1、1.：对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】 （1） 设 A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故P（A 1）= =（ ） 5 （亦可用独立性求解，下同）57（2） 设 A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故P（A 2）= =( )56(3) 设 A3=五个人的生日不都在星期日P（A 3）=1P (A1)=1( )572.：50 只铆钉随机地取来用在 10 个部件上，其中有 3 个铆钉强度太弱.每个部件用 3 只铆钉.若将
2、 3 只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设 A=发生一个部件强度太弱13051()C/960P3：.有甲、乙两批种子，发芽率分别为 0.8 和 0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率；（2） 至少有一粒发芽的概率；（3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设 Ai=第 i 批种子中的一粒发芽， （i=1,2）(1) 1212()()0.78.56PPA(2) . 94(3) 21()0.833A4.：已知 5%的男人和 0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人
3、数的一半）.【解】 设 A=此人是男人，B=此人是色盲 ，则由贝叶斯公式 ()()() ()PABPAB0.52015.：某工厂生产的产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设 A=产品确为合格品，B=产品被认为是合格品 由贝叶斯公式得 ()()() ()PABPAB0.9680.984.56：将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为 1，2，3 的概率.【解】 设 =杯中球的最大个数为 i,i=1,2,3.iA将 3 个球随机放入
4、4 个杯子中，全部可能放法有 43 种，杯中球的最大个数为 1 时，每个杯中最多放一球，故 341C!()8PA而杯中球的最大个数为 3，即三个球全放入一个杯中，故 143()6因此 21319()86PAPA或 2423C()7：设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以 X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图；(3).133,1,12222PXPX【解】315231350,.C()().CXPX故 X 的分布律为X 0 1 2P 235235135（2） 当 x0 时，F（x ）= P（Xx ）=
5、0当 0x1 时，F（x ）= P（X x ）= P(X=0)= 当 1x2 时，F（x ）= P（X x ）= P(X=0)+P(X=1)= 345当 x2 时，F（ x）=P（X x）=1故 X 的分布函数 0,2135()4,2xFxx(3) 12()(,3543)(10512(1)234)(1)(0.5PXFPXPXF8：设某机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于 0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落) ？【解】设 X 为某一时刻需立
6、即降落的飞机数，则 Xb(200,0.02)，设机场需配备 N 条跑道，则有()0.1PXN即 20201C.(.98).1kkkN利用泊松近似 20.4.np1e().0!kkNPXA查表得 N9.故机场至少应配备 9 条跑道.9：设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分钟计）服从指数分布 .某顾客在窗1()5E口等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出 Y 的分布律，并求 PY1.【解】依题意知 ，即其密度函数为1()5XE51e,0()xf该顾客未等到服务而离开的概率为 2510()edxPX,即其分布律
7、为2(5e)Yb2525()C1),341(0(e0.167kkP10：将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律.【解】X 和 Y 的联合分布律如表：0 1 2 31 0 3C28A31C/8A03 80 0 12811：设随机变量（X，Y）的概率密度为XYf（x，y）= .,0,42,),6(他yxyxk（1） 确定常数 k；（2） 求 PX1，Y 3；（3） 求 PX1.5；（4） 求 PX+Y4.【解】 （1） 由性质有 240(,)d(6)d81,fxykxyk故 18R（2） 13
8、,(,)PXYfxy0236d8k(3) 11.5.(,)a(,)x Dfyxfxy如 图40227d).83(4) 24(,(,)dXYDPfyxfxy如 图 b2016).12：袋中有五个号码 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为 X，最大的号码为 Y.（1） 求 X 与 Y 的联合概率分布；（2） X 与 Y 是否相互独立？【解】 （1） X 与 Y 的联合分布律如下表3 4 5 iPXx1 351C0352C1035106YX2 0 351C03521033 0 0 25iPYy10310610(2) 因 6,3,XPYPXYA故 X 与 Y 不独立13:设平面
9、区域 D 由曲线 y=1/x 及直线 y=0，x=1,x=e 2 所围成，二维随机变量（X，Y ）在区域 D 上服从均匀分布，求（X，Y）关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值为多少？题 21 图【解】区域 D 的面积为 （X,Y）的联合密度函数为22ee011dln.Sx21,0,(,).yfyx其 他（X，Y ）关于 X 的边缘密度函数为 1/ 20d,1e,()2,.xyxf其 他所以 1(2).4Xf14:设随机变量 X 和 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于 X和 Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. y1 y2 y3 PX=x
10、i=pix1x21/81/8YXPY=yj=pj 1/6 1【解】因 ,21,jj ijiPXxYy故 1121,YyP从而 1,.684Xx而 X 与 Y 独立，故 ,ijiixYyXxYyA从而 11,.2Px即： /.246又 111213,XxxYyPXxYyPXxYy即 ,3,48P从而 13,.2xy同理 2Y23,8XxYy又 ,故 .311jjPy316Py同理 2.4Xx从而 233131,.24PYyPyXxYy故 1y2y3yiiPXx1x2418121428343YX15:已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】
11、设任取出的 5 个产品中的次品数为 X，则 X 的分布律为X 0 1 2 3 4 5P 5910C.8340951.331095C.721095C.7109510C故 ()4.2.34EX051,20()()iiiDxP22 2.51.83(0.51).340(5.01)4316:设 X，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x）= fY（y）=;,0,12他x(5)e,0.y其 他求 E（XY）.【解】方法一：先求 X 与 Y 的均值102()d,3xA5(5)500eede516.zyyzzY 令由 X 与 Y 的独立性，得 2()()4.3EXYA方法二：利用随机变量函数的均值
12、公式.因 X 与 Y 独立，故联合密度为(5)e,01,5(,)(),yXYxxyfxyf其 他于是 11(5)2(5)50052()2eded64.3y yEXYx AA17:袋中有 12 个零件，其中 9 个合格品，3 个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回） ，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 X，求 E（X）和D（X）.【解】设随机变量 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知90.750,12PX 3910.24,PX3.41,1.5于是，得到 X 的概率分布表如下：X 0 1
13、2 3P 0.750 0.204 0.041 0.005由此可得 ().75.204.30.5.1E2 222201143()(.(.).XDEX25:设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= ， （x+）xe21(1) 求 E（X ）及 D（X） ；（2） 求 Cov(X,|X|),并问 X 与|X|是否不相关？（3） 问 X 与|X|是否相互独立，为什么？ 【解】(1) |1()ed0.2xA| 20()ed.xx (2) Cov,|()|(|)XEXEXAA|1|e,2x所以 X 与| X|互不相关.(3) 为判断 |X|与 X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域
14、x +中的子区间（0,+）上给出任意点 x0，则有00|.xX所以 0|1.P故由 00000,|XxPxxPXA得出 X 与| X|不相互独立.58.设总体 X 的密度函数为 f（x， ） ，X 1，X 2，X n 为其样本，求 的极大似然估计.（1） f（x， ）= ,0,.e（2） f（x， ）=1,0,.x他【解】 （1） 似然函数 111(,)eeniinnxxii iLfx1llnigL由 知1dln0nigLx1nix所以 的极大似然估计量为 .X(2) 似然函数 ,i=1,2,n.1,0niiLxA1lln()lniLx由 知1dlnl0niLx11lnlniiix所以 的极大
15、似然估计量为 1lniix54. 某车间有同型号机床 200 部，每部机床开动的概率为 0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能 15 个单位.问至少供应多少单位电能才可以 95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值 m，而 m要满足 200 部机床中同时开动的机床数目不超过 m 的概率为 95%,于是我们只要供应 15m 单位电能就可满足要求 .令 X 表同时开动机床数目，则 XB（200，0.7）,()140,()2,ED1400.95().2mPXm查表知 ,m=151.14.6,2m所以供电能 15
16、115=2265（单位）.55. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2 名家长来参加会议的概率分别为 0.05,0.8,0.15.若学校共有 400 名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1） 求参加会议的家长数 X 超过 450 的概率？（2） 求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率.【解】 （1） 以 Xi(i=1,2,400)记第 i 个学生来参加会议的家长数.则 Xi 的分布律为Xi 0 1 2P 0.05 0.8 0.15易知 E（X i=1.1）,D(X i)=0.19,i=1,2,400.
17、而 ,由中心极限定理得40i401.401.(0,).99i XN近 似 地于是 5.450541PXP1(.47)0.13(2) 以 Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则 YB(400,0.8) 由拉普拉斯中心极限定理得30.84(2.5)98.P56. 在一定保险公司里有 10000 人参加保险，每人每年付 12 元保险费，在一年内一个人死亡的概率为 0.006,死亡者其家属可向保险公司领得 1000 元赔偿费.求：（1） 保险公司没有利润的概率为多大；（2） 保险公司一年的利润不少于 60000 元的概率为多大？【解】设 X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则 XB（10000，0.0
18、06）.(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=1000012”即“X=120”.于是所求概率为 1120.061200.6.9494P21(60/59.4)230.186e59.42.7eA(2) 因为“公司利润60000” 当且仅当 “0X60”于是所求概率为6.601.0601009494PX().5.657.设某厂生产的灯泡的使用寿命 XN（1000， 2） （单位：小时） ，随机抽取一容量为 9 的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为 S2=1002，试求 P（ 1062）.【解】=1000,n=9，S 2=100210(8
19、)/3/Xt t1062(62)(1.86)0.5/3PtPt59.某车间生产的螺钉，其直径 XN（ ， 2） ，由过去的经验知道 2=0.06,今随机抽取 6枚，测得其长度（单位 mm）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2试求 的置信概率为 0.95 的置信区间.【解】n=6, 2=0.06, =1-0.95=0.05,0.2514.9,196axu 的置信度为 0.95 的置信区间为/2()(14.75,.6)xn60.设某种砖头的抗压强度 XN（ ， 2） ，今随机抽取 20 块砖头，测得数据如下（kgcm -2）：64 69 49 92 55 97 41 8
20、4 88 9984 66 100 98 72 74 87 84 48 81（1） 求 的置信概率为 0.95 的置信区间.（2） 求 2 的置信概率为 0.95 的置信区间.【解】 76.,18.4,095.,20,xsn/20.252. 0.975(1)(9).3,8(1)8.tnt(1) 的置信度为 0.95 的置信区间/2.4(1)63(6.1,8509)2asxtn(2) 的置信度为 0.95 的置信区间22222/1/()()1919, 8.4,8.4(190.3,72.)3.507nssn 61：灯泡厂用 4 种不同的材料制成灯丝，检验灯线材料这一因素对灯泡寿命的影响.若灯泡寿命服
21、从正态分布，不同材料的灯丝制成的灯泡寿命的方差相同，试根据表中试验结果记录，在显著性水平 0.05 下检验灯泡寿命是否因灯丝材料不同而有显著差异？试验批号1 2 3 4 5 6 7 8灯丝材料水平A1A2A3A41600158014601510161016401550152016501640160015301680170016201570170017501640160017201660168018001740 1820【解】 1,26;rirn=69895900-69700188.46=195711.54,42.1TijiSx=69744549.2-69700188.46=44360.7,24
22、1Aiin=151350.8,ETAS,0.5/()4360.7/2.151583,2ErFnF故灯丝材料对灯泡寿命无显著影响.表 9-1-1 方差分析表方差来源 平方和 S 自由度 均方和 SF 值因素影响 44360.7 3 14786.9 2.15误差 151350.8 22 6879.59总和 195711.54 2562：为了解 3 种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对 3 种不同品种的猪各选 3 头进行试验，分别测得其 3 个月间体重增加量如下表所示，取显著性水平 =0.05，试分析不同饲料与不同品种对猪的生长有无显著影响？假定其体重增长量服从正态分布，且各种配比的方差相等.因
23、素 B（品种）体重增长量B1 B2 B3因素 A（饲料）A1A2A3515352565758454947【解】由已知 r=s=3,经计算 =52, =50.66, =53x1.2.x=52.34, =52, =57, =47,3.x.1.2.3121()6;8.73,()150,.2rsTijijrAiirBjjETABSxSxS表 9-4-1 得方差分析表方差来源 平方和 S 自由度 均方和 SF 值饮料作用 8.68 2 4.34 5.23品种作用 150 2 75 90.36试验误差 3.32 4 0.83总和 162由于 0.50.5(2,4)6.9,(,).ABFF因而接受假设 ,拒
24、绝假设 .01H2即不同饲料对猪体重增长无显著影响,猪的品种对猪体重增长有显著影响.63：测量了 9 对父子的身高，所得数据如下（单位：英寸）.父亲身高 xi 60 62 64 66 67 68 70 72 74儿子身高 yi 63.6 65.2 66 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70求（1） 儿子身高 y 关于父亲身高 x 的回归方程.（2） 取 =0.05，检验儿子的身高 y 与父亲身高 x 之间的线性相关关系是否显著.（3） 若父亲身高 70 英寸，求其儿子的身高的置信度为 95%的预测区间.【解】经计算得， 999992 2111112291603,4.6,056
25、,4058.,4065.845()8,08.6034.76.,451.(.)5. ()0.6,/ii i i ixyxyiiyxxyySSbaxbx9136.5891,故回归方程： 3.580.46.20.5() .17,3.965.0172.984, 5.439(1,7)./xySQQFFn回 剩 总 回 回剩故拒绝 H0，即两变量的线性相关关系是显著的 .0.25 22020/2(3)6.891.68.,0.9784,(7)34, .39,6()11 1.,98() ()1.3640.79.xxyQt nnSt剩给 定故 20.954从而其儿子的身高的置信度为 95%的预测区间为(68.5
26、4740.9540)=(67.5934,69.5014).64：随机抽取了 10 个家庭，调查了他们的家庭月收入 x（单位：百元）和月支出 y(单位：百元)，记录于下表：x 20 15 20 25 16 20 18 19 22 16y 18 14 17 20 14 19 17 18 20 13求：(1) 在直角坐标系下作 x 与 y 的散点图，判断 y 与 x 是否存在线性关系.(2) 求 y 与 x 的一元线性回归方程.(3) 对所得的回归方程作显著性检验.（=0.025）【解】(1) 散点图如右，从图看出，y 与 x 之间具有线性相关关系.(2) 经计算可得 10101010102 29,7,3,3,948,82.6358.90,062.48,1iii i ixxyyxxxyySSba故从而回归方程： 2.489.7yx题 3 图20.5(3) 47.8,847.10.23, 3.6(1,)./xySQQFFn回 剩 总 回 回剩故拒绝 H0,即两变量的线性相关关系是显著的 .
