阶矩阵 ,记xmnmAAE210)(称为矩阵 A 的 次多项式 .,可
24、证矩阵 A 的两个多项式 和 是可交换的,即有)( fffA 的多项式可以象数 的多项式一样相乘或分解因式 .例如x323)(2AEA容易证明(1) 如果 ,则 ,从而1P1Pk)(maa2101121 PaPEm1)(P(2) 如果 为对角阵,则 ,从而,21ndiag ),(21knkkdigmaE210)( mnmnaa 21210)()(21n本授课单元教学手段与方法：讲授为主,练习为辅,通过逆矩阵的定义及定理 2 的证明让学生充分掌握矩阵的求逆运算,并告知学生在下一章里还可用更简练的方法计算逆矩阵本授课单元思考题、讨论题、作业：P54:11(1),(3);12(1),(2);P55:
25、19,22第 18 页，共 41 页 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 2 节第三讲: 4 矩阵分块法基本内容:4 矩阵分块法. 对于行数和列数较高的矩阵 A,运算时常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算将矩阵 A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每一个小矩阵称为 A 的子块.以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.例 将 矩阵33432121aaA可以分块为(1) (2) (3) 343212aa 3432121a3432121a分法(1)可记为21A其中 ,21a24311a
26、,32分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似,满足:(1) 设矩阵 A 与矩阵 B 的行数相同 ,列数相同,采用相同的分块法 ,有,srsrA 11srsrB 11其中, 与 的行数相同,列数相同,那么ijijsrsrB 11(2) 设 , 为数,那么srsrA 11第 19 页，共 41 页 srsrAA 11(3) 设 A 为 矩阵,B 为 矩阵,分块成lmnl,stst 1 trtrB 11其中 的列数分别等于 的行数,那么iti,2 jjj,2ABsrsrC 11其中 ),;,(1jiCtkkjiij 重点,难点: 分块矩阵的乘法运算,对于四阶且子块含有零矩阵,单位阵,对角阵的高阶
27、,一般做四块分且尽量分出单位阵,零矩阵例 14 设0214,10BA求 AB解 把 A,B 分块成 211 0214,012 BEBEAOA则 =ABEO121B2121而 = + =24= +111304所以 13420AB(4) 设 ,则srsrA 1 TsrTrsA 11第 20 页，共 41 页 (5) 设 A 为 阶矩阵,若 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块 ,其余子块都为零矩阵,且在对角线n上的子块都是方阵,即sAO21其中 都是方阵,称 A 为分块对角矩阵.)2,1(siA分块对角矩阵的行列式有下列性质:s21若 ,则 ,并有),(sioi01121sAOA例 15 设 ,
28、求120351解 , 210AA 321,123,5),(11 A320151对矩阵进行按行分快或按列分块:矩阵 A 有 行,称为矩阵 的 个行向量,若第 行记作nmAmi)(21iniTi a则矩阵 A 记为Tm2矩阵 A 有 列,称为矩阵 A 的 个列向量,若第 列记作nmnjmjjja21则 ),(21nA对于矩阵 与矩阵 的乘积矩阵 AB=C= ,若把行分成 块,把 Bsmija)(sijbB nmijc)(第 21 页，共 41 页 分成 块,有nABTmT21 nmijnTTmnTTn cbbb 21221212),(其中 ijcjTib),(21isia skjijjab12以对
29、角阵 左乘矩阵 时把 A 按行分块,有mnm=mnA21TT21TmT21以对角阵 右乘矩阵 时把 A 按列分块,有nnm=nA),(21na m21 ),(21naa例 16 设 ,证明OT证 设 ,把 A 的列向量表示为 A= ,则nmija)( ),(21n=TTTa21),(21na nTTnnTTaa 2122121因为 ,所以,OAT,),(0jiji 特别有,21,najT而 jT 0),( 221221 mjjjmjjjj aa得 ),(,021 naajjj 即 OA下面用分块矩阵证明第一章中的克莱姆法则克莱姆法则 对于 个变量, 个方程的线性方程组n第 22 页，共 41
30、页 nnnbxaxa 2122 121如果它的系数行列式 ,则它有唯一解0D),21)(21 njAAnjjjj 证 把方程组写成向量方程bx这里 为 阶矩阵,因 ,故 存在.nijaA)( o11表明 是方程组的解向量,也是唯一的解向量.bx1由于 ,所以 ,即bADx1 nnnnnnnn AbAbDAx 212121121212121也就是 ),(112 jbAbDjjjjj 本授课单元教学手段与方法：讲授为主,练习为辅,通过对高阶矩阵特别是可分出部分零矩阵或单位阵的四阶矩阵的分块让学生掌握分块矩阵的加法运算,数乘运算,矩阵乘矩阵的运算,以及求逆矩阵的运算,并列举了几个典型例子的运算.本授
31、课单元思考题、讨论题、作业：P55:26;P56:29.本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）第 23 页，共 41 页 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 1 节授课题目（教学章节或主题）：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组3.1 矩阵的初等变换本授课单元教学目标或要求：熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；知道矩阵等价的概念。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：1.基本内容定义与记号初等行变换 与 行等价 ;(,),ijiijrkrAB()r初等列变换 与
32、列等价 ;ijiijcccA初等变换, 与 等价 .AB()矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形 0.rmnEF2.重点矩阵的初等变换对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换：(1) 交换矩阵的两行(列);(2) 以一个非零的常数 乘矩阵的某一行( 列);k(3) 把矩阵的某一行(列)的 倍加到另一行(列).3.例题与解题方法参见 PPT本授课单元思考题、讨论题、作业：79.1()3P第 24 页，共 41 页 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 2 节授课题目（教学章节或主题）： 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组3.2 初等矩阵本授课单元教学目标或要求：知道初等矩阵，了解初等矩阵与初
33、等变换的联系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法.本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：1.基本内容初等矩阵(1) 定义 单位阵经一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵.(2) 对矩阵 作一次初等行(列 )变换相当于用对应的初等矩阵左(右) 乘 .A A(3) 初等变换及其逆变换与初等矩阵及其逆阵的对应可列表如下：初等变换 初等矩阵 逆变换 逆矩阵ijrc,Eijijrc(,)Eijik()ikik1()ikijjircijijjircj(4) 方阵 可逆ArE12()liP 为 初 等 矩 阵存在可逆矩阵 使B,Q.BA(5) 若 则 可逆，且
34、 特别地，若 则 可逆，且(,),rX1X(,),rAEXA1.2.重点、难点对矩阵 作一系列初等行(列 )变换，相当于用可逆矩阵左 (右)乘 ，由此引出用初等变换求逆A阵的方法；会用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵；会用矩阵的初等行变换求矩阵方程的解.3.例题与解题方法例 1 设 1213414312223 34124343421,aaaAB第 25 页，共 41 页 120101,PP其中 可逆，则 等于A1B(A) (B) (C) (D) 12 12A12PA12PA分析：把矩阵 的 1,4 两列对换,2,3 两列对换即得到矩阵 ,根据初等矩阵的性质,有 或B2B那么 所以应选(C).21
35、.BP1111222().P例 2 设 4 阶矩阵 0340,121BC且矩阵 满足关系式 试将所给关系式化简,并求出矩阵 .A1()TECEA解：由所给的矩阵关系得 即 故 用初等变A(),TABE1().TCB换法求 由于1(),TCB00100212(),3 314 410010021213 1TE 故 102()1TACB其他例题参见 PPT本授课单元思考题、讨论题、作业： 79.3(2)41P第 26 页，共 41 页 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 1.5 节授课题目（教学章节或主题）： 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组3.3 矩阵的秩本授课单元教学目标或要求：1.
36、理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。知道矩阵的标准形与秩的关系。2.知道矩阵秩的基本性质。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：1.基本内容矩阵的秩(1) 定义 矩阵的 阶子式，矩阵的秩。k(2) 的行阶梯形含 个非零行 的标准形()RArrA0.rEF(3) 矩阵秩的性质 0min,; ();T 若 则,B()R 若 可逆，则PQ();PA ax,();BR特别地，当 为列向量 时，有b(),1bA ()(;RABR min), 若 则0l().ABn2.重点、难点矩阵秩的概念，矩阵秩的性质，
37、利用初等变换求秩，应用矩阵的秩解决问题。3.例题与解题方法例 1.设三阶矩阵 为1xA试求秩 ()RA分析 矩阵 含有参数 因此其秩一般随 的变化而变化，讨论其秩主要从两点着手分析：矩阵,xx秩的行列式定义和初等变换不改变矩阵的秩。第 27 页，共 41 页 解: 方法一 直接从矩阵秩的行列式定义出发讨论由于 21()1xx故 当 且 时, 1x|0,()3;AR 当 时, 且|,1,1;A 当 时, 且 ,这时有二阶子式 因此2x|0,A21210.()2.RA方法二 利用初等变换求秩 211100(2)1xxxxx因此 当 且 时, 1x2()3;RA 当 时, (); 当 时, .例 2
38、. 设 为 矩阵A541230425k且 的秩为 3,求A.k解: 方法一 用初等变换第 28 页，共 41 页 123123105600424313121005510kkAkk可见, 则必有 即()3,RA0,.方法二 因为 的秩为 3,故其 4 阶子式 231004k解得 1.k例 3. 设 为 阶矩阵 的伴随矩阵,证明*An*,(),()10,.nRA证明: 已知 则 可逆 由 知 可逆,所以(),RAn,|,*|E*().RAn若 则 由1又 由矩阵秩的行列式定义*|0,E*(),n()()1,RA)1,有,矩阵 至少有一个 阶子式不为零,那么矩阵 中至少有一个元素非零,所以 从而*
39、*()1,有 ().若 则 的任一 阶子式为零,故 ,所以1,RAn10*()0.RA本授课单元思考题、讨论题、作业： 79.(2)3P第 29 页，共 41 页 第 30 页，共 41 页 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 1.5 节授课题目（教学章节或主题）： 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组3.4 线性方程组的解本授课单元教学目标或要求：1.理解线性方程组无解,有唯一解或有无限多个解的充分必要条件(包括非齐次线性方程组有解的充分必要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件).2.熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法。3.知道矩阵方程 有解的充要条件。AXB本授课单元
40、教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：1.基本内容(1) 线性方程组的解法1 基本定理 元线性方程组n.Axb 无解的充分必要条件是 (),);R 有唯一解的充分必要条件是 (;n 有无限多解的充分必要条件是 ,.Ab2 求解线性方程组的步骤( 见教材)(2) 重要定理定理 1 线性方程组 有解的充分必要条件是Axb(),).R定理 2 元齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是n0mn (.An把定理 1 推广到矩阵方程，得定理 3 矩阵方程 有解的充要条件是XB(),).AB2.重点、难点根据增广矩阵的行最简形熟练写出线性方程组的通解；线性方程组的基本定理。3.例题与解题方法例 1求方程组的通解 1234156xx解：对增广矩阵作初等行变换得111(,)24560324357112424001330Ab
