1、一、 填空题：(每题 4 分，共 24 分)1已知事件 与 相互独立， ， ，则概率 为 AB(0.4PA()0.7B()PBA。2某次考试中有 4 个单选选择题，每题有 4 个答案，某考生完全不懂，只能在4 个选项中随机选择 1 个答案，则该考生至少能答对两题的概率为 ，3若有 ， = ，则 （ ， ）(0,)N2N4若随机变量 服从参数为 的泊松分布，且 ,则参数 XDXE45设连续型随机变量 的概率密度为 ，且 ，则2(1)01)xf其 他 2的概率密度为 。6设总体 的分布，当 已知， 为来自总体的样本，2(,)XN12,nX则统计量 服从 分布。nii12二、选择题：(每小题 4 分
2、，共 20 分)1. 设事件 是三个事件，作为恒等式，正确的是（ ）,ABCA. B. ()ABCC. D. ()()()B2. 张奖券有 张有奖的， 个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概nmk率是（ ） 。A. B. 1knC knmCC. D. knm1rkrn3. 设 ， ，则由切比雪夫不等式知 （ ）EX2D(4)PXA. B. C. D. 146516151654. 如果随机向量 的联合分布表为：),(-1 0 21 0.10 0.35 0.102 0.20 0.20 0.05则协方差 =（ ）),cov(A.-0.2 B. 0.1 C.0 D. 0.15. 设总体 ， （ ）
3、是 的简单随机样本，则为使2(,)N12,nX 为 的无偏估计，常数 应为( )12niiiCXCA. B. C. D. n1n12()n12n三、计算题：待用数据（ ， 0.9750.9750.950.95(3)2.,(36)2.81,(3).68,(3).68tttt, , ）841)(741三个人同时射击树上的一只鸟，设他们各自射中的概率分别为0.5，0.6，0.7。若无人射中鸟不会坠地；只有一人射中的鸟坠地的概率为0.2；两人射中的鸟坠地的概率为 0.6；三人射中的鸟一定坠地的； (1) 当三个人同时向鸟射击实，问分别有一人、两人、三人射中鸟的概率？(2) 三人同时向鸟射击一次,求鸟坠
4、地的概率？2已知随机变量 的概率密度为 ，()xAe求：（1）系数 ；（2）求概率 ;(3) 的分布函数。A01)P3已知随机变量 的概率密度(,)XY340,12(,)xyyefxy其 他求(1)二维随机变量 的边缘概率密度; (2) 的概率密度。(,)YYX4设总体 ，待定参数 。 是来自总体的样本。 (1),0U012,n求 的极大似然估计；（2）求 的矩估计 ；（3）证明：矩估计量 为参 数 的无偏估计。 （14 分）5 （共 10 分）某中学入学考试中，设考生的数学考试成绩服从正态分布，从中任取 36 位考生的成绩，其平均成绩为 66.5 分，标准差为 15 分。(1) 问在 0.0
5、5 的显著性水平下，是否认为全体考生的数学平均成绩为 70 分？(2) 给出全体考生的数学平均成绩在置信水平为 0.95 下的置信区间。答案一1 0.5 ； 2. ； 3 . （ -1，4） ； 4. 2; 5. 2567其 他 ，,0,11)(yyp6. .2()n二1. B; 2. C; 3. B; 4. B; 5. C.三1 解：设 ，由题意知iA第 个 人 射 中 ， （ i=1,23）123()0.5,().6;()0.7PPA（1）又设 B0=三人都射不中；B 1=一人射中；B 2=恰有两人射中；B 3=三人同时射中，C=鸟坠地0123(),().,().,()1,CC 0().6
6、,P1.29P204P.2（2）由全概公式30()().53(iiiCB分 ）2解：（1）由于 )1xXdAe故 01xAe2（2） ()P 1100()22xxede（ 分 ） （ 分 ） （ 分 ）（3） 01012() 12 22xxx x xedFede （ 分 ）（ 分 ） （ 分 ）3 （1） (34)30 01()(,)xyxx xedffxy （ 分 ）（ 分 ） （ 分 ） 其 他(34)40 02()(,1 1)xyyy eefxfyd 其 他（ 分 ）（ 分 ） （ 分 ）(4)0,()(,)1202zzxfzfzxed （ 分 ） （ 分 ）,12,43zez4似然函数
7、为 ， nL)( ln)(lL令解得 0lnd iniX1max（2） 因为 ，故矩估计量得 2EX2。 ninii115解：（1）设考生的数学考试成绩作为总体 ,由题意知2()XN。6.,5XS01:7:0.H构造统计量 且 TSn4.13615|70.6| T而 ，即 0.97512()(3)2.tt12()tn故可以认为这次全体考生的数学平均成绩为 70 分。 （2）因为 故查表满足 的XTSn(1)t12()1XPtSn临界值得到置信水平为 0.95 的区间11122(),()nnSSXtXt 即区间 。 57.,4.6一、 填空题（共 20 分，每小题 4 分）1. 设事件 仅发生一
8、个的概率为 0.3,且 则 至少有一个发,AB()0.5,PABA生的概率为 。2. 设离散型随机变量 的分布函数为X022()351xFx则 的分布律为 X3. 设随机变量 服从参数为 的泊松分布，用切比雪夫不等式估计得到3。(|3|4)P4. 若随机变量 ,则方程 有实根的概率为 。16U210x5. 设 是来自正态总体 的一个简单随机样本， 则当1234,X)4,(N, ,时统计量 服从 分布。ab 22134()()XabX2二、 选择题（共 20 分，每小题 4 分）1若对任意的随机变量 ， 存在，则 等于（ ） 。E)(EA0 B C D XX2)(EX2设 和 是任两个概率不为
9、0 的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）（A） 和 不相容 （B） 和 相容A（C） （D ）()()PA()(P3. 设袋中有 只黑球， 只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两ab次，则第二次取出白球的概率为（ ） 。A B C D2)(b)1)(ba1ba)(ba4. 在下列函数中，可以作为随机变量的概率密度函数的是（ ）A. B2,01()xf其 他 2,01()xf其 他C Dcos,()0xf 其 他 ,()0xef5若 ,且 ，则 DZ=( )21),52(,3,YXNYPX2YXZA B C D 18853153三、 计算证明题 ( 共 60 分 )1（10 分）
10、 设有 2 台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率为0.03，第二台机床出废品的概率为 0.06，加工出来的零件混放在一起，并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。（1） 求任取一个零件是废品的概率（2） 若任取的一个零件经检查后发现是废品，则它是第二台机床加工的概率。2（14 分）若 D 是以点（0，0） ， （-1，1） ， （1，1）为顶点的三角形内部区域，二维随机变量（ ）在区域 D 内服从均匀分布,XY（1） 求出（ ）的联合概率密度函数（4 分）,（2） （4 分）1()2PYx（3） 求 概率密度的函数 （6 分）ZX3（12 分）假设生产线上组装每件产品的时间服从
11、指数分布，统计资料表明该生产线每件产品的组装时间平均为 5 分钟，各件产品的组装时间彼此独立。试用中心极限定理求：（1） 组装 100 件产品需要 6 到 10 小时的概率；（6 分）（2） 以 95%的概率在 8 个小时之内最多可以组装多少件产品？（6 分）( ,974.0)8(1)0.3,(2)0.97,(1.65)0.9,(3)0.987)4设总体 的概率密度为X其 他，0101),(2xxxf其中 是未知参数， 是总体 的样本观测值，),(21n X求：(1) 的矩估计 （4 分）(2) 的极大似然估计 ，并问 是 的无偏估计吗？请说明理LL由。 （8 分）5（12 分）机器自动包装某
12、食品，设每袋食品的净重服从正态分布，规定每袋食品的标准质量为 500g。某天开工后，为了检查机器是否正常工作，从包装好的食品中随机抽取 9 袋检查，测得净重为497, 507, 510, 475, 488, 524, 491, 515, 512在下列两种情况下检验包装机是否工作正常（显著性水平为 ） 。 0.5(1) 若 未知，该选用什么统计量，什么分布？2(2) 若 =16，通过 Excel 计算得到以下表格，问判断包装机是否工作正常。z-检验: 双样本均值分析变量 1 变量 2平均 502.1111111 500已知协方差 16 1E-11观测值 9 1假设平均差 0Z 1.5833333
13、33P(Z=.05p不拒绝0(或则， z=1.58340034()12()xytsytstFed-=（3） 01,2P381(2)()(,0)(,)FFe-=+七解：设 1250iiih = 第 个 产 品 为 不 合 格 ， ， ，第 个 产 品 为 合 格则 的分布律为i i1 0p 54故 。15iEh=设 为查得的不合个品数，则x1nixh=E =1。八解：设一升水中 A 细菌的个数 分布Pxl（ ）故 01ePklx-=（ =k） ， ， ， ，！又 ，故求 的极大似然估计Ell似然函数 1ixniieLl ll-=ixni=1（ ） ！ ！两边取对数，对 求导，令其为 0l解 1lx九解： 1001Hm： ， ：构造 T 统计量 0/xttsna-=（ -）n=20,查得 .算得0.50.5(21)(9)172tt- 10.2,.59xs=知的 T 统计量观测值为 1.7291.0.54/t-=故拒绝 .0H
