1、立体几何大题专练1、如图，已知 PA矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别为 AB、PC 的中点；(1)求证：MN/平面 PAD(2)若PDA=45，求证：MN平面 PCD2（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 PABC中， ,EF分别为 ,ACB的中点（1）求证： /EF平面 ；（2）若平面 平面 ，且 P， 90，求证：平面 平面 PACEBF（1）证明：连结 EF, 、 分别为 AC、 B的中点，/AB. 2 分又 平面 P， 平面 P，EF平面 PAB. 5 分（2） C， E为 A的中点，E6 分又 平面 平面 BP面 A8 分9 分又因为 F为 的中点，/E09,BCEF10 分
2、PBC面 11 分又 面面 面 12 分3. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC=BC，点 D 是 AB 的中点。（1）求证：BC 1/平面 CA1D；（2）求证：平面 CA1D平面 AA1B1B。4已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P，PA平面 ABCD，E、F 分别是 AB、PC 的中点(1) 求证：EF平面 PAD；(2) 求证：EFCD；(3) 若PDA45，求 EF 与平面 ABCD 所成的角的大小5 （本小题满分 12 分）如图， 的中点PCABNMABCDP、分 别 是、所 在 的 平 面 ，矩 形（1）求证： ；（2）求证： ； PMN平 面/ D6.如图，正方形
3、所在的平面与三角形D所在平面互相垂直，是等腰直ABC角三角形，且D 设线段 BC、 的中点分别为AEF、 ，求证：（1） ；MFE平 面（2）求二面角的正切值 （1）证明：取 AD 的中点 N,连结 FN,MN,则MNED，FNCD平面 FMN平面 ECD. MF 在平面 FMN 内, FM平面 ECD 5 分（2）连接 EN, AE=ED，N 为 AD 的中点， ENAD. 又面 ADE 面 ABCD，EN面 ABCD.作 NPBD, 连接 EP,则 EPBD，EPN 即二面角 E-BD-A 的平面角，设 AD=a,ABCD 为正方形，ADE 为等腰三角形，EN= a,NP= a. 124N
4、MPD CBAtanEPN= . 10 分27.如图，一个圆锥的底面半径为 2cm，高为 6cm，其中有一个高为 cm 的内接圆柱.x(1)试用 表示圆柱的侧面积；x（2）当 为何值时，圆柱的侧面积最大.19.（1） 解：设所求的圆柱的底面半径为 r则有 ,即 .6xr32xr .5 分24)(xS圆 柱 侧（2）由（1）知当 时，这个二次函数有最大值为)32(x 6所以当圆柱的高为 3cm 时，它的侧面积最大为 10 分26cm8 （10 分）如图，在三棱锥 中， 是等边三角形，PAC=PBC=90 .PABCP（1）证明：ABPC；（2）若 ，且平面 平面 ，求三棱锥 体积.4BPABC解
5、：（1）因为 是等边三角形， ,PAB90PACB所以 ,可得 。RtCt如图，取 中点 ，连结 , ,D则 , ,所以 平面 ,ABP所以 5 分 ABPC（2）作 ，垂足为 ，连结 EEA因为 ，Rtt所以 ， B由已知，平面 平面 ，故 90B因为 ，所以 都是等腰直角三角形。tAtP,PCE由已知 ，得 ， 的面积 4C2EA2S因为 平面 ，B所以三角锥 的体积 10 分183VP9.（本题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，ADC45，ADAC1，O 为 AC 的中点，PO平面 ABCD，PO 2，M 为 PD 的中点(1)证明 PB平面
6、ACM；(2)证明 AD平面 PAC；(3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值解析： (1)证明：如图，连接 BD，MO，在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点又 M 为 PD 的中点，所以 PBMO.因为 PB平面 ACM， MO平面 ACM，所以PB平面 ACM.(2)证明：因为ADC 45，且 ADAC1，所以DAC90，即 ADAC.又 PO平面 ABCD，AD平面 ABCD，所以 POAD.而 ACPOO，所以 AD平面 PAC.(3)如图，取 DO 中点 N，连接 MN，AN.因为 M 为 PD 的中点，所以 MNPO，且MN
7、 PO1，由 PO平面 ABCD，得 MN平面 ABCD，所以MAN 是直线 AM 与平12面 ABCD 所成的角在 RtDAO 中，AD1，AO ，12DO .从而 AN DO .在 RtANM 中，tanMAN ，52 12 54 MNAN 154 455即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 .45510（本小题满分 12 分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 中，1ABC， ， ， ，点 是3AC5B41D的中点（）求证： ；1（II）求证： 平面 ； /C（III）求三棱锥 的体积1ABD证明：（）在 ABC 中， ， ， ，35AB4C ABC 为直角三角形， ， 1 分又
8、 平面 ABC， ， ， 2 分1C1C1 平面 ， 4 分AB（II）设 与 交于点 E，则 E 为 的中点，连结 DE， 5 分111B则在 中， ，又 ， 7 分C/DACD面 平面 8 分1/A1B（III）在 ABC 中，过 C 作 ， F 为垂足，平面 平面 ABC，AB1AB 平面 ，而 ， 9 分CF1 34125F ， 11ABCDABV10 分而 ， 11154022DABS11 分 1083ABCV12 分11.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，AB=AD,BAD=60,E、F 分别是AP、AD 的中点求下：（）直线 E
9、F/平面 PCD；（）平面 BEF平面 PAD.12. （本小题满分 12 分）如图所示，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面PABCDABPD是 的中点，作 交 于点 F。,ABCDPEEFP（I）求证： 平面 ；/（II）求证： 平面 ；（III ）求二面角 的大小。MCDBAP13 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，ABCDPAB5BPA（1）求二面角 的度数（2）若 是侧棱 的中点，求异面直线 与 所成角的正切值MPM14 （本小题满分 12 分）若图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形，PD 平面 ABCD，EC/PD，且 PD=2EC。（1）求证：BE/平面 PDA；（2）若 N 为线段 PB 的中点，求证：EN 平面 PDB；（1） 证明：ECPDEC面 PAD；同理 BC面 PAD；面 BEC面 PAD；BE面 PAD（2） 证明：取 BD 的中点 O，连 NO、CO，易知，COBD；又COPD; CO面 PBD。15 （本小题满分 12 分）如图，在多面体 ABCDE 中，底面 ABC为等腰直角三角形，且 90ACB，侧面 BCDE 是菱形，O 点是 BC 的中点，EO 平面 ABC。（1）求异直线 AC 和 BE 所成角的大小；（2）求平面 ABE 与平面 ADE 所成锐二面角的余弦值。
