1、1有理数基础训练题一、填空：1、在数轴上表示2 的点到原点的距离等于（ ） 。2、若a=a,则 a（ ）0.3、任何有理数的绝对值都是（ ） 。4、如果 a+b=0,那么 a、b 一定是（ ） 。5、将 0.1毫米的厚度的纸对折 20次，列式表示厚度是（ ） 。6、已知 ，则 （ ）|3,|2,|ab7、 的最小值是（ ） 。|x8、在数轴上，点 A、B 分别表示 ，则线段 AB的中点所表示的数是（ 214，） 。9、若 互为相反数， 互为倒数，P 的绝对值为 3，则,ab,mn（ ） 。2012npp10、若 abc0，则 的值是（ ） .|abc11、下列有规律排列的一列数：1、 、 、
2、、 、，其中从左到右第 100432853个数是（ ） 。二、解答问题：1、已知 x+3=0,|y+5|+4 的值是 4，z 对应的点到-2 对应的点的距离是 7，求 x 、y、 z 这三个数两两之积的和。3、若 的值恒为常数，求 满足的条件及此时常数的值。2|45|13|4xxx4、若 为整数，且 ，试求 的,abc201201|abca|cabc值。25、计算： 2165270931425671能力培训题知识点一：数轴例 1：已知有理数 在数轴上原点的右方，有理数 在原点的左方，那么（ ）abA B C Dbab0a0a拓广训练：1、如图 为数轴上的两点表示的有理数，在 中，负数的个, a
3、b,2,数有（ ）A1 B2 C3 D43、把满足 中的整数 表示在数轴上，并用不等号连接。5aa2、利用数轴能直观地解释相反数；例 2：如果数轴上点 A到原点的距离为 3，点 B到原点的距离为 5，那么 A、B 两点的距离为 。拓广训练：1、在数轴上表示数 的点到原点的距离为 3，则a ._a2、已知数轴上有 A、B 两点，A、B 之间的距离为 1，点 A与原点 O的距离为 3，那么所有满足条件的点 B与原点 O的距离之和等于 。3、利用数轴比较有理数的大小；例 3：已知 且 ，那么有理数 的大小关系是 0,baaba,。 （用“ ”号连接）拓广训练：1、 若 且 ，比较 的大小，并用“ ”
4、号连0,nmnmnnm, 接。Oa b3例 4：已知 比较 与 4的大小 5a拓广训练：1、已知 ，试讨论 与 3的大小 3aa2、已知两数 ，如果 比 大，试判断 与 的大小b, ab4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例 5： 有理数 在数轴上的位置如图所示，式子 化简结果为cba, cba（ ）A B C D32cbb拓广训练：1、有理数 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果cba, caa1为 。2、已知 ，在数轴上给出关于 的四种情况如图所示，则成立的是 bab2ba,。 3、已知有理数 在数轴上的对应的位置如下图：则 化简后的结cba, bac1果是（ ）A B C D1b12b
5、acba2bc1三、培优训练1、已知是有理数，且 ，那以 的值是（ ）022yxyx Oab 1c 0 ab 0 ab 0 ab 0 ab Oa b -1 1c Oab -1c4A B C 或 D 或2132131232、如图，数轴上一动点 向左移动 2 个单位长度到达点 ，再向右移动 5 个单位长度到AB达点 若点 表示的数为 1，则点 表示的数为（ ）C 7333、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1个单位，点 A、B、C、D 对应的数分别是整数 且 ，那么数轴的原点应是（ ）dcba,02aAA 点 BB 点 CC 点 DD 点4、数 所对应的点 A，B，C，D 在数轴上的位置如
6、图所示，那么 与 的大, cadb小关系是（ ）A B C D不确定的dbcadbcadbca5、不相等的有理数 在数轴上对应点分别为 A，B，C，若 ，那, ca么点 B（ ）A在 A、C 点右边 B在 A、C 点左边 C在 A、C 点之间 D以上均有可能6、设 ，则下面四个结论中正确的是（ ）1xyA 没有最小值 B只一个 使 取最小值xyC有限个 （不止一个）使 取最小值 D有无穷多个 使 取最小值y7、在数轴上，点 A，B 分别表示 和 ，则线段 AB的中点所表示的数是 。3518、若 ，则使 成立的 的取值范围是 。0,babaxx9、 是有理数，则 的最小值是 。x2191x10、
7、已知 为有理数，在数轴上的位置如图所示：dcba,且 求 的值。,6436 cbada23 Oabd c10A2B5C DCBA BC 0DA511、 （南京市中考题）(1)阅读下面材料：点 A、B 在数轴上分别表示实数 ，A、B 两点这间的距离表示为 ，当 A、B 两点中有ba,一点在原点时，不妨设点 A在原点，如图 1， ；当 A、B 两点都不baOB在原点时，如图 2，点 A、B 都在原点的右边 ；AB如图 3，点 A、B 都在原点的左边 ；baba如图 4，点 A、B 在原点的两边 。OA综上，数轴上 A、B 两点之间的距离 。baB（2）回答下列问题：数轴上表示 2和 5两点之间的距
8、离是 ，数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离是 ，数轴上表示 1和-3 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 和-1 的两点 A和 B之间的距离是 ，如果 ，那么 为 x 2ABx；当代数式 取最小值时，相应的 的取值范围是 ；21x求 的最小值。1973xxx BAO abo B(A) ob BO oba BAO oba6聚焦绝对值一、阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注
9、意以下几个方面：1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。去绝对值符号法则： 0aa2、恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看 表示数 的点到原点的距离； 表示数 、数 的两点间的距离。bab3、灵活运用绝对值的基本性质 0a22a0ba bb二、知识点反馈1、去绝对值符号法则例 1：已知 且 那么 。3,5baabb拓广训练：1、已知 且 ，那么 。,2,cc2c2、若 ，且 ，那么 的值是（ ）58ba0baba7A3 或 13 B13 或-13 C3 或-3 D-3 或-13拓广训练：1、 已知 的最小值是 ， 的最大值为 ，求 的
10、值。2xa2xba三、培优训练1、如图，有理数 在数轴上的位置如图所示：ba,则在 中，负数共有（ ）4,22, baA3 个 B1 个 C4 个 D2 个2、若 是有理数，则 一定是（ ）mmA零 B非负数 C正数 D负数3、如果 ，那么 的取值范围是（ ）02xxA B C D2x4、 是有理数，如果 ，那么对于结论（1） 一定不是负数；（2） 可ba, baab能是负数，其中（ ）A只有（1）正确 B只有（2）正确 C （1） （2）都正确 D （1） （2）都不正确5、已知 ，则化简 所得的结果为（ ）a1aA B C D13226、已知 ，那么 的最大值等于（ ）40A1 B5 C8
11、 D98、满足 成立的条件是（ ）baA B C D010ab1ab9、若 ，则代数式 的值为 。52xxx2510、若 ，则 的值等于 。0abab-10 a-2 b1811、已知 是非零有理数，且 ，求 的值。cba, 0,abcabc13、阅读下列材料并解决有关问题：我们知道 ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，0xx如化简代数式 时，可令 和 ，分别求得 （称2101x22,1x分别为 与 的零点值） 。在有理数范围内，零点值 和 可将全2,1x x体有理数分成不重复且不遗漏的如下 3种情况：（1）当 时，原式= ;121xx（2）当 时，原式= ；2x（3）当 时，原
12、式= 。x综上讨论，原式=2123xx通过以上阅读，请你解决以下问题：（1） 分别求出 和 的零点值；（2）化简代数式4 42x14、 （1）当 取何值时， 有最小值？这个最小值是多少？（2）当 取何值时，x3x x有最大值？这个最大值是多少？（3）求 的最小值。 （4）求25 54x的最小值。987xx915、某公共汽车运营线路 AB段上有 A、D、C、B 四个汽车站，如图，现在要在 AB段上修建一个加油站 M，为了使加油站选址合理，要求 A，B，C，D 四个汽车站到加油站 M的路程总和最小，试分析加油站 M在何处选址最好？16、先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的 台机
13、床在工作，我们要设置一个零件供应站 P，使这1n台机床到供应站 P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：n 如图，如果直线上有 2台机床（甲、乙）时,很明显 P设在 和 之间的任何地方都行,因1A2为甲和乙分别到 P的距离之和等于 到 的距离.1A2如图,如果直线上有 3台机床(甲、乙、丙)时，不难判断，P 设在中间一台机床 处最2A合适，因为如果 P放在 处，甲和丙分别到 P的距离之和恰好为 到 的距离；而如果2 13P放在别处，例如 D处，那么甲和丙分别到 P的距离之和仍是 到 的距离，可是乙还A得走从 到 D近段距离，这是多出来的，因此 P放在 处是最佳选择。不难知道
14、，如果2A2直线上有 4台机床，P 应设在第 2台与第 3台之间的任何地方；有 5台机床，P 应设在第3台位置。问题（1）：有 机床时，P 应设在何处？n问题（2）根据问题（1）的结论，求 的最小值。617321xxxADCB A1 A2 丙丙P A3（PA12 丙D丙10有理数的运算一、阅读与思考在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数” ，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的 符号演算 。数
15、学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。二、知识点反馈1、利用运算律：加法运算律 乘法运算律cba加 法 结 合 律加 法 交 换 律acb乘 法 分 配 律乘 法 结 合 律乘 法 交 换 律例 1：计算： 3275.23452解：原式= 15.7.645.647.6. 拓广训练：1、计算（1） 129.015208. （2） 4764359411例 2：计算： 50249解：
16、原式= 498250211 拓广训练：1、 计算： 5143254322、裂项相消（1） ；（2） ；（3）ba11nnmnn1（4） 2n例 3、计算 01943121解：原式= 2= 012941321= 09拓广训练：1、计算： 209715133、以符代数例 4：计算： 3985271397127112解：分析： 397610,24617,234671令 = ，则A9853 A239761042原式= 2拓广训练：1、 计算： 2051320613120531206134、分解相约例 5：计算：293186293144 n解：原式= =2 21934n= 7296431三、培优训练1、
17、 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数，则 = 。ab20897ba2、计算：（1） = ；1971531（2） = 。2434 3628.03、若 与 互为相反数，则 = 。abab197134、计算： = 。 987398165314215、计算： = 。10753 226、 这四个数由小到大的排列顺序是 98,1,798。7、计算： =（ ）86.6.024.3. A3140 B628 C1000 D12008、 等于（ ）862151A B C D429、计算： =（ ）45.1935A B C D209010、为了求 的值，可令 S ，则 2S2832 208321，因此 2S-S
18、 ，所以 0943 092083仿照以上推理计算出 的值是（ ）1209232551A、B、C、D、5209041094152011、 都是正数，如果 ，204321,a 2043220321 aaaM，那么 的大小关系是（ ）0332aN N,A B C D不确定MN12、设三个互不相等的有理数，既可表示为 的形式，又可表示为 的形式，ab,1ba,0求 的值2019ba13、计算（1） 0164.5706.19036.7514（2） 24234 31625.613485.014、已知 互为相反数， 互为负倒数， 的绝对值等于 ，nm,ba,x3求 的值203201231abnxx 15、已
19、知 ，求、02ab的值206111 baba16、图 1 是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 层将图 1 倒置后与原图 1 拼成图 2 的形状，n这样我们可以算出图 1 中所有圆圈的个数为 ()23n图 图 2 图 3 图 4第 2 层第 1 层第 n 层15如果图 1 中的圆圈共有 12 层， （1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 3 的方式填上一串连续的正整数 ，则最底层最左边这个圆圈中的数是234， ， ， ， ；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 4 的方式填上一串连续的整数 ，2， ， ，求图 4 中所有圆
20、圈中各数的绝对值之和【专题精讲】【例 1】计算下列各题 32333512()0.75()()4()447 127139(0.5)()(8)5【例 2】计算：1345678910205260728【例 3】计算： 11260390 157916反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。 1()1nn 11()()nknk 1()2()(2)n ()()2【例 4】 （第 18 届迎春杯）计算： 48104【例 5】计算：121324123589()()()( )3456060 【例 6】计算：11111()()()()230
21、92340230923209 17【例 7】请你从下表归纳出 的公式并计算出：333124n的值。3312450【实战演练】1、用简便方法计算： 989892、 111()()()()()0423020 3、已知则992012, ,1818919abcbc4、计算： 357235、 （“聪明杯”试题） 212484( )9619n6、 的值得整数部分为1 1()()()00（ ）A1 B2 C3 D4提示： 2()1nn7、 4864013579218、计算： 23S124568103925105189、计算 的值.112323010、计算：的值。1 113 2024()()()()()233
22、 19参考答案基础训练题一、填空。1、2； 2、； 3、非负数； 4、互为相反数； 5、 毫米；20.16、5 或 1； 7、5； 8、 ； 9、8； 10、3，1； 11、 。1二、解答题。1、25 或 87；3、当 时，常数值为 7； 4、2； 5、45x 196、不可能，因为每次翻转其中任意 4个，无论如何翻转，杯口朝上的个数都是奇数个，所以不可能让杯口朝上的杯子个数为偶数零，故不可能。能力培训题知识点一：数轴例 1、D 拓广训练：1、B； 3、因为 ，所以25,2aa54345例 2、8 或 2 拓广训练：1、0 或6； 2、12例 3、 拓广训练：1、题目有误。bb例 4、解：当 时
23、， ；当 时， ；当 时，5a44a4a.a拓广训练：略。例 5、C 拓广训练：1、2； 2、 3、D三、培优训练1、C 2、D 3、B 4、A 5、C 6、D207、 ； 8、 ； 9、15bxa15210、5； 11、3，3，4； ，1 或3； ；99700212x聚焦绝对值例 1、2 或8. 拓广训练：1、4 或 0； 2、A例 2、A 拓广训练：1、通过零点值讨论得 a=5,b=5;所以 a+b=10.三、培优训练1、A; 2、B； 3、D; 4、A; 5、A; 6、B； 7、B； 8、C9、1； 10、1 或3； 11、0； 12、7；13、零点值分别为2，4. 略。(分三种情况讨论
24、)14、3； 、-2； 、1； 、215、加油站应建在 D,C两汽站之间(包括 D,C两汽车站) 16、95172有理数的运算例 1、拓广训练：1.2； 例 2、拓广训练：3416例 3、拓广训练： 例 4、拓广训练：1029106三、培优训练1、1； 2、 ， 8； 3、1； 4、 ； 5、6；5726、 ； 7、C； 8 、D； 9、B； 981910、 (原题无答案)； 11、 A; 205412、0； 解析如下：由题意： 10baa且b或 0(0)又 不 能 为 分 母 不 能 为 01baa1,ba又 即11b，211920ab13、 ，923.84614、28 或26； 15、 ；
25、 16、67，12097208专题讲解例 1、 49675例 2、 0 例 3、 01例 4、 1例 5、 885 解析如下： 213342， 2359原 式例 6、 10解析如下： 123091220aa设原 式 =例 7、 ，21n75解析如下：实战演练1、1997.解析如下原式=999(998998998+1)998(9999999991)2、 3、1，6832 233 29(1)12631(12)n+n224、 分析如下：2013911228aaa5、 解析：672 233 211(23)n+n2348139n原 式6、A 解析如下 22133483515342041原 式 7、 解析如下：2018、 9、201201解析如下 11122123423460 11111236503650260 原 式 10、 20418401353192120359， 原 式 23解析如下： 111232420原 式
