椭圆经典例题分类汇总.doc

1、1椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例 1 椭圆的一个顶点为 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程02，A分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（1）当 为长轴端点时， ， ， a1b椭圆的标准方程为： ；142yx（2）当 为短轴端点时， ， ，0，Ab4a椭圆的标准方程为： ；1642yx说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况例 2 已知椭圆 的离心率 ，求 的值1982ykx21ek分析：分两种情况进行讨论解：当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 由 ，得 x82a92b12kc2e4k当椭圆的焦

2、点在 轴上时， ， ，得 y9k由 ，得 ，即 21e419k5满足条件的 或 说明：本题易出现漏解排除错误的办法是：因为 与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦8k点可能在 轴上，也可能在 轴上故必须进行讨论xy例 3 已知方程 表示椭圆，求 的取值范围1352k解：由 得 ，且 ,0,k4满足条件的 的取值范围是 ，且 53k说明：本题易出现如下错解：由 得 ，故 的取值范围是 ,0k53k2出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 这个条件，当 时，并不表示椭圆0baba例 4 已知 表示焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围1cossin22yx)0(y分析：依据已知条件确定 的三角函数的大小关

3、系再根据三角函数的单调性，求出 的取值范围解：方程可化为 因为焦点在 轴上，所以 1cossin122yxy0sin1co因此 且 从而 0ta)43,2(说明：(1)由椭圆的标准方程知 ， ，这是容易忽视的地方0sin10cos1(2)由焦点在 轴上，知 ， (3)求 的取值范围时，应注意题目中的条件yco2ain2b0例 5 已知动圆 过定点 ，且在定圆 的内部与其相内切，求动圆圆心P03，A6432yxB：的轨迹方程分析：关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式解：如图所示，设动圆 和定圆 内切于点 动点 到两定点，MP即定点 和定圆圆心 距离之和恰好等于定圆半径，03，03，即 点 的

4、轨迹是以 ， 为两焦点，8BMPBA AB半长轴为 4，半短轴长为 的椭圆的方程： 7342b 1762yx说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法2.焦半径及焦三角的应用例 1 已知椭圆 ， 、 为两焦点，问能否在椭圆上找一点 ，使 到左准线 的距1342yxF2 Ml离 是 与 的等比中项？若存在，则求出点 的坐标；若不存在，请说明理由MN12解：假设 存在，设 ，由已知条件1yxM， 得， ， ， 2a3bc2e左准线 的方程是 ，l4 14xN又由焦半径公式知：3， 1112xeaMF1122xeaMF ， 12

5、N1114整理得 083512x解之得 或 4152另一方面 2x则与矛盾，所以满足条件的点 不存在M例 2 已知椭圆方程 ，长轴端点为 ， ，焦点为 ， ， 是椭圆上一012bay1A21F2P点， ， 求： 的面积（用 、 、 表示） 21PA1F21PFab分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用 求面CSsin2积解：如图，设 ，由椭圆的对称性，不妨设 ，由椭圆的对称性，不妨设 在第一yx， yx， P象限由余弦定理知： 21F221P1F224cos由椭圆定义知： ，则 得 aP21 2 cs121bP故 sin2121FSPF sinco12bta23.第二定义应用

6、例 1 椭圆 的右焦点为 ，过点 ，点 在椭圆上，当 为最小值126yx3，AMMFA2时，求点 的坐标M分析：本题的关键是求出离心率 ，把 转化为 到右准线的距离，从而得最小21eF值一般地，求 均可用此法FeA1解：由已知： ， 所以 ，右准线4ace 8xl：过 作 ，垂足为 ，交椭圆于 ，故lQMMFQ2显然 的最小值为 ，即 为所求点，MFA2AQ4因此 ，且 在椭圆上故 所以 3My 32Mx32，说明：本题关键在于未知式 中的“2”的处理事实上，如图， ，即FA 21e是 到右准线的距离的一半，即图中的 ，问题转化为求椭圆上一点 ，使 到 的FQMA距离与到右准线距离之和取最小值

7、例 2 已知椭圆 上一点 到右焦点 的距离为 ，求 到左准线的距离142byxP2Fb)1(P分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解解法一：由 ，得 ， ， 2yxbac32e由椭圆定义， ，得PF41bbPF3421由椭圆第二定义， ， 为 到左准线的距离，ed11 ，bePFd321即 到左准线的距离为 解法二： ， 为 到右准线的距离， ，ed22P23ace 又椭圆两准线的距离为 beF32 bc38 到左准线的距离为 Pb238说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性否则就会产生误解椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运

8、用自如一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义例 3 已知椭圆 内有一点 ， 、 分别是椭圆的左、右焦点，点 是椭圆上1592yx)1,(AF2 P一点(1) 求 的最大值、最小值及对应的点 坐标；1PFAP5(2) 求 的最小值及对应的点 的坐标23PFAP分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法二是数形结合，即几何方法本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解解：(1)如上图， ， ， ，设 是椭圆上任一点，由62a)0,(

9、2F2AP， ，1PFP，等号仅当 时成立，此6221aA 2AFP时 、 、 共线2由 ， ，等号仅当2AFP 62221 aAFPP时成立，此时 、 、 共线2AA2F建立 、 的直线方程 ，解方程组 得两交点20yx4595,02yx、 )1457,9(1P )17,249(2P综上所述， 点与 重合时， 取最小值 ， 点与 重合时，1FA26P2取最大值 2FA6(2)如下图，设 是椭圆上任一点，作 垂直椭圆右准线， 为垂足，由 ， ，PPQQ3a2c由椭圆第二定义知 ， ， ，要3e 322eF23FPQAFP2使其和最小需有 、 、 共线，即求 到右准线距离右准线方程为 AA9x6

10、 到右准线距离为 此时 点纵坐标与 点纵坐标相同为 1，代入椭圆得满足条件的点A27PA坐标 P)1,56(说明：求 的最小值，就是用第二定义转化后，过 向相应准线作垂线段巧用2Fe A焦点半径 与点准距 互化是解决有关问题的重要手段2PQ4.参数方程应用例 1 求椭圆 上的点到直线 的距离的最小值132yx06yx分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值解：椭圆的参数方程为 设椭圆上的点的坐标为 ，则点到直线的.sinco3y， sinco3，距离为263si26sico3d当 时， 13sin最 小 值d说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲

11、线的参数方程例 2 (1)写出椭圆 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积492yx分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题解：(1) sin2co3yx)(R7(2)设椭圆内接矩形面积为 ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于 轴和 轴，设Sxy为矩形在第一象限的顶点， ，)sin2,co3()20(则 12sini4S故椭圆内接矩形的最大面积为 12说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便例 3 椭圆 与 轴正向交于点 ，若这个椭圆上总存在

12、点 ，使12byax)0(xAP( 为坐标原点)，求其离心率 的取值范围APOe分析： 、 为定点， 为动点，可以 点坐标作为参数，把 ，转化为 点坐PAO标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于 、 、 的一个不等式，转化为关于 的不等abce式为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程解：设椭圆的参数方程是 ，sincobyx)0(则椭圆上的点 ， ，),cos(aP,aA ， ，AO1ii即 ，解得 或 ，0coss)( 222babacos2sba （舍去） ， ，又1co112ba22c ， ，又 ， 20ae0ee说明：若已知椭圆离心率范围 ，求证在椭圆上总存在点 使 如何证明？)1,2

13、( PAO5.相交情况下-弦长公式的应用例 1 已知椭圆 及直线 142yxmxy（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？m（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程50解：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得 ，mxy142yx1422mx8即 ，解01252mx02165422m得 5（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）得 ， x2 521x5121mx根据弦长公式得 ： 解得 方程为 05412m0y说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式 ；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦

14、长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系） ，可大大简化运算过程例 2 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在 轴上的椭圆，过它对的左焦点 作倾斜解为 的直线x1F3交椭圆于 ， 两点，求弦 的长ABA分析：可以利用弦长公式 求得，4)(11212122 xxkk也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为 ， ，所以 因为21xkAB 4)(21212xxk6a3b3c焦点在 轴上，所以椭圆方程为 ，左焦点 ，从而直线方程为 9362y)0,3(F9xy由直线方程与椭圆方程联立得： 设 ， 为方程两根，所以86721x1x2，

15、， ， 从而13721x3821xk1348)(22122 xxkAB(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为 ，设 ， ，则 ，19362yxmAF1nB1mAF129nBF12在 中， ，即A 3cos221122 FAFA；363)(2 mm所以 同理在 中，用余弦定理得 ，所以 4621B346n1348nmAB(法 3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程 求出方程的两根 ， ，它们分别是 ，08367213x1x2A的横坐标B再根据焦半径 ， ，从而求出11exaAF2eaB1BFA6.相交情况下点差法的应用例 1 已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆与直线 交

16、于 、 两点， 为 中点，01yxMAB的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程OM解：由题意，设椭圆方程为 ，1yax由 ，得 ，102yax02x ， ，21aM 21ayM， ，42xykO2 为所求142说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题例 2 已知椭圆 ，求过点 且被 平分的弦所在的直线方程12yx21，P分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为 ，利用条件求 kk解法一：设所求直线的斜率为 ，则直线方程为 代入椭圆方程，并整理得k21xy100231221kxkxk由

17、韦达定理得 21 是弦中点， 故得 P21x21k所以所求直线方程为 034y分析二：设弦两端坐标为 、 ，列关于 、 、 、 的方程组，从而求斜1x， 2y， 1x21y2率： 21xy解法二：设过 的直线与椭圆交于 、 ，则由题意得1，P1yxA， 2yxB，1.22121yxyx， ，得 0212y将、代入得 ，即直线的斜率为 21x21所求直线方程为 034y说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用

18、”及“点差法” 有关二次曲线问题也适用例 3 已知椭圆 ， （1）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程；2yx21，P（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；1，A11（4）椭圆上有两点 、 ， 为原点，且有直线 、 斜率满足 ，PQOOPQ21OQPk求线段 中点 的轨迹方程 M分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为 ， ，线段 的中点 ，则1yx， 2yxN， MNyxR， ， ， ，yxy2121得 02212111 x由题意知 ，则上式两端同除以 ，有2xx，0212121 xyy将代入得

19、21（1）将 ， 代入，得 ，故所求直线方程为： 2x1y21xy 0342yx将代入椭圆方程 得 ， 符合题意，204601643为所求034yx（2）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）21 04yx（3）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）21xy 22（4）由得 ： ， ， 将平方并整理得22121y， ， ， 21214xx 212214yy将代入得： ， 421212x再将 代入式得： ， 即 2121xy 24121xy1212yx此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例 4 已知椭圆 ，试确定 的取值范围，使得对于直线 ，椭圆 上有13

20、42yxC： mmxyl4： C不同的两点关于该直线对称分析：若设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，则已知条件等价于：(1) 直线 ；(2)弦 的ABl lAB中点 在 上Ml利用上述条件建立 的不等式即可求得 的取值范围解：(法 1)设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，直线 与 交于 点),(1yx),(2yxll),(0yxM 的斜率 ，设直线 的方程为 由方程组 消去 得l4lkABnx41,1342yxn。 于是 ，08168322nx 13821 210，3400y即点 的坐标为 点 在直线 上， 解M)1,(Mmxy4mn134得 mn1将式代入式得 0869232x ， 是椭圆上的两

21、点， 解AB 0)48169(34)(2m得 132m(法 2)同解法 1 得出 ， ，n4x)413(0，即 点坐标为 mxy)(400M)3,(m ， 为椭圆上的两点， 点在椭圆的内部， 解得ABM1)4)(22132m(法 3)设 ， 是椭圆上关于 对称的两点，直线 与 的交点 的坐标为),(yxA),(2yxBlABlM13),(0yx ， 在椭圆上， ， 两式相减得AB13421yx1342yx，0)()(321212121 x即 4210210 y)(421021xyxy又直线 ， ， ，即 。lABlABk43003又 点在直线 上， 。由，得 点的坐标为 以下同解Mlmxy0

22、M)3,(m法 2.说明：涉及椭圆上两点 ， 关于直线 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满l足的不等式：(1)利用直线 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元AB二次方程的判别式 ，建立参数方程0(2)利用弦 的中点 在椭圆内部，满足 ，将 ， 利用参数表示，建立),(yxM120byax0xy参数不等式例 5 已知 是直线 被椭圆 所截得的线段的中点，求直线 的方程)2,4(Pl19362l分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方程与椭圆方程联立消去 (或 )，得到yx关于 (或 )的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出 ，

23、(或 ，xy 21x12)的值代入计算即得21并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的解：方法一：设所求直线方程为 代入椭圆方程，整理得)4(2xky 036)4(8)14( 22kxk设直线与椭圆的交点为 ， ，则 、 是的两根，,1yA),(2yxB1x2 14)2(821kx 为 中点， ， 所求直线方程)2,(PB42k14为 082yx方法二：设直线与椭圆交点 ， 为 中点， ，),(1yxA),(2yxB),4(PAB821x421y又 ， 在椭圆上， ， 两式相减得AB36421yx362yx，0)()(2121yx即 直线方程为0)(4212122 y 21)(4121yxxy08yx方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 ，另一个交点 ),(yxA),8(yxB 、 在椭圆上， 。 AB3642yx 364)(22x从而 ， 在方程的图形 上，而过 、 的直线只有一条，直线方程为08082yx说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题， “设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法若已知焦点是 、 的椭圆截直线 所得弦中点的横坐标是 4，则如),3()0,(082yx何求椭圆方程？