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椭圆综合题目解法.doc

上传人:tangtianxu2 文档编号:2882563 上传时间:2018-09-29 格式:DOC 页数:20 大小:795.46KB
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资源描述

1、 椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程;(注:设直线时分斜率存在与不存在;设为 y=kx+b 与 x=my+n 的区别)2.设交点坐标;(注 :之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求” )3.联立方程组;4.消元韦达定理;(注:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单 )5.根据条件重转化;常有以下类型:“以弦 AB 为直径的圆过点 0”(注:需讨论 k 是否存在).12 1200OABKOABxy“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、 锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于 0 问题” ;120xy“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系( 或 ) ;12K

2、12K“共线问题” (如: 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法) ;AQB(如 :A、O、B 三点共线 直线 OA 与 OB 斜率相等) ;“点、线对称问题” 坐标与斜率关系;“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择) ;6.化简与计算;7.细节问题不忽略;判别式是否考虑;抛物线、双曲线问题中二次项系数是否为 0.二、基本解题思想:1.“常规求值”问题:需要找等式, “求范围”问题需要找不等式;2.“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;3.证明定值问题的方法:常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关;也可先在

3、特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。4.处理定点问题的方法:常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明.5.求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值) 、 三角代换法(转化为三角函数的最值) 、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决;6.转化思想:有些题思路易成,但难以实施,这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;椭圆中的定值、定点问题常见基本题型:在几何问题 中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过取参数和特殊值 来确定“定值”是多少,或者将该

4、问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒定的.(1)直线恒过定点问题1、已知点 0(,)Pxy是椭圆2:1xEy上任意一点, 直线 l的方程为 012xy, 直线 0l过 P 点与直线 l垂直,点 M(-1 ,0)关于直线 0l的对称点为 N,直线 PN 恒过一定点 G,求点 G 的坐标。2、已知 椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上,短轴长为 2,离心率为 2, P是椭圆在第一 象限弧上一点,且 12P,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭来源:学科网 圆于 A、B 两点。 (1)求 P 点坐标;(2)求证直线 AB 的斜率为定值;3、已知动直线 与椭圆 相

5、交于 、 两点,已知点 (1)ykx2:153xyCAB, 求证: 为定值.7(,0)MAMB4、 在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆2:13xCy.如图所示,斜率为 (0)k 且不 过原点的直线 l交椭圆 C于 A, B两点,线段 A的中点为 E, 射线 OE交椭圆C于点 G,交直线 3x于点 (,)Dm.()求 2k的最小值;()若2OD E,求证:直线 l过定点;椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型:对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解.(1)从直线和二次曲线的位置关

6、系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围。 5、已知直线 与 轴交于点 ,与椭圆ly(0,)Pm交于相异两点 A、 B, 且2:Cx,求 的取值范围3APB(2)利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围. 6、已知点 (4, 0)M, (1, )N, 若动点 P满足 6|MNP()求动点 P的轨迹 C的方程;()设过点 的直线 l交轨迹 于 A, B两点,若 181275NAB ,求 直线 l的斜率的取值范围.来源:学科网(3)利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点 为椭圆 : 上的 一动点,点 的坐标为 ,求 QE218xyA(3,1)APQ的取值

7、范围8.已知椭圆的一个顶点为 (0,)A,焦点在 x轴上.若右焦点到直线 20xy的距 离为 3.(1)求椭圆的方程.(2)设直线 (0)ykxm与椭圆相交于不同的两点 ,MN.当 |A时,求 m的 取值范围.9. 如图所示,已知圆 yxC),01(,8)1(:2定 点为圆上一动点,点 P在 AM上,点 N在 M上,且满足 NAPA点,的轨迹为曲线 E.(I)求曲线 E的方程;(II)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E于不同的两 来源:学科网 ZXXK点 ,GH(点 在点 ,之 间) ,且满足 FHG,求 的取值范围10、.已知椭圆 E的中心在坐标原点 O,两个焦点分别为 )0,1(A、

8、),(B,一个顶点为)0,2(H.(1)求椭圆 的标准方程;(2)对于 x轴上的点 )0,(tP,椭圆 E上存在点 M,使得 HP,求 t的取值范围. 11.已知椭圆 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴2:1yCab)2长 为半径的圆与直线 相切20x()求椭圆 的方程;()若过点 (2,0)的直线与椭圆 相交于两点 ,设 为椭圆上一点,且满 MC,ABP足 ( O 为坐标原点) ,当 时,求实数 取值范围PtBAP253t椭圆中的最值问题一、常见基本题型:(1)利用基本不等式求最值,12、已知椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上,短轴长为 2,离心率为 2, P是椭圆在第一 象限弧上一点,

9、且 12P,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、 PB 分别交 椭圆于 A、B 两点,求 PAB 面积的最大值。(2)利用函数求最值,13.如图, DPx轴,点 M 在 DP 的延长线上,且 |2|DMP当点 P 在圆21xy上 运动时。 (I)求点 M 的轨迹 C 的方程;()过点 2(0,)1Tty作 圆 的切线 l交曲线 C 于 A,B 两点,求AOB 面 积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标。14、已知椭圆 .过点 作圆 的切线 交椭圆 G 于 A,B 两点.2:14xGy(,0)m21xyl将| AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值.选做1、已知 A、B、C

10、 是椭圆 )0(1:2bayx上的三点,其中点 A 的坐标为 )0,32(,BC 过椭圆 m 的中心,且 |2|,CBCA(1)求椭圆 的方程;(2)过点 ),(tM的直线 l(斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P,Q,设 D 为椭圆 m 与 y轴负半轴的交点,且 |DQP.求实数 t 的取值范围2.已知圆 : 及定点 ,点 是圆 上的动点,点 在22()()xmynr(1,0)NM上,点 在 上, 且满足2 , GQ P NPG0(1)若 ,求点 的轨迹 的方程;1,04nrC(2)若动圆 和(1)中所求轨迹 相交于不同两点 ,是否存在一组正实数 ,M,AB,mnr使得直线 垂直平分线段 ,

11、若存在,求出这组正实数;若不存在,说 明理由NAB3、已知椭圆 的中心在坐标原 点,焦点在 轴上,椭圆 上的点到焦点距离的最大值为CxC,最小值为 1()求椭圆 的标准方程;() 若直线 与椭圆 相交于 , 两点( 不是左右顶点) ,且以:lykxmCAB,为直径的圆过椭圆 的右顶点,求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标ABl4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m0) ,l 交椭圆于 A、B 两个不同点。(1)求椭圆的方程;(2)求 m 的取值范围;(3)求证直线 MA、MB

12、与 x 轴始终围成一个等腰三角形.参考答案1、解:直线 0l的方程为 00()2()xyx,即 002yxy 设 ),(M关于直线 l的对称点 N的坐标为 (,mn则00012xnmy,解 得320042048()xxny直线 PN的斜率为432000(4)nyxxkm从而直线 的方程为: 4320 008()()xyx即320042()18yxx从而直线 PN恒过定点 (,0)G 2、解:(1)设椭圆方程为21yxab,由题意可得 ,abc,所以椭圆的方程为214yx则 12(0,)(,)F,设 00(,),)P则 02PxyFxy21()1来源:学_科_网 Z_X_X_K点 0(,)xy在

13、曲线上,则20.4xy22004yx从而22004()1,得 0,则点 P的坐标为 (1,)。(2)由(1)知 1/PFx轴,直线 PA、PB 斜率互为相反数,设 PB 斜率为 (0)k,则 PB 的直线方程为: 2(1)ykx 由 2(1)4ykx得 2 2()()()40kxkxk设 (,)Bxy则22()1Bkk同理可得2A,则 24ABx28(1)()ABABkykx所以直线 AB 的斜率 AByx为定值。3、 解: 将 代入 中得 (1)ykx215322(3)6350kxk, 422236()480k,1221x2531x所以 122277(,)(,)()3MAByy127()3x

14、kx2211249()k2 223576()31kk。42231649k4、 解:()由题意:设直线 :(0)lykxn,由 213ykxn消 y 得: 22(3)63,2264()(1)knkn2(1)0kn设 A 1(,)xy、B 2(,),AB 的中点 E 0(,)xy,则由韦达定理得: 来源:学科网12= 263kn,即 0231knx, 0231kn213nk,所以中点 E 的坐标为 2(,2),因为 O、E、D 三点在同一直线上,所以 kK,即 13mk, 解得 1k,所以 2m= 2,当且仅当 时取等号, 即 2mk的最小值为 2.()证明:由题意知:n0,因为直线 OD 的方程

15、为 3yx,所以由 231yx得交点 G 的纵坐标为2Gm,又因为 23Enyk, Dym,且 2OD E,所以2231nmk,又由()知: 1,所以解得 kn,所以直线 l的方程为 :lykx,即有 :()lykx, 令 1得,y=0,与实数 k 无关,5、 解:(1)当直线斜率不存在时: 2m(2)当直线斜率存在时:设 与椭圆 C 交点为 l12(,)(,)AxyB得 21ykx22()0kxk(*) ()414()mm2121,xxkk , ,3APB23 . 消去 ,得 ,12xx211()40x2213()40km整理得 24时,上式不成立; 时, , 214221mk , 或204

16、mk1把 代入(*)得 或2212 或 1m综上 m 的取值范围为 或 。26、解:()设动点 (, )Pxy,则 (4, )Mxy, (3, 0)N,(1, )PNxy. 由已知得 22)(1(6)4(3yx,化简得 2xy,得23.所以点 P的轨迹 C是椭圆 , 的方程为 1342yx. ()由题意知,直线 l的斜率必存在,不妨设过 N的直线 l的方程 为 (1)ykx,设 A, B两点的坐标分别为 1, A, 2, By.由 2(1),43ykx消去 y得 22(43)8410kxk. 因为 N在椭圆内,所以 0.所以21228,4.3kx因为 211212()()()NABxykx1)

17、()1(212xxk 22243)(9438kk, 所以 2189()175 . 解得 .7、 解: ,设 Q( x, y) , ,(,3)AP (3,1)Axy 16Qxy ,即 ,218y2(3)8而 ,186 xy18 2(3)|xxy则 的取值范围是0,36 来源:学*科*网2()618yxy的取值范围是6,63x 的取值范围是12,0 36APQxy8、解:(1)依题意可设椭圆方程为21a,则右焦点 21,0Fa由题设2|1|3a,解得 23, 故所求椭圆的方程为21.xy(2)设 (,)Py、 (,)M、 (,)Nxy,为弦 N的中点,由 213ykmx得 22(31)6()0kx

18、k直线与椭圆相交, 2222(6)4(31)()031,mkmk2MNPxk,从而 2Pmyx,2131PAymkkx,又 |,AMNP则:2k,即 2k,把代入得 2,解 0, 由得 213mk,解得 12. 综上求得 的取值范围是 . 9、解:() .0,AMNPANP 为 AM的垂直平分线,|NA|=|NM| 又 .2|,2| CCN动点 N 的轨迹是以点 C(1,0) , A(1,0)为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为 ,a焦距 2c=2. .1,2bca曲线 E 的方程为 .2yx ()当直线 GH 斜率存在时,设直线 GH 方程为 ,12, yxkxy代 入 椭 圆 方 程得 .30.3

19、4)21(2 kxk得由设 2212121 ,4),(, kxxyHG则 ),(),(, 21yF又 21212122121 )(., xxxxx ,2222 )()1(36,3)1(4kkk整 理 得.31.36214.31624,32 解 得kk.1,10又又当直线 GH 斜率不存在,方程为 .31,0FHGx)1,3,13的 取 值 范 围 是即 所 求 10、解:(1)由题意可得, c, 2a, 3b 所求的椭圆的标准方程为: 143xy (2)设 ),(0M)2( ,则 20143xy 且 ,0yxtP, ),(0H, 由 H可得 ,即 )2(200t 由、消去 y整理得 341)2

20、(00xxt 0x 2341)2(t 0, t t的取值范围 为 )1,2(. 11、 解:()由题意知 , 所以 2cea221cabe即 又因为 ,所以 , 2ab1221b故椭圆 的方程为 C2yx()由题意知直线 的斜率存在.AB设 : , , , ,AB(2)ykx1(,)Ay2(,)Bx(,)Pxy由 得 .2,1.280k, . 4226()0k21, .来源:学|科|网 Z|X|X|K2128xk218kxA , , ,OPtBA12(,)(,ytxy2128()xkt.121224()()ykkxt t点 在椭圆上, ,P2228()(1)tktk . 216()kt , ,

21、PBA532153kx221120()49kxxA ,4222680(1)9kA , . 22(413214k , , ,21k226()t222681ktk 或 ,3tt实数 取值范围为 . t )2,36()2,(12、解、设椭圆方程为21yxab,由题意可得 2,2abc,故椭圆方程为 14yx 设 AB 的直线方程: mxy2.由 142yxm,得 04422x,由 0)(6)(22,得 P 到 AB 的距离为 3|d,则 3|)214(|21mABSB 2)8(8)(822 m。来源:Zxxk.Com当且仅当 ,取等号, 三角形 PAB 面积的最大值为 2。来源: 13、 解:设点

22、M的坐标为 yx,点 P的坐标为 0,yx,则 0x, 02y,所以 0, 20, 因为 0,P在圆 1上,所以 10yx 将代入,得点 M的轨迹方程 C 的方程为 42 ()由题意知, 1|t当 t时,切线 l的方程为 y,点 A、B 的坐标分别为 ),123(,(此时 3|AB,当 1t时,同理可得 |AB; 当 1t时,设切线 l的方程为 ,mkxyR由 ,142xtky得 042)(t设 A、B 两点的坐标分别为 ),(,21yx,则由得:22121 4,4ktxktx又由 l 与圆 2y相切,得 ,1|2t即 .12kt 所以 2121)()(|xAB 4)()(222kttk .3

23、|t因为 ,|3|4|3|2tt且当 3t时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2来源:学.科.网 Z.X.X.K依题意,圆心 O到直线 AB 的距离为圆 12yx的半径,所以 AB面积 21AS,当且仅当 3t时, 面积 S 的最大值为 1,相应的 T的坐标为 ,0或者 3,14、 解:由题意知, .|1m当 时,切线 的方程为 ,点 A,B 的坐标分别为 ,lx3(1,),)2此时 ;|3AB当 时,同理可得 ;1m|当 时,设切线 的方程为 .l()ykxm由 得 .2()14ykx222(4)840k设 A,B 两点的坐标分别为 .12(,),xy又由 与圆 相切, 得 ,即 .l

24、2xy2|km21k所以 2222111|()()()4ABxykxx.422264()km23|m由于当 时, ,1|3,243|4| 2|ABm当且当 时, .所以|AB|的最大值为 2.|AB选做1、 解(1)椭圆 m: 142yx(2)由条件 D(0,2) M(0,t)来源:Z+xx+k.Com1当 k=0 时,显然20 可得 2k 设 ),(),(,1 yxHPQyP中 点则 2203tx 2031kt ),(2ktH 由 kPODPDH| 即 22 311031tkkt 化 简 得 t1 将代入得 1t4t 的范围是(1,4)综上 t(2,4) 2、解:(1) ,NPQ点 为 PN

25、的中点,又 0G, 或 G点与 Q点重合 .|GNP 又 |4.MM点 G的轨迹是以 ,MN为焦点的椭圆,且 2,1ac, 23,bacG的轨迹方程是21.43xy(2)解:不存在这样一组正实数,下面证明: 由题意,若存在这样的一组正实数,当直线 MN的斜率存在时,设之为 k,故直线 的方程为: (1)yx,设 12(,)(,)AxyB, A中点 0(,)Dxy,则21243xy,两式相减得:12121212()()043xxyy注意到 12yxk,且120xy,则 0314xyk , 又点 D在直线 MN上, 0(1)x,代入式得: 0x因为弦 AB的中点 在所给椭圆 C内,故 02x, 这

26、与 04矛盾,所以所求这组正实数不存在 当直线 的斜率不存在时,直线 MN的方程为 1,则此时 12,yx,代入式得 120x,这与 AB是不同两点矛盾综上,所求的这组正实数不存在 3、解:()椭圆的标准方程为 来源:学科网 ZXXK2143xy()设 , ,1(), 2()B,联立 , 得 ,21.43ykxm, 22(34)84(3)0kxm22 21226()00834().mkkxkA, 即 , 则,又 ,221121123(4)()mkyxmkxmx因为以 为直径的圆过椭圆的右焦点 ,B0D,即 ,ADk12yxA,12()4y,223(4)360mmkk来源:学#科#网 Z#X#X

27、#K2960解得:, ,且均满足 ,127234k当 时, 的方程为 ,直线过定点 ,与已知矛盾;1mkl()yx(20),当 时, 的方程为 ,直线过定点 2l()7(7,所以,直线 过定点,定点坐标为 l 0),4、解:(1)设椭圆方程为 )(12bayx则 28142baa解 得椭圆方程为 82yx(2)直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距 m, 又 KOM= 21mxyl21的 方 程 为 :由 0412822yx直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点, 分且解 得 8.0,)4()(22m(3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k 2,只需证明 k1+k2=0 即可设 4,),(),(2121 mxxyxBA且则 ,21kk由 可 得042mx,211 而 )2()(1)1(22121 xyyxyk)2()1(442)()()(1211 12xmmx0 13.0)(2121k 分故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。

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