立体几何100题.doc

1、立体几何 100 题1.如图，三角形 中， ， 是边长为 l 的正方形，平面 底面 ，若 分别是 的中点. （1）求证： 底面 ； （2）求几何体 的体积. 2在三棱锥 中， 和 是边长为 的等边三角形， ， PABCPBC22AB分别是 的中点. ,OD,ABP（1）求证： 平面 ；/C（2）求证: 平面 ；（3）求三棱锥 的体积.3如图，在直三棱柱 中， ， ，点 分别1B09AC2BAC,MN为 的中点. 1,ACB（1）证明： 平面 ；/MN1BC（2 ）若 ，求三棱锥 的体积NA4如图，在三棱柱 中， 平面 ，点 是 与的交点，点 在线段 上， 平面 .（1）求证： ；（2）若 ,求

2、点 到平面 的距离. 5如图，四棱锥 中，底面 是直角梯形， PABCDAB， 是正三角形， 是 的中点1,/,2ABPDEPD（1 ）求证： ；（2 ）判定 是否平行于平面 ，请说明理由 CEPAB6如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ， ， SDSABCDSAD， ， ， 分别为 ， 的中点/ADB2CMNS（1）求证： 平面 ；（2）求证： 平/SBCMNBD面 SCM7如图，在矩形 中， ， 平面 ， 分别为 的中点，点是 上一个动点(1) 当 是 中点时，求证:平面 平面 ；(2) 当 时，求 的值8如图，在正三棱柱 中， 点 分别是 的中点1ABC,DE1,ACB求证： 平面ED若 求

3、证：A 1B平面 B1CE. 12B9如图，在长方体 中， .1ABCD12,ABDA（1 ） 证明直线 平行于平面 ；1BC1DAC（2 ）求直线 到平面 的距离.10如图所示，菱形 与正三角形 所在平面互相垂直， 平面 ，BEFDABC且 ， . 2AB3FD（1）求证： 平面 ；/EABC（2 ）若 ，求几何体 的体积.CEFD11在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABAC，E 是 BC 的中点，求证：（）平面 AB1E平面 B1BCC1；（）A 1C/平面 AB1E12如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ，点 为的中点.（1）证明： 平面 ；（2）求三棱锥 的体积.13如图，在多面

4、体 中，四边形 是正方形，在等腰梯形 中， ， ， 为 中点，平面 平面 .(1)证明： ； (2)求三棱锥 的体积.14已知三棱锥 ， ， ， 为 的中点， 平面 ， ， ， 是中点， 与 所成的角为 ，且 .（1）求证： ； （2）求三棱锥 的体积.15在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 是等边三角形，已知 ， .（1）设 是 上一点，求证：平面 平面 . （2）求四棱锥 的体积.16如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为菱形， PABCDPABCDA， 为 的中点60ABC1,E. （1 ）求证： 平面 ；（2 ）求三棱锥 的体积./PABDEPBDE17如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的

5、棱柱） 中，点 是 的中1ACGAC点（1）求证： 平面 ；（2）若 ， ，求证： 1/BC1AGBC12A1AC18如图所示，四棱锥 中，平面 平面 ， ， SDSDSD， /D4324（1）证明：在线段 上存在一点 ，使得 平面 ；SCE/DSAB（2）若 ，在（1）的条件下，求三棱锥 的体积ABE19 （本小题共 12 分）如图，边长为 3 的正方形 所在平面与等腰直角三角形 所在平面互相垂直， AB，且 ， .E2MD3N（）求证： 平面 ；（）求三棱锥 的体积./NECBMC20如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 分别为 的中点，平面 底面 .（1）求证: 平面 ；（

6、2）若 ，求三棱锥 的体积.21在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABAC，E 是 BC 的中点，求证 ：（）平面 AB1E平面 B1BCC1； （）A 1C/平面 AB1E22如图 ，四边形 为等腰梯形， ，将 沿1ABCD2,1ABDCBADC折起，使得平面 平面 ， 为 的中点，连接 .ACE,E（1）求证： ； （2）求 到平面 的距离.BCADEBCD23如图，四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， 为 的中点（）证明： 平面 ； （）设 ，求三棱锥 的体积24如图，在多面体 中，四边形 是正方形，在等腰梯形 中， ， ， 为 中点，平面 平面 .(1)证明： ；(2)求三棱锥 的

7、体积. 25如图 1，在矩形 中， ， ， 是 的中点，将 沿 折起，得到如图2 所示的四棱锥 ，其中平面 平面 .（1）证明： 平面 ；（2）设 为 的中点，在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.26如图，在四棱锥 中， ， PABCD90ABCDBAC， 平面 ， .设 分别为 的中点.60CAD2,1P,MN,P（1）求证：平面 平面 ；（2）求三棱锥 的体积. MN27如图所示，在长方体 中，底面 是边长为 1 的正方形， 1ABCDABCD， 为棱 上的一个动点.12AP1（1）求三棱锥 的体积；1CPA（2）当 取得最小值时，求证： 平面

8、.11PDAC28 在三棱柱 中，已知侧棱 底面 为 的中点， 1ABC1C,ABMC.3,2,（1）证明: 平面 ；（2）求点 到平面 的距离.1BC1AM1A1MC29五边形 是由一个梯形 与一个矩形 组成的，如图甲所示，BNNB为 AC 的中点， 先沿着虚线 将五边形 折成直二面1811AN角 ，如图乙所示1ABC（）求证：平面 平面 ；（）求图乙中的多面体的体积BNC130如图 1， 中， ，点 为线段 的四等分1AF1,82ACF， ,BD1A点，线段 互相平行，现沿 折叠得到图 2 所示的几何体，此几何,EDG,BEG体的底面 为正方形.BC（1）证明： 四点共面；（2）求四棱锥

9、的体积.,AEFGBAEFG31如图，三棱锥 中， 平面 ， 分别是 的中PBCC,H,PCAB点， 是线段 上的任意一点， ，过点 作平行于底面 的IFG2PCABFABC平面 交 于点 ，交 于点 .DEAPE（1）求证： 平面 ；/HIBD（2）若 ，求点 到平面 的距离.CFGH32如图，已知正方体 的棱长为 3， 分别是棱 、 上的点，且.（1）证明： 四点共面；（2）求几何体 的体积.33如图，在四棱柱 中，已知平面 平面 ，且1ABCD1ACBD， 3AB（1）求证： ；（2）若 为棱 的中点，求证： 平面 1BDAEBC/AE1DC34如图，在三棱柱 中，底面 是等边三角形，且

10、 平面 , 1CAAB为 的中点，() 求证：直线 平面 ；1/BC1AD() 若 是 的中点，求三棱锥 的体积；2,AE1ACDE35如图，将菱形 沿对角线 折叠，分别过 ， 作 所在平面的垂线 ， ，垂足分别为 ， ，四边形 为菱形，且 .（1）求证： 平面 ； （2）若 ，求该几何体的体积.36如图，在四棱锥 中， ， ， PABCD12PACDB/ADC， 平面 .ADC（1）求证： 平面 ；BCPA（2）若 为线段 的中点，且过 三点的平面与线段 交于点 ，确定点M,CDMPBN的位置，说明理由；并求三棱锥 的高.NN37如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧棱 底面OB2

11、O，且侧棱 的长是 ，点 分别是 的中点.ABDB2,EFG,AOC（）证明： 平面 ；（）求三棱锥 的体积.ODEFGOEFG38如图，多面体 中， , 平面 ，ABC/,ADBCA,/ABCDFE且 .22（） 为线段 中点，求证： 平面 ；MEF/CMABF（）求多面体 的体积.ABD39 在如图所示的几何体中，四边形 是矩形， 平面 ， 1 1BAC是 的中点.11/,2,（1）求证： 平面 ；1/AE1BC（2）若 ， ，求证平面 平面 .C21BEA1C40如图，四边形 为梯形， ， 平面 ， DDPABCD， ， ， 为 中点.90BACa3a（1）求证：平面 平面 ；PE（2）

12、线段 上是否存在一点 ，使 平面 ？若有，请找出具体位置，并进行CFPABF证明：若无，请分析说明理由.41已知四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ，SABCDAB260BAD，点 是棱 的中点，点 在棱 上，且 ， /5,7SAEFSCFS平面 BEF（）求实数 的值；（）求三棱锥 的体积42在三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=BC=CA=AA 1=2，侧棱 AA1 平面 ABC，且 D，E 分别是棱A1B1，AA 1的中点，点 F 在棱 AB 上，且 AF= AB。4（1）求证：EF平面 BDC1；（2）求三棱锥 D-BEC1的体积。43如图 2，四边形 为矩形， 平面 ， ,作如图

13、 3 折叠，折痕，其中点 分别在线段 上，沿 折叠后点 叠在线段 上的点记为 ，并且 .（1）证明： 平面 ; （2 ）求三棱锥 的体积.44 由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 截去三棱锥 C1- B1CD1 后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 AD 的中点 ,A1E 平面 ABCD（1）证明： 平面 B1CD1;1（2）设 M 是 OD 的中点,证明：平面 A1EM 平面 B1CD1.45 如图，四棱锥 中，底面 为菱形， PABCDAB底面 .,60,PDA（1）求证: （2）求 与平面 所成角的正弦值.ACPBAPBC46如图，三

14、棱柱 ABCA 1B1C1中，各棱长均为 2，D，E， F 分别为棱 AB，BC，A 1C1的中点（）证明 EF平面 A1CD；（）若三棱柱 ABCA 1B1C1为直棱柱， 求三棱锥 的体积47如图所示，四棱锥 ，已知平面 平面 ， DEBCEA,26,43,0BEA（I）求证： ；（II）若 ，求三棱锥 的体积ACBE45BCEACDE48在四棱锥 中， 为正三角形，平面 平面 ， PDPDPAB， ， ./B2A（）求证：平面 平面 ； （）求三棱锥 的体积；PCDAPABC（）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ?若存在，请确定点 的位置并证E/BDE明；若不存在，说明理由49 如图，已知

15、多面体 的底面 是边长为 2 的正方形， 底面 ，且 （）求多面体 的体积；（）求直线 与平面 所成角的正弦值；（）记线段 的中点为 ，在平面 内过点 作一条直线与平面 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明50如图，三棱柱 的侧面 为正方形，侧面 为菱形， 1ABC1AB1BC， .160C（）求证：平面 ；1AB1C（）若 ，求三棱柱 的体积.21AB51 在三棱柱 中， ， ， 为 的中1 2120ACBD1AB点.（1）证明： 平面 ；1/AC1BD（2）若 ，点 在平面 的射影在 上，且侧面 的面积为AC1AB，求三棱锥 的体积.3152如图： 是平行四边行， 平面 , / , ， A

16、BCPBDEP2， 。E60（1）求证： /平面 ；（2）求证：平面 平面 ；DAC53如图，四棱锥 中，平面 平面 ，底面 为梯形， PABCDPABCDA， ， ，且 与 均为正三角形， 为 的中点，/ABC23ED为 重心.G（1 ）求证： 平面 ；（2 ）求三棱锥 的体积./GFPDCGPCD54如图，边长为 2 的正方形 和高为 2 的直角梯形 所在的平面互相垂直， ABFAEF， ， 且 .ABCOE/90（1）求证： 平面 ；DEBC（2）过 作 平面 ，垂足为 ，求三棱锥 的体积.OHFHABCH55如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中， AB=BC=BB1， ， D 为 A

17、C 上的点，1EB1C平面 A1BD；（1）求证： BD平面 ；（2）若 且 ，求三棱锥 A-BCB1的体1 ,积56如图，四边形 为菱形， 为 与 的交点， 平面 ABCDGACBDEABCD（1）证明：平面 平面 ；AECBD（2）若 ，三棱锥 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积012,BEAC63（平面 为底面） D57已知球内接正四棱锥 的高为 相交于 ，球的表面积为 ，PAB3,BO169若 为 中点.EPC(1)求异面直线 和 所成角的余弦值；(2)求点 到平面 的距离.BPADEPAD58如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，点 为棱 的中点.（1）证明： 面 ；（2）证明 ；（3）求三

18、棱锥 的体积59在四棱锥 中， ，PABCD90ACD平面 为 的中60,B,BEP点， .2(1)求四棱锥 的体积 ；(2)若 为 的中点，求证 面 .PABCDVFPCPAEF60在三棱柱 中， ，侧棱1 12ABA平面 ，且 ， 分别是棱 ， 的中点，点 棱1E1上，且 AB4F（1）求证： 平面 ；（2）求三棱锥 的体积/1BDC1DBEC61 如图，四棱锥 PABCD 中，AD平面 PAB，APAB（1）求证：CDAP； （2）若 CDPD，求证：CD平面 PAB；62如图，已知三棱锥 中， ， ， 为 的中点， PABCPACBEP为 的中点，且 为正三角形.DABE（）求证： 平

19、面 ；（）请作出点 在平面 上的射影 ，并说明理由.若 ， ，求三DH3125H棱锥 的体积.P63如图，在三棱锥 中， ， ， ，平PABC2PBA3C90AB面 平面 ， ， 分别为 ， 中点PABDE（1 ）求证： 平面 ；（2 ）求证： ；/DEPBCABPE（3 ）求三棱锥 的体积64如图，在四棱锥 中，AEDE，CD平面 ADE，AB平面AADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3（1）求 到平面 的距离BCDE（2）在线段 上是否存在一点 ，使 ？若存在，求出 的值；若不FABCE平 面 EFD存在，说明理由65在如图所示的多面体中， 平面DE， 0,/,/,6ABCDFEABC

20、DABC24A（1 ）在 上求作点 ，使 平面 ，请写出作法并说明理由；P/F（2 ）求三棱锥 的高66如图，直角梯形 中， , ,平面 平面ABCD1,2ABCDBACD, 为等边三角形， 分别是 的中点， .BCE,MFE14N(1)证明： ;(2)证明： 平面 ;FN(3)若 ,求几何体 的体积.1,2AABCD67如图，正三棱柱 中， 为 中点， 为 上的一点， .（1）若 平面 ，求证： .（2）平面 将棱柱 分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为 ，下面一个几何体的体积为 ，求 .68如图，将边长为 的正六边形 沿对角线 翻折，连接 、 ，形成如图所示的多面体，且 .（I）证明

21、：平面 平面 ；（II）求三棱锥 的体积.69如图，在三棱柱 中， 底面 ， ， 1ABC1ABC90AB， ， 是棱 的中点 1AC12D1（）求证： 平面 ；（）求三棱锥 的体积；1D（）在线段 上是否存在点 ，使得 ？请说明理由BQCB70如图，棱柱 中，底面 是平行四边形，侧棱 底面 ，（）求证： 平面 ；（）求点 到平面 的距离 71如图，四棱锥 中， 底面 ，底面 是直角梯形， ，点 在 上，且 .（1）已知点 在 ，且 ，求证：平面 平面 ；（2）若 的面积是梯形 面积为 ，求点 E 到平面 的距离.72如图，在直角梯形 中， ， ， 直角梯形通过直角梯形 以直线 为轴旋转得到，

22、且使得平面 平面 为线段 的中点， 为线段 上的动点（）当点 是线段 中点时，求二面角 的余弦值；（）是否存在点 ，使得直线 /平面 ？请说明理由73在斜三棱柱 中， ，平面 底面 ，点 、D 分别是线段 、BC 的中点（1）求证： ； （2）求证：AD/平面 74如图， 为边长为 2 的正三角形， ，且 平面 ， .（1）求证：平面 平面 ；（2）求三棱锥 的高.75如图七面体 ABCDEFG 中,面 ABCD,ADEF,ABGF 都是正方形 .M,N 分别是棱 FG,DE 的中点.(1)求证:直线 MN平面 CEG; (2)若 AB=a,求三棱锥 MCEG 的体积.76如图,在四棱椎 中,

23、底面 为矩形,平面 面 , PABCDPCDAB12,BC, 为 中点.PDE（1）求证： 平面 ；（2）求三棱锥 的体积./PCBEDEPBD77 已知在四棱锥 中，底面 是矩形，且 平面AAC2,1,ABPA， 分别是线段 的中点.ABD,F,（1）证明： ；PFD（2）若 ，求点 到平面 的距离.1AEPF78如图在四棱锥 中， 平面 ， ，且 平分BCABCDDB与 交于 点， 为 的中点， .,CO1,2,P（）证明 平面 ；（）证明 平面 ；/PABDEACPBD（）求三棱锥 的体积.C79如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， /ADBC，平面 底面 ， 为 的中点， 是棱

24、上的点， 90DQMP， PA12BA（）求证：平面 平面 ；PQBAD（）若三棱锥 的体积是四棱锥 体积的 ，设 ，试确定MPBC16PMtC的值t80如图，点 在以 为直径的圆 上， 垂直与圆 所在平面， 为 的COOGAO垂心.（1）求证：平面 平面 ；PGA（2）若 ，点 在线段 上，且 ，求三棱锥2ABQP2QA的体积.PQ81如图，在三棱锥 中，平面 平面ABCDAB，点 在 上， 0,6,24BCDECD2.EC（）求证： ；ACBE（）若二面角 的余弦值为 ，求三棱锥 的体积.D15ABCD82如图， 是正方形， 平面 ， ， E/AFE.2DEAF（1）求证： 平面 ；（2）

25、求证： 平面 ；ACBDE/ACBEF（3）求四面体 的体积.F83如图,在四棱柱 中,已知 , 是 的中点11,2S1AC（1）求证: ；（2）求三棱锥 的体积.ACSD1ABCD84已知四棱锥 中，底面为矩形， 底面 ， ， PBPAB1PBC， 为 上一点， 为 的中点.2BM（1 ）在图中作出平面 与 的交点 ，并指出点 所在位置（不要求给出理由） ；ADMPBN（2 ）求平面 将四棱锥 分成上下两部分的体积比 .ADMPABCD85如图，在多面体 中，四边形 为等腰梯形， ， ， 与 相交于 ，且 ，矩形 底面 ， 为线段上一动点，满足 .（）若 平面 ，求实数 的值；（）当 时，锐

26、二面角 的余弦值为 ，求多面体 的体积.86已知四棱台 的下底面是边长为 4 的正方形， ，且 面，点 为 的中点，点 在 上， ， 与面 所成角的正切值为 2.（）证明： 面 ；（）求证： 面 ，并求三棱锥 的体积.87如图在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PAD 底面 ABCD， ；PAC（1）求证：平面 PAB 平面 PCD；（2）若过点 B 的直线 垂直平面 PCD，求证： /平面 PAD. l l88在直三棱柱 中， 是 的中点， 1ABC13,2,ABCBDC是 上一点.F1（1）当 时，证明： 平面 ；2CF1BFAD（2）若 ，求三棱锥 的体积.1D89

27、如图，四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面 ，且PACPADBC是边长为 的等边三角形， ，点 是 的中点.A213PM（1）求证： 平面 ；（2）求四面体 的体积.PAMBDPBDM90已知球内接四棱锥 的高为 相交于 ，球的表面积为 ，若C3,ACO169为 中点.EC（1）求异面直线 和 所成角的余弦值； （2）求点 到平面 的距离.EPA91如图所示的几何体 中，四边形 为菱形， ， PABCDABC120ABC， ， ，平面 平面 ， ， ABa3aPDO为 的中点， 为平面 内任一点.EPDG（1）在平面 内，过 点是否存在直线 使 ？如果不存在，请说明理由，如果lOEl存在，请说

28、明作法；（2）过 ， ， 三点的平面将几何体 截去三棱锥 ，求剩余几CEABCDAEC何体 的体积.AB92如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，点 在棱 上(异于点 ， PABCDABEPC)，平面 与棱 交于点 CEF（1）求证： ；（2）若平面 平面 ，求证： PDAF93如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，四边形 是梯形， B， ，且 09AB/ 12（1）求直线 与 所成的角；（2）求点 到平面 的距离PBCDAPCD94如图，三棱柱 中， 平面 ， ， 是 上的1A1BAMB动点， .（）若点 是 中点，证明：平面 平面 ；MB1M1（）判断点 到平面 的距离是否为定值？若是，求定值；若

29、不是，请说明理由.1AC95如图（1） ，五边形 中， .如ABCDE 0,/,2,15ABCDABEC图（2） ，将 沿 折到 的位置，得到四棱锥 .点 为线段PPM的中点，且 平面 PCM（1）求证：平面 平面 ；PADC（2）若直线 与 所成角的正切值为 ，设 ，求四棱锥 的体积.B12ABPABCD96如图，已知多面体 中，四边形 为菱形， ， 平EFD60E面 ， ， ， BC/E（）求证： 平面 ；（）求多面体 的体积AFBDEABCDEF97如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD底面 ABCD，其中底面 ABCD 为等腰梯形，ADBC，PAABBCCD2，PD2 ，PA P

30、D，Q 为 PD 的中点.（）证明： CQ平面 PAB；（）求三棱锥 Q-ACD 的体积。98如图， 为圆柱 的母线， 是底面圆 的直径, 分别是1,AB1OBCO,DE的中点, 1C7,3,42C(1)证明： 平面 ；(2)求圆柱 的体积和表面积.DEABC1O99已知等腰梯形 (图 1)中, , , , /EC142ABEC012AB是 中点,将 沿 折起,构成四棱锥 (图 2), 分别是CDPDMN的中点.,BP（1）求证: 平面 ;AMN（2）当平面 平面 时,求点 到平面 的距离.BCAB100如图所示，边长为 2 的正三角形 所在平面与梯形 所在平面垂直， ABCBCDE， ， ， 为棱 的中点/BECD4EF（1）求证：直线 平面 ；ABCDF（2）求三棱锥 的体积