1、上饶师范学院毕业论文论文题目: 抽奖活动中的概率问题 学生姓名： 郑 翔 学 号： 12010052 系 别： 数学与计算机科学学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 12 数（1） 指导教师： 王茶香 二零一六年 五月摘 要随着现代生活节奏的不断加快，我们身边逐渐出现了许多形形色色的抽奖活动，里面也涉及到了各种概率问题。本文通过对不同类型的抽奖活动中所涉及到的概率问题进行详细的解析，让大家可以清楚地看到活动的本身，明白活动的实质，然后理性地进行参与和选择。关键词蒙特难题；条件概率；免费抽奖；彩票目录引言 1第一章 蒙特难题 11.1 蒙特难题的来源 .11.2 蒙特难题的看法及解析 .11
2、.3 蒙特难题的影响 .2第二章 抽奖过程中的条件概率问题 2第三章 免费抽奖活动中的陷阱 33.1 活动的玩法和奖品介绍 .43.2 陷阱原由及详解 .4第四章 彩票中奖的概率问题 64.1 大乐透的玩法介绍 .64.2 彩票的中奖概率分析 .7结论 8参考文献 90抽奖活动中的概率问题引言 随着社会的发展，当今人类的生活也逐渐变得复杂起来，所遇到的问题也越来越多，而在这些问题中绝大部分其实都是数学上的问题。概率论是数学的一个分支，概率论思想也早已渗透到了我们生活中的方方面面，我们也会经常用到概率论的知识来解决生活中遇到的实际问题。而在这些问题中，抽奖类的问题尤发显得突出，所涉及到的概率知识
3、也更广更多。现在，我们用概率论知识来分析下我们生活中常碰到的几类抽奖问题。第一章 蒙特难题1.1 蒙特难题的来源蒙特霍尔是美国的一位电视游戏节目主持人，他曾在多年以前主持了一档名为 Lets Make a Deal 的节目。这个节目规则：蒙特会向选手展示三扇关着的门，在这三扇门中，其中有一扇门的后面是有一辆小轿车的，而另外两扇门的后面都是空房间。门后面到底是什么选手并不知情，但蒙特却是事先知道的。选手站在三扇关着的门前，然后进行游戏。游戏共分为三个步骤： 1. 让选手选定一扇自己认为门后面是有小轿车的门，选定后门先不打开，让其保持着仍然关闭着的状态。 2. 蒙特紧接着打开选手选剩下的两扇门中门
4、后面是空房间的一扇门。3. 然后蒙特会给选手俩个选择：一是坚持打开自己原先选定的那扇门；二是放弃自己原先的选择，更改为去打开另一扇仍然关闭着的门。 选手最终选定后，蒙特便会打开那扇门。如果门后面的是小轿车，那么选手便胜利，赢得了这辆小轿车，反之则一无所有。那么我们该如何选择才会有更大的几率赢得小轿车？在蒙特打开一扇门之后，我们是应该坚持自己原先的选择呢，还是要改变已经做好的选择，反而去打开另一扇门。这便是概率问题上的一个著名难题蒙特难题（Monty Hall problem）。1.2 蒙特难题的看法及解析对于蒙特门难题的看法，普遍有两种观点：1：假设选手第一次选择的是A 门的话，那么中奖的概率
5、为 ，当蒙特打开 B,C 门中没有奖的一扇门后，选31手若改选 B,C 门中没有打开的一扇门，相当于选择了 B,C 两扇门，此时选手的中奖概率为 ，所以选手应该改选； 2：选手任意打开一扇门的中奖概率为 ，32 31当蒙特打开另两扇门中没有奖的一扇门后，相当于选手在剩余的两扇门中任选一扇门，中奖的概率都为 ，所以改不改选都一样。1其实，这个问题我们可以用概率的思想来进行分析。事实上这就是一个把1古典型概率问题变成了条件概率问题。选手在三扇门中任选一扇门是一个古典型概率问题，每个选择并且中奖的概率是等可能的，都为 ，即31。在蒙特打开了一扇空门之后，其造成的结果对选手坚持31)()()( PCB
6、A自己的原先的选择是没有任何影响的，因为这是选手在获取蒙特打开空门这个信息之前的选择。但是如果选手改选为另一扇门的话，那么这个概率问题则变成了条件概率问题.条件概率是指在“已知事件 B 发生”的附加前提下，求另一个事件 A 所发生概率，即这个概率被称为 B 发生的前提条件下事件 A 发生的条件概率，并记作 P(A|B)。在这个问题中，事件 B 为蒙特已经打开了一扇门后面是空房间的情况， 而事件 A 则为选手更改了自己的原先的选择，去打开剩下一扇关着的门，结果反而门后面是一辆小轿车的情况。所以有：3219)()( PBA解: 不妨设选手 A、B、C 三人分别对应选择了 A 门、 B 门和 C 门
7、,则有：3)()()( CB而选手 A 先选择了 A 门， 但是他并不知道 A 门后面是小轿车还是空房间；然后选手 B 选择了 B 门， 打开之后结果发现是一个空的房间；剩下的最后一个选手 C 选择了 C 门， 他和选手 A 一样，也不清楚 C 门后面是一辆小轿车还是一个空房间， 则有：31)(PA2)()(BC通过答案我们可以看出，选手 C 所选择打开的门后面是小汽车的概率更大，也就是说选手在更改自己最初的决定，选择去打开另一扇关闭着的门后，结果赢得小轿车的概率会更大，所以 1 的观点是正确的。1.3 蒙特难题的影响数学上的概率思想确实是不太好掌握，哪种选择会有更大的希望赢得小轿车也困扰了许
8、多人。为此，他们还进行了多次模拟实验，结果发现在 10000 次坚持自己最初的决定，依然选择原来的门的试验中只有 3298 次是赢得了小轿车的， 但是在 10000 次改选为打开剩下关闭着的门的试验中， 却有 6577 次赢得了小轿车. 所以我们可以从试验结果上看到， 选手更改了自己的选择后赢得小轿车的可能性比坚持打开自己原先选定的那扇门更大。塞望（M Savant）女士是一位美国检阅专栏的著名作家，为此问题所带来的困扰也曾经在逻辑思维的威力一书中作出过解释，说： “如果有一百扇门， 其中一扇门后面有车， 你选择一扇门之后（假定为一号） ，主持人打开九十八扇后面2没有车的门（例如 3,4,5,
9、100 ） ， 问你会改选为二号吗？ 我想你一定会换的。”第二章 抽奖过程中的条件概率问题在抽奖的过程中，如果后面抽的人不知道前面人的抽奖结果，那么每个人的抽奖概率是相同的。如果后抽的人知道前面的人的抽奖结果，那么中奖的概率似乎会有所不同。这对抽奖的公平性是否会有影响呢？如果有 4 张可以兑换的彩票，其中两张是有奖的，有甲、乙、丙、丁 4 人依次去各抽一张彩票。甲的中奖概率是 。当乙知道甲中奖后再去抽奖，那么21乙的中奖概率是 ，乙好像有些吃亏；当乙知道甲没中奖后再去抽奖，那么中31奖的概率又是变成了 ，乙又比较占便宜。事实上这里的 和 都是以乙在知2213道甲有没有中奖的情况下的中奖概率，这
10、是一个条件概率，都不能算是乙在这个抽奖活动中的中奖概率。因为在乙中奖的情况下是有两种可能的，一是在甲中奖的前提下乙中奖；二是甲在没中奖的情况下乙中奖。故乙的中奖概率要详细计算：设甲、乙、丙、丁四人中奖分别用 A、B、C、D 来表示，并且按顺序先后抽取彩票，则：21PA）（由于 ,B)(故 PABABABA )()()()()()( = + = ；21321对于丙的中奖概率也是一样，CBC其中 CBA 表示甲没中奖，乙和丙中奖；CBA 表示乙没中奖，甲和丙中奖；C BA 表示甲和乙都没中奖，丙中奖了；CBA 则表示甲乙丙都中奖了，这显然是不可能的，所以 P(CBA) = 0有 PPABCABC)
11、()()()( = + + 1= ;212121同理 )(D通过计算，我们可以看出甲、乙、丙、丁四人的中奖概率是一样的，所以在一般的抽奖活动中，无论我们是第几个去抽，也不管前面有无人中奖，我们3的中奖概率是一定的，它是由有奖票数和彩票总数的比值决定的。概率问题的计算往往比较复杂，所以我们在解题之前一定要好好地去分析这个问题，理解这个问题的实质，对涉及到的事件要作必要的说明和假设，也便只有做到这样，才能够更加清晰地去解决我们生活中遇到的各种各样极其复杂的概率问题。第三章 免费抽奖活动中的陷阱近些年来，我们经常会在广场和商场里发现一些打着“免费抽奖”的抽奖活动，在这些活动中，商家会利用高额的奖金或
12、是奖品为诱饵来吸引很多的市民参与。这些活动表面上看起来丰富多彩，形式也各种各样，大不不同但都显得非常的优惠，在实际上却具有很大的欺骗性。现在我们就以下面的一个抽奖活动为例，进行深入分析。3.1 活动的玩法和奖品介绍这个活动抽奖具体规则是：在一个只有一个洞口的小纸箱里放入 20 个大小一致的小玻璃球，而这些小玻璃球是由 10 个透明的小玻璃球和 10 个是蓝色的小玻璃球混合而成的，参与者们从小纸箱里随机的抽取 10 个小球，获奖规则如下：（1）所抽取的十个小玻璃球颜色完全一样，即十个小玻璃球全为透明或者蓝色，为特等奖，奖品为价值 4000 元的笔记本电脑一台；（2）所抽取的十个小玻璃球中有九个颜
13、色一样的，即九个透明玻璃球加一个蓝色玻璃球或一个透明玻璃球加九个蓝色玻璃球，为一等奖，奖品为价值 300 元的美的搅拌机一台；（3）所抽取的十个小玻璃球中有八个颜色一样的，即八个透明玻璃球加二个蓝色玻璃球或二个透明玻璃球加八个蓝色玻璃球，为二等奖，奖品为价值 10 元的洗手液一瓶；（4）所抽取的十个小玻璃球中有七个颜色一样的，即七个透明玻璃球加三个蓝色玻璃球或三个透明玻璃球加七个蓝色玻璃球，为三等奖，奖品为价值 3 元的牙膏一支；（5）所抽取的十个小玻璃球中有六个颜色一样的，即六个透明玻璃球加四个蓝色玻璃球或四个透明玻璃球加六个蓝色玻璃球，为四等奖，奖品为价值 1 元的心心相印手帕纸一包；（6
14、）所抽取的十个小玻璃球中有五个透明玻璃球和五个蓝色玻璃球时，则为爱心奖，需要收取 5 块钱的成本费。3.2 陷阱原由及详解从表面上看起来这个抽奖活动对参与者有很大的优势，因为抽奖的结果一共有六种，却是有五个奖项，并且中大奖的话可以获得丰厚的回报，即便是没中到，也都认为是自己的运气不好，损失了五块钱自己也是感觉无所谓，所以市民便纷纷参与其中。可实际上商场是稳赚不赔的，抽奖者反而没有占到任何便宜，最后都是变成了输家。接下来我们就用概率论的知识来仔细分析这个问题，事实上，这就是古典概率中一个典型的不放回抽样问题，我们根据所学的排列组合知识很容易便可得出：4从放置了 20 个小玻璃球的纸箱中，我们随机
15、地摸出 10 个小球进行排列组合，那么一共会有 种的可能，并且在这 184756 种结果中每一18475602C种结果的出现概率都是一样的等可能的。此外，随机地摸出 10 个小玻璃球后所获得的奖品情况一共有六种，现在我们就将这六种情况看成六个基本事件来逐一分析。特等奖的概率计算：从 20 个小玻璃球中取出 10 个颜色完全一样的情况有 种，所以22015-102)( 1083.CP特 等 奖一等奖的概率计算：从 20 个小玻璃球中取出 9 个颜色相同的小玻璃球情况有 种，所以29103-1029108.（ 一 等 奖 ）二等奖的概率计算：从 20 个小玻璃球中取出 8 个颜色相同的小玻璃球情况
16、有 种，所以452810C02.2108)( P二 等 奖三等奖的概率计算：从 20 个小玻璃球中取出 7 个颜色相同的小玻璃球情况有 种，所以2827103156.01273)( C三 等 奖四等奖的概率计算：从 20 个小玻璃球中取出 6 个颜色相同的小玻璃球情况有 种，所以82610447.02164P（ 四 等 奖 ）爱心奖的概率计算：从 20 个小玻璃球中取出 5 个白色的小玻璃球和 5 个蓝色的小玻璃球情况有 种，所以6310C4.2051)( 爱 心 奖为了方便可见，我们假设进行了 184756 次的抽奖，便得到了如下表格：5得奖结果 特等奖 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 爱心
17、奖组合方式及结果C012= 2910= 200C8102= 40507103= 2880061042= 88200C510= 63504单注金额 4000 元 300 元 10 元 3 元 1 元 -5 元奖金总额 8000 元 60000 元 40500 元 86400 元 88200 元 317520 元获奖概率5-1083.3-108.0.022 0.156 0.477 0.344从表格中我们可以清楚的看到，进行了 184756 次的抽奖中，我们所获得的商品总价值为 800060000405008640088200 = 283100（元）；而我们失去的金额为 317520 元，所以我们的
18、总收益为 283100317520 = -34420（元）；即平均每玩一次抽奖，我们便损失了 34420/184756 = 0.1863 元。从数据上来看，只要我们去参与了抽奖，总体上而言都是输的。所以，我们从数学的角度上来看待这个问题，就不难理解这些看起来很优惠的活动事实上反而往往得不到实惠的疑惑。由此可见，这些表面上看起来很优惠很诱人的抽奖活动实际上往往都是有陷阱的，是商家为了引诱更多的顾客来自己的店铺进行消费而弄的一种促销活动。第四章 彩票中奖的概率问题彩票，自从被重新推出以后就越来越深入到人们的生活中，有许多人认为，彩票这东西不仅让人兴奋，更让人期待，就像男女之间的暧昧，让人们越来越着
19、迷。彩票业在我国一直都是顶着公益的光环，去购买彩票被视为做慈善，更多的是在帮助别人的同时，也能给自己一个希望。所以就会有越来越多的人被忽悠进了彩票团队，期待自己在帮助别人的时候自己也能够一夜成名。适度的彩票投机对于个人风险很小，潜在的好处是很有可能的。因此，许多人会抱有“尝试”的想法，纷纷选择去购买一注彩票。现在，我们以当下最流行的超级大乐透来分析下彩票中的概率问题。4.1 大乐透的玩法介绍超级大乐透是国家体育总局体彩中心于 2007 年 5 月 28 号向全国推出的一种全新的彩票玩法，“35 选 5 加 12 选 2”的玩法也非常简单易懂，即从 01 到35 共 35 个号码中，任意地选取
20、5 个号码作为前区号码，然后从 01 到 12 共 12个号码中选取 2 个号码作为后区号码，最后把前区号码和后区号码组合为一注彩票号码，每一注的基本投注金额为 2 元人民币。超级大乐透从第 14052 期共设六个奖级，前三个等级的奖项为浮动奖，后三个奖项则为固定奖。超级大乐透的中奖规则以及各个奖级所对应的奖金规定如下表格所示（为前区号码，为后区号码）：6奖级 中奖说明及条件 基本投注单注奖金奖池低于 1 亿 （高等奖奖金75%+奖池）/中奖注数奖池 1 亿3 亿（高等奖奖金58%+奖池+ 高等奖奖金17% ）/中奖注数一等奖 52 奖池高于 3 亿（高等奖奖金42%+奖池+ 高等奖奖金33%
21、 ）/中奖注数二等奖 51 当期浮动奖返奖奖金的 18%，中奖注数均分。50 三等奖42 当期浮动奖返奖奖金的 7%，中奖注数均分。41 四等奖32 200 元40 31 五等奖22 10 元30 12 21 六等奖02 5 元4.2 大乐透的中奖概率分析从图表中我们可以清楚的看到，超级大乐透共分六个奖级，并且玩法共有 种，现在我们来分别计算下各个奖级的中奖概率：2145753C2145753P（ 一 等 奖 ）0862153)(二 等 奖5215340109.C（ 三 等 奖 ）321532300045)( 4.P四 等 奖2215323025000145)( 1067.C五 等 奖7062
22、.215325301040152035)( CCP六 等 奖合计后总中奖率约为 6.16%，即每 10000 注彩票中大概有 616 注是中奖的，接下来我们计算下大乐透的中奖期望，如下表：奖级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖奖金（元） 6658062 181564 5834 200 10 5中奖概率 21457012865-109.3-104. 2-1067.6.其中一等奖、二等奖、三等奖的奖金数额是根据 2015 年 11 月12 月发行的 26 期的实际情况进行统计后的平均数进行估值的。所以大乐透的期望= 6658062 +181564 +58340.91 +2000.34
23、3 +214571072865-103-10100.6267 +50.0602 0.96559（元）-0即每一注的大乐透的彩票的期望值约为 0.96559 元，这和大乐透的条例规范中提到的以 49%的销售总额为当期奖金，2%的销售总额为调节基金相符合。之所以存在误差，主要是对前面三个奖级奖金的估计以及“奖池”中累计奖金估计的误差而造成的。从大乐透的中奖概率可以看到，这种彩票的中奖概率是非常低的，头奖的命中概率更是低的可怕，都可以说成是不可能事件了。要是彩民被高额的奖金所吸引，然后不断地投钱，到最后也就只能换回很少的回报而已。一个成熟又理智的人是不会将中彩票作为自己发家致富的唯一手段，购买彩票也
24、只是抱着那虚无缥缈的一丝希望罢了。但是假如我们把多余的一些钱拿去发展社会公益事业，即便是没赢，我们也会感觉无所谓，因为，这毕竟是一个对国家有益，对自己也有利的一项事业。所以我们要把买彩票当成是在献爱心，或是投资的心态去玩，就权当是在为支持国家福利慈善事业做一份贡献吧。结论我们生活中遇到的抽奖活动会有很多，里面涉及到的概率也很复杂，甚至有时会引起人们的争论。本文主要通过对蒙特难题、抽奖先后问题、免费抽奖问题以及购买彩票中奖问题中所涉及到的概率进行详细的分析，让大家在看完8本文之后会对我们今后所碰到的形形色色抽奖有一个新的认识。再遇到商家所弄的一些“免费抽奖”活动，我们一定要提高警惕；购买彩票时，
25、一定要理性，不能在赌博的心理支配下盲目消费。参考文献1 邱江;张庆林. Monty Hall Dilemma 的困难原因探讨J;心理科学;2006 年 01 期2 复旦大学编.概率论M.北京：人民教育出版社，1979.3 魏宗舒等编.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社，2008.4.4 王童.条件概率教学探究，载华人时刊旬刊，2013 年，第 5 期5 陈凯,王玉孝著.概率论及其应用M.水利电力出版社.19866 侯君芳.抽奖活动的若干概率问题J. 大观周刊,2012(22):61-62.7 李广玉.免费抽奖陷阱中的概率问题J. 新课程:教师版,2010(9).8 杨镜华.高额奖金后面有陷阱一项抽奖活动里的数学，载数理统计与管理，2000 年，第 3 期9 吕盛鸽.概率统计在彩票选号中的应用J. 统计与决策,2001(8):34-34.10 田学全.博彩中的概率问题探讨J. 塔里木农垦大学学报.2003(01)
