1、高考数学(浙江专用),10.2 双曲线及其性质,考点一 双曲线的定义和标准方程 (2016浙江文,13,4分)设双曲线x2- =1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 . 答案 (2 ,8),A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,解析 PF1F2为锐角三角形,不妨设P在第一象限,P点在P1与P2之间运动(如图).当P在P1点处时,F1P1F2=90,= |F1F2| |= |P1F1|P1F2|. 由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2,|P1F1|-|P1F2|=2, 得|P1F1|P1F2|=6, 此时|P
2、F1|+|PF2|=2 . 当P在P2点处时,P2F2F1=90, =2,易知 =3, 此时|PF1|+|PF2|=2|PF2|+2=8,当PF1F2为锐角三角形时,|PF1|+|PF2|(2 ,8).,评析 找到点P的两个特殊位置是解决本题的关键.,考点二 双曲线的几何性质 1.(2018浙江,2,4分)双曲线 -y2=1的焦点坐标是 ( ) A.(- ,0),( ,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,- ),(0, ) D.(0,-2),(0,2),答案 B 本小题考查双曲线的标准方程和几何性质. a2=3,b2=1,c= =2.又焦点在x轴上,双曲线的焦点坐标为(-2,0),(
3、2,0). 易错警示 求双曲线焦点坐标的易错点 (1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误; (2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆.,2.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1: +y2=1(m1)与双曲线C2: -y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别 为C1,C2的离心率,则 ( ) A.mn且e1e21 B.mn且e1e21 D.mn且e1e21,答案 A 在椭圆中,a1=m,c1= ,e1= .在双曲线中,a2=n,c2= ,e2= .因为c1= c2,所以n2=m2-2.从而 = = ,令t=m2-1,则t0, = 1,即e1e21.结 合图形易知mn,故选A
4、. 思路分析 根据焦点相同可得关于m2与n2的关系式,然后建立 关于m的关系式,然后判定范 围即可.,评析 本题考查了椭圆、双曲线的方程和基本性质.考查了运算求解能力.,3.(2015浙江,9,6分)双曲线 -y2=1的焦距是 ,渐近线方程是 .,答案 2 ;y= x,解析 双曲线 -y2=1中,a= ,b=1,2c=2 =2 .其渐近线方程为y= x,即y= x,也 就是y= x.,4.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线 - =1(a0,b0)的两条渐近线分别交 于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .,答案,解析 由 得A
5、 , 由 得B , 则线段AB的中点为M . 由题意得PMAB,kPM=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2= ,e= .,考点一 双曲线的定义和标准方程 1.(2018天津文,7,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直 线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双 曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 答案 A 本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用. 双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为2, e2=1+ =4,
6、 =3,即b2=3a2,c2=a2+b2=4a2, 不妨设点A(2a,3a),B(2a,-3a), =3,渐近线方程为y= x, 则点A与点B到直线 x-y=0的距离分别为d1= = a,d2= = a,又,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,答案 A 本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用. 双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为2, e2=1+ =4, =3,即b2=3a2,c2=a2+b2=4a2, 不妨设点A(2a,3a),B(2a,-3a), =3,渐近线方程为y= x, 则点A与点B到直线 x-y=0的距离分别为d1= = a,d2= = a,又,d1+d
7、2=6, a+ a=6,解得a= ,b2=9.双曲线的方程为 - =1,故选A. 方法归纳 求双曲线标准方程的方法: (1)定义法:根据题目条件求出a,b的值,即可求得方程. (2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条 件构造关于参数a,b的方程组,解出a,b的值,即可求得方程.,2.(2017天津文,5,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上, OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. -y2=1 D.x2- =1,答案 D 本题主要考查双曲线的几
8、何性质和双曲线的方程. 不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1, ),所以 = ,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2 =3,故所求双曲线的方程为x2- =1,故选D.,3.(2017天津理,5,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为 .若经过F和P(0, 4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,答案 B 本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的标准方程. 由离心率为 可知a=b,c= a,所以F(- a,0),由题意可知kPF= = =1,所以 a=4, 解得a
9、=2 ,所以双曲线的方程为 - =1,故选B. 方法总结 求双曲线的方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构 造关于参数a,b的方程组,从而解方程组求出参数a和b的值;(2)定义法:根据题意得到动点所满 足的关系式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.,4.(2016课标全国,5,5分)已知方程 - =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离 为4,则n的取值范围是 ( ) A.(-1,3) B.(-1, ) C.(0,3) D.(0, ),答案 A 原方程表示双曲线,且焦距为4, 或 由得m2=1,n(-1,3).无解.故选A. 解后反思 对于方程mx2+ny2
10、=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且mn;若表示双曲线,则mn0.,5.(2015天津,6,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线过点(2, ),且双曲线的一个焦 点在抛物线y2=4 x的准线上,则双曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,答案 D 因为点(2, )在渐近线y= x上,所以 = ,又因为抛物线的准线为x=- ,所以c=,故a2+b2=7,解得a=2,b= .故双曲线的方程为 - =1.选D.,6.(2015广东,7,5分)已知双曲线C: - =1的离心率e= ,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方 程为 ( )
11、A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,答案 C 由已知得 解得 故b=3,从而所求的双曲线方程为 - =1,故选C.,7.(2015福建,3,5分)若双曲线E: - =1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且|PF1|= 3,则|PF2|等于 ( ) A.11 B.9 C.5 D.3,答案 B |PF1|=3a+c=8,故点P在双曲线的左支上,由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=2a=6,所以| PF2|=9,故选B.,8.(2015安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是 ( ) A.x2- =1 B. -y2=1 C.
12、-x2=1 D.y2- =1,答案 C 由于焦点在y轴上,故排除A、B.由于渐近线方程为y=2x,故排除D.故选C.,9.(2014天津,5,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线 的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,答案 A 由题意得 =2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为 -=1.,10.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 - =1的焦距是 .,答案 2,解析 由 - =1,得a2=
13、7,b2=3,所以c2=10,c= ,所以2c=2 .,考点二 双曲线的几何性质 1.(2018课标全国理,5,5分)双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,则其渐近线方程为( ) A.y= x B.y= x C.y= x D.y= x,答案 A 本题主要考查双曲线的几何性质. e= , = = = , 双曲线的渐近线方程为y= x= x.故选A.,2.(2018课标全国文,10,5分)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的离心率为 ,则点(4,0)到C的 渐近线的距离为 ( ) A. B.2 C. D.2 答案 D 本题考查双曲线的几何性质及点到直线的距离公式. e= = = ,且a0
14、,b0, =1, C的渐近线方程为y=x, 点(4,0)到C的渐近线的距离为 =2 .,3.(2018课标全国理,11,5分)设F1,F2是双曲线C: - =1(a0,b0)的左,右焦点,O是坐标原点. 过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|= |OP|,则C的离心率为 ( ) A. B.2 C. D.,答案 C 本题考查双曲线的几何性质. 点F2(c,0)到渐近线y= x的距离|PF2|= =b(b0),而|OF2|=c,所以在RtOPF2中,由勾股定 理可得|OP|= =a,所以|PF1|= |OP|= a. 在RtOPF2中,cosPF2O= = , 在F1F2P中, co
15、sPF2O= = , 所以 = 3b2=4c2-6a2, 则有3(c2-a2)=4c2-6a2,解得 = (负值舍去),即e= .故选C.,方法总结 求双曲线的离心率的值(或取值范围) 根据题设条件,得出一个关于a,b,c的等式(或不等式),利用c2=a2+b2消去b,转化为关于a、c的等 式(或不等式),即可求得离心率的值(或取值范围).,4.(2018课标全国理,11,5分)已知双曲线C: -y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线 与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|= ( ) A. B.3 C.2 D.4,答案 B 本题主要考查双曲线的几何性质
16、. 由双曲线C: -y2=1可知其渐近线方程为y= x,MOx=30,MON=60,不妨设OMN =90,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,|OM|= ,则在RtOMN 中,|MN|=|OM|tanMON=3.故选B.解题关键 利用双曲线的几何性质求出MON的大小及|OM|的值是求解本题的关键.,5.(2017课标全国文,5,5分)若a1,则双曲线 -y2=1的离心率的取值范围是 ( ) A.( ,+) B.( ,2) C.(1, ) D.(1,2),答案 C 本题考查双曲线的离心率,简单不等式的求解. 由题意知e2= = =1+ ,因为a1,所以11+
17、 2,则1e ,故选C. 方法总结 处理离心率问题,总离不开a,b,c三者之间的关系,在双曲线问题中常利用e2= =1+ 求离心率.,6.(2017课标全国文,5,5分)已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直, 点A的坐标是(1,3),则APF的面积为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 本题考查双曲线的几何性质. 易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.PFx轴, P(2,3),|PF|=3,又A(1,3), |AP|=1,APPF, SAPF= 31= .故选D.,7.(2017课标全国理,9,5分)若双曲线C: - =1(a0,b0)的一条渐近
18、线被圆(x-2)2+y2=4所截 得的弦长为2,则C的离心率为 ( ) A.2 B. C. D.,答案 A 本题主要考查双曲线的方程和性质,直线与圆的位置关系. 由题意可知圆的圆心为(2,0),半径为2.因为双曲线 - =1的渐近线方程为y= x,即bxay=0, 且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2,所以 = ,所以 = .故离心率e = =2.选A. 方法总结 求双曲线离心率e的常见方法有两种.一是直接法:e= = ;二是间接法:即由 条件得到关于a、c的等式,再化成关于e的方程求解.,8.(2016天津,6,5分)已知双曲线 - =1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长
19、的圆 与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,答案 D 不妨设A(x0,y0)在第一象限,由题意得 由得 = , 所以 = = , 由可得b2=12. 所以双曲线的方程为 - =1.故选D. 思路分析 抓住矩形的一个顶点的坐标,利用该顶点既在圆上又在渐近线上,再结合矩形的面 积建立方程组求解.,评析 本题考查了圆和双曲线的方程与性质,考查了运算求解能力和方程的思想方法.,9.(2016课标全国,11,5分)已知F1,F2是双曲线E: - =1的左,右焦点,点M在E上,MF
20、1与x轴垂 直,sinMF2F1= ,则E的离心率为 ( ) A. B. C. D.2,答案 A 解法一:由MF1x轴,可得M ,|MF1|= .由sinMF2F1= ,可得cosMF2F1= ,又tanMF2F1= = , = ,b2= ac,c2=a2+b2b2=c2-a2,c2-a2-ac=0e2- e-1=0,e= (舍负).故选A. 解法二:由MF1x轴,得M ,|MF1|= ,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+ ,又 sinMF2F1= = = a2=b2a=b,e= = .故选A.,10.(2015课标,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C: -y2=1上
21、的一点,F1,F2是C的两个焦点.若 0,则y0的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 若 =0,则点M在以原点为圆心,以半焦距c= 为半径的圆上,则 解得 = .可知: 0点M在圆x2+y2=3的内部 y0 .故选A.,11.(2015课标,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶 角为120,则E的离心率为 ( ) A. B.2 C. D.,答案 D 设双曲线E的标准方程为 - =1(a0,b0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一象 限内,则易得M(2a, a),又M点在双曲线E上,于是 - =1,解得b2=a2,e
22、= = .,12.(2015重庆,10,5分)设双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与 双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+ ,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ( ) A.(-1,0)(0,1) B.(-,-1)(1,+) C.(- ,0)(0, ) D.(-,- )( ,+),答案 A 由题知F(c,0),A(a,0),不妨设B点在第一象限,则B ,C ,kAB= ,CD AB, kCD= ,直线CD的方程为y+ = (x-c). 由双曲线的对称性,知点D在x轴上,得xD= +c, 点D到直
23、线BC的距离为c-xD, a+ =a+c,b4a2(c-a)(c+a)=a2b2,b2a2, 1,又 该双曲线的渐近线的斜率为 或- ,双曲线渐近线斜率的取值范围是(-1,0)(0,1).选A.,13.(2015四川,5,5分)过双曲线x2- =1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线 于A,B两点,则|AB|= ( ) A. B.2 C.6 D.4,答案 D 双曲线x2- =1的右焦点为F(2,0), 其渐近线方程为 xy=0. 不妨设A(2,2 ),B(2,-2 ),所以|AB|=4 ,故选D.,14.(2014课标,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m0)的一个
24、焦点,则点F到C的一条渐近线 的距离为 ( ) A. B.3 C. m D.3m,答案 A 由题意知,双曲线的标准方程为 - =1,其中a2=3m,b2=3,故c= = ,不 妨设F为双曲线的右焦点,故F( ,0).其中一条渐近线的方程为y= x,即x- y=0,由点到 直线的距离公式可得d= = ,故选A.,评析 本题考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公式等基础知识,考查学生对知识 的灵活运用能力和运算求解能力.,15.(2014山东,10,5分)已知ab0,椭圆C1的方程为 + =1,双曲线C2的方程为 - =1,C1与C2 的离心率之积为 ,则C2的渐近线方程为 ( ) A.x y
25、=0 B. xy=0 C.x2y=0 D.2xy=0,答案 A 设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1= ,e2= .因为e1e2=,所以 = ,即 = , = . 故双曲线的渐近线方程为y= x= x,即x y=0.,16.(2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一 点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. D.3,答案 B 设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设mn0, 于是 mn= m=3n . a=n,b= nc= n,e= ,选B
26、.,评析 本题考查双曲线的定义及性质,依据条件列出关系式后,若直接求 ,则运算量很大,改 为利用|PF1|与|PF2|的关系求解,巧妙转化,降低运算难度.,17.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一 条渐近线的距离为 c,则其离心率的值是 .,答案 2,解析 本题考查双曲线的性质. 双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为 = c,b= c, b2= c2,又b2=c2-a2,c2=4a2,e= =2.,18.(2018北京文,12,5分)若双曲线 - =1(a0)的离心率为 ,则a= .
27、 答案 4 解析 本题主要考查双曲线的标准方程和性质. 由题意知c= ,e= = = ,又a0, a=4. 方法总结 求双曲线的离心率的常用方法: (1)求得a,c的值,直接代入e= 求解. (2)列出关于a,b,c的齐次方程,然后根据c2=a2+b2消去b,从而转化为关于e的方程,进而求解.,19.(2017北京文,10,5分)若双曲线x2- =1的离心率为 ,则实数m= .,答案 2,解析 本题考查双曲线的性质. 由题意知,a2=1,b2=m. e= = = = ,m=2.,20.(2017课标全国理,15,5分)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为 半径作
28、圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为 .,答案,解析 本题考查双曲线的方程、几何性质以及直线与圆的位置关系,考查学生的运算求解能 力和对数形结合思想的应用能力. 解法一:不妨设点M、N在渐近线y= x上,如图,AMN为等边三角形,且|AM|=b,则A点到渐近线y= x的距离为 b,又将y= x变形为一般形式为bx-ay=0,则A(a,0)到渐近线bx- ay=0的距离d= = ,所以 = b,即 = , 所以双曲线离心率e= = . 解法二:不妨设点M、N在渐近线y= x上,如图,作AC垂直于MN,垂足为C,据题意知点A的坐标为(a,0),则|AC|=
29、 = ,在ACN中,CAN= MAN=30,|AN|= b,所以cosCAN=cos 30= = = = = ,所以离心率e= = .,21.(2016北京,13,5分)双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直 线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a= .,答案 2,解析 由OA,OC所在直线为渐近线,且OAOC,知两条渐近线的夹角为90,从而双曲线为等 轴双曲线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=2 ,根据c2= 2a2可得a=2.,评析 本题考查等轴双曲线及其性质.,22.(2015北京,1
30、0,5分)已知双曲线 -y2=1(a0)的一条渐近线为 x+y=0,则a= .,答案,解析 由双曲线 -y2=1(a0)知其渐近线方程为y= x,又因为a0,所以 = ,解得a= .,23.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C: - =1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰 为其虚轴的一个端点,则C的离心率为 .,答案,解析 不妨设F为左焦点(-c,0),点P在第一象限,因为线段PF的中点恰为双曲线C虚轴的一个端 点,由中点坐标公式得P(c,2b),又P在双曲线C上, - =1, =5,e= = .,24.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1: - =
31、1(a0,b0)的渐近线与抛物线C 2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为 .,答案,解析 设点A在点B左侧,抛物线C2的焦点为F,则F .联立得 和 分别解得 A ,B . F为OAB的垂心, AFOB, kAFkOB=-1, 即 =-14b2=5a24(c2-a2)=5a2 = ,e= = .,考点一 双曲线的定义和标准方程 (2017课标全国理,5,5分)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的一条渐近线方程为y= x,且与 椭圆 + =1有公共焦点,则C的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,C组
32、 教师专用题组,答案 B 本题考查求解双曲线的方程. 由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为 - =k(k0),即 - =1,双曲线与椭圆 + =1有公共焦点,4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为 - =1.故选B. 一题多解 椭圆 + =1的焦点为(3,0),双曲线与椭圆 + =1有公共焦点,a2+b2=(3)2 =9,双曲线的一条渐近线为y= x, = ,联立可解得a2=4,b2=5.双曲线C的方 程为 - =1.,考点二 双曲线的几何性质 1.(2014广东,4,5分)若实数k满足0k9,则曲线 - =1与曲线 - =1的 ( ) A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴
33、长相等 D.离心率相等,答案 A 00,25-k0. - =1与 - =1均表示双曲线, 又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9, 它们的焦距相等,故选A.,2.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则 cosAF2F1= ( ) A. B. C. D.,答案 A 由题意得 解得|F2A|=2a,|F1A|=4a, 又由已知可得 =2,所以c=2a,即|F1F2|=4a, cosAF2F1= = = .故选A. 评析 本题考查了双曲线的定义、余弦定理等基础知识.考查基本运算能力.,3.(2015湖北,8,5分)
34、将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0) 个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则 ( ) A.对任意的a,b,e1e2 B.当ab时,e1e2;当ab时,e1e2,答案 D 依题意有e1= = , e2= = . 而 - = , a0,b0,m0, 当ab时, ,有e1e2.故选D.,4.(2017课标全国文,14,5分)双曲线 - =1(a0)的一条渐近线方程为y= x,则a= .,答案 5,解析 由题意可得 = ,所以a=5.,5.(2014北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与 -x2=1具有相同渐近线,则C的方程为 ;渐近线方程为
35、.,答案 - =1;y=2x,解析 根据题意,可设双曲线C: -x2=(0),将(2,2)代入双曲线C的方程得=-3,C的方程为- =1.渐近线方程为y=2x. 评析 本题考查双曲线的基本性质,考查学生对双曲线的渐近线的熟悉程度,若不熟悉共渐近 线的双曲线系方程,则必须分类讨论求解.,6.(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C: -y2=1(a0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近 线上,AFx轴,ABOB,BFOA(O为坐标原点). (1)求双曲线C的方程; (2)过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l: -y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x= 相交于点N. 证明
36、:当点P在C上移动时, 恒为定值,并求此定值.,解析 (1)设F(c,0),因为b=1,所以c= , 直线OB的方程为y=- x,直线BF的方程为y= (x-c),解得B . 又直线OA的方程为y= x,则A ,kAB= = .又因为ABOB,所以 =-1,解得a2 =3, 故双曲线C的方程为 -y2=1. (2)由(1)知a= ,则直线l的方程为 -y0y=1(y00), 即y= . 因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M ; 直线l与直线x= 的交点为N ,则 = = = . 因为P(x0,y0)是C上一点,则 - =1,代入上式得= = = , 所求定值为 = = . 评
37、析 本题考查双曲线的标准方程、直线方程、直线与双曲线的综合问题,考查考生综合应 用能力、整体代换思想以及转化与化归思想的应用,准确表示出点M与点N的坐标及正确选择 参数是解决本题的前提,注意点P(x0,y0)与双曲线的关系是化简的关键.考查运算求解能力及推 理论证能力.,考点一 双曲线的定义和标准方程 (2018浙江宁波高三期末,15)已知双曲线C的渐近线方程是y=2 x,右焦点F(3,0),则双曲线C 的方程为 ,又若点N的坐标为(0,6),M是双曲线C的左支上一点,则FMN周长的最 小值为 . 答案 x2- =1;6 +2,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,解析 由 解得
38、 所以双曲线C的方程为x2- =1. 由题意知FMN的周长为|MN|+|FM|+|FN|=|MN|+|FM|+3 , 设双曲线的左焦点为F1(-3,0),则由双曲线的定义知 |MN|+|FM|=|MN|+|F1M|+2|NF1|+2=3 +2, 当且仅当M,N,F1共线时取到等号.所以FMN周长的最小值为6 +2.,考点二 双曲线的几何性质 1.(2018浙江金华十校模拟(4月),2)双曲线 -y2=1的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 由题可知,a=2,b=1,所以c= = ,故离心率e= ,故选C.,2.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),2)若y= x是曲线C:
39、 - =1(a,b0)的一条渐近线, 则C的离心率为 ( ) A.3 B. C. D.,答案 B 由题意知 = ,所以 =2,则 =3,即 =3,即e= ,故选B.,3.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),8)双曲线右支上存在点P使得PAF= ,PA=AF,其中 A是双曲线的右顶点,F是左焦点,则双曲线的离心率为 ( ) A. B. C.2 -2 D. +1,答案 C 设双曲线的方程为 - =1. 则根据题意得点P ,则有 - =1,化简得e3+5e2-4e-8=0e1,e= 2 -2.,4.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),6)已知F1、F2为双曲线C: - =1(a0,b0)的左
40、、右焦点, 点P在C上,|PF1|=3|PF2|,且cosF1PF2= ,则双曲线的离心率e= ( ) A. B. C.2 D.3,答案 A 由双曲线定义及|PF1|=3|PF2|,得|PF1|=3a,|PF2|=a. 由余弦定理得cosF1PF2= = ,得e= = .故选A.,5.(2017浙江台州4月调研卷(一模),2)已知双曲线 -y2=1的一条渐近线方程是y= x,则双曲线 的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 双曲线 -y2=1的渐近线方程为y= ,所以 = ,解得a= ,所以离心率e= ,故选D.,6.(2017浙江镇海中学模拟卷二,6)已知双曲线C: - =1(
41、a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2, 过F1的直线l与双曲线的左支交于点A,与右支交于点B.若|AF2|=|BF2|,且|AB|=2b,则双曲线C的离 心率是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 易知|AF1|=|AF2|-2a,|BF1|=|BF2|+2a,所以|AB|=|BF1|-|AF1|=4a=2b,因此b=2a, 所以e= = = = .故选D.,7.(2016浙江嘉兴第一中学期中,7)设双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,离 心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三 角形,则e2= ( ) A.1
42、+2 B.4-2 C.5-2 D.3+2,答案 C 设|AF1|=|AB|=m,则|BF1|= m,|AF2|=m-2a,|BF2|= m-2a,|AB|=|AF2|+|BF2|=m,m-2a + m-2a=m4a= m,|AF2|= m.AF1F2为直角三角形,|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2,4c2 = m2,4c2= 8a2,e2=5-2 ,故选C.,8.(2018浙江新高考调研卷四(金华一中),11)双曲线 -y2=1的实轴长是 ,焦点到渐 近线的距离是 .,答案 4;1,解析 易知实轴长2a=4,焦点F(c,0)到渐近线bxay=0的距离d= =b=1.,9.(2018浙江
43、名校协作体,16)双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为F,过F的直线l与双曲线的渐 近线交于A,B两点,且与其中一条渐近线垂直,若 =3 ,则此双曲线的离心率为 .,答案,解析 设渐近线l1的倾斜角为,且ABl1,则由题意知tan = ,且满足tan 2=4tan ,利用二倍角 公式展开,知 =4tan ,故tan2= ,所以 = ,即e2= ,因此e= .,1.(2018浙江杭州高三教学质检,2)双曲线x2- =1的渐近线方程为 ( ) A.y= x B.y=2x C.y= x D.y= x,B组 20162018年高考模拟综合题组 (时间：15分钟 分值：24分),一、选择题,答案 B
44、 解法一:易知a=1,b=2,所以渐近线方程为y=2x,故选B. 解法二:令x2- =0,得y2=4x2,所以渐近线方程为y=2x,故选B.,2.(2018浙江诸暨高三期末,8)已知双曲线的标准方程 - =1(a0,b0),F1,F2为其左,右焦点,若 P是双曲线右支上一点,且tanPF1F2= ,tanPF2F1=2,则该双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 设点P(x,y)(其中x0), 由 得 代入双曲线方程,可得1= - ,将c2=a2+b2代入并化简,得32= - ,解得 =4,所以 = 5,所以e= .,3.(2018浙江教育绿色评价联盟适应性试卷(5月),8
45、)已知F1,F2是双曲线 - =1(a0,b0)的左, 右焦点,P是双曲线上一点,且PF1PF2,若PF1F2的内切圆半径为 ,则该双曲线的离心率为 ( ) A. -1 B. C. D. +1,答案 C 由题意知即 由2+2得2( + )=5a2+4ac+4c2,即8c2=5a2+4ac+4c2, 故4e2-4e-5=0,解得e= (负的已舍),故选C.,4.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),5)F1、F2是双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点,过F1作一 条渐近线l的垂线交另一条渐近线于一点P,若PF2l,则双曲线的离心率是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.,答案 C 设过点F1
46、作渐近线l:y= x的垂线的方程为y=- (x+c),联立 解得即P ,所以 = ,即b2=3a2,因此e=2,故选C.,5.(2017浙江名校(绍兴一中)交流卷一,9)如图,双曲线 - =1(a0,b0)的中心在坐标原点,焦 点在x轴上,A1,A2为双曲线实轴的两端点,B1,B2为虚轴的两端点,F2为右焦点,直线B2F2与A2B1交于 点P,若B1PB2为钝角,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )A. B. C. D.,答案 D 由已知得,B1(0,-b),B2(0,b),A2(a,0),F2(c,0),所以 =(-a,-b), =(-c,b).显然B1PB2 ,因为B1PB2为钝角,所以 =ac-b20,又e1,解得e ,故选D.,6.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,9)已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率e ,A,B 是双曲线上关于x轴、y轴均不对称的两个点,线段AB的中垂线与x轴交于P(1,0),AB的中点为 C(x0,y0),则x0的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 两式相减,得 - =0, 所以kAB= , 因此弦AB的中垂线方程为y-y0=- (x-x0), 把(1,0)代入得,-y0=- (1-x0), 所以x0= ,故选B.,
