1、第 2 章作业题解:2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以 X 表示前后两次出现的点数之和, 求 X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.解：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12由表格知 X 的可能取值为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。并且， ； ；31)2()(P362)1()(XP； ；604 495； 。5)8()6(X36)7(即 (k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)3|7|kP2.2 设
2、离散型随机变量的概率分布为 试确定常数 .,21,kaeXPa解：根据 ，得 ，即 。1)(0kX10ke1故 ea2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多.解：分别用 表示甲乙第一、二次投中，则)2,1(,iBAi1221212()0.7()0.3,()0.4,()0.6,PPAPBPB两人两次都未投中的概率为： ，3.61 两人各投中一次的概率为： 2016.4.07.4)()()()( 12211221 BAPBAPBA两人各投中两次的概率为： 。所以：0784.（1）两
3、人投中次数相同的概率为 3.0.63.(2) 甲比乙投中的次数多的概率为：1212121212()()()()()0.49.6049.30.36.58PABPABPAB2.4 设离散型随机变量 的概率分布为 ，求X5,43,kX)1().25.()2解：(1) 133P(2) )()().5.0(XPX5122.5 设离散型随机变量 的概率分布为 ，求,3,1k;6,42)1(P3)2(解： 31)21(21, 464 X413)2( XP2.6 设事件 A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当 A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验
4、, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1) )4()3()( XPXP1792.0.6.04C(2) )5()()()(.3174.0.645235 2.7 某城市在长度为 t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数 X 服从参数为0.5 t 的泊松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率：(1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾;(2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾.解：(1) ，由题意， ，所求事件的概率为 .()!kPXe0.531.,0k15e(2) , 由题意， ，所求0(2)11!e .54.事件的概率为
5、.213e2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？解：设应配备 m 名设备维修人员。又设发生故障的设备数为 X，则 。)01.,8(B依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于 0.99，即 ，也即9)(mP01.)(mXP因为 n=180 较大， p=0.01 较小，所以 X 近似服从参数为 的泊松分布。8.10查泊松分布表，得，当 m+1=7 时上式成立，
6、得 m=6。故应至少配备 6 名设备维修人员。2.9 某种元件的寿命 X(单位：小时) 的概率密度函数为：210,xfx求 5 个元件在使用 1500 小时后, 恰有 2 个元件失效的概率。解：一个元件使用 1500 小时失效的概率为 3101)5010( 5502xdxXP设 5 个元件使用 1500 小时失效的元件数为 Y，则 。所求的概率为),(B。2358()()24YC2.10 设某地区每天的用电量 X(单位：百万千瓦 时) 是一连续型随机变量, 概率密度函数为： 21),01,(),xxf其 他假设该地区每天的供电量仅有80万千瓦 时, 求该地区每天供电量不足的概率. 若每天的供电
7、量上升到90万千瓦 时, 每天供电量不足的概率是多少?解：求每天的供电量仅有80万千瓦 时, 该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地区用电量 X超过80万千瓦 时（亦即 X 0.8百万千瓦 时）的概率：0.80.82234.0(0.8=1-P(X.1-()1()627fxdxdx） ）若每天的供电量上升到 90 万千瓦 时, 每天供电量不足的概率为：0.90.92234.0(0.9=1-P(.1-()1()6837fxdxdx） ）2.11 设随机变量 求方程 有实根的概率.(,)KU20xK解：方程 有实根，亦即 ,230x24814(3)10K显然，当 时，方程 有实根；又由于123x
8、所求概率为： 。(2,4)KU()142.12 某型号的飞机雷达发射管的寿命 X(单位：小时) 服从参数为0.005 的指数分布, 求下列事件的概率：(1) 发射管寿命不超过100 小时;(2) 发射管的寿命超过300 小时;(3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间.解：(1) 发射管寿命不超过100 小时的概率：=0.3910 100.5.50.5().xxPXedee(2) 发射管的寿命超过 300 小时的概率： 1.5.(3)(3)()23P(3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间.。
9、0.5.15(1)0ee2.13 设每人每次打电话的时间(单位：分钟) 服从参数为0.5 的指数分布. 求282 人次所打的电话中, 有两次或两次以上超过10 分钟的概率.解：设每人每次打电话的时间为 X， XE(0.5)，则一个人打电话超过 10 分钟的概率为5105.105.)( edxePx又设 282 人中打电话超过 10 分钟的人数为 Y，则 。),28(B因为 n=282 较大， p 较小，所以 Y 近似服从参数为 的泊松分布。9.1285e所求的概率为 )1()0(1)2(PYP562.09.29.9. ee2.14 某高校女生的收缩压 X(单位：毫米汞柱) 服 , 求该校某名女
10、生：()N(1) 收缩压不超过105 的概率;(2) 收缩压在100 至120 之间的概率.解：(1) )42.0(1)42.0()1205()1( P3768.(2) )()()(X。5934.016.21.0283.).0( 2.15 公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01 设计的, 设成年男性的身高 X(单位：厘米) 服从正态分布 N(170， ), 问车门的最低高度应为多少?26解：设车门高度分别为 。则：x170()10.9()xP查表得， ，因此 ，由此求得车门的最低高度应为 184 厘米。2.32.362.16 已知20 件同类型的产品中有2 件次品, 其余为
11、正品. 今从这20 件产品中任意抽取4 次, 每次只取一件, 取后不放回. 以 X 表示4 次共取出次品的件数, 求 X 的概率分布与分布函数.解： X的可能取值为0,1,2。因为 ； ；1876512(0),29P218403()95CP3所以 X 的分布律为X 0 1 2P 29359X 的分布函数为 0129()512xFxx2.17 袋中有同型号小球5 只, 编号分别为1,2,3,4,5. 今在袋中任取小球3 只, 以 X 表示取出的3只中的最小号码, 求随机变量 X 的概率分布和分布函数.解： X 的可能取值为 1,2,3。因为 ； ；6.01)(3524CP 1.0)3(5CP所以
12、 X 的分布律为X 1 2 3P 0.6 0.3 0.1X 的分布函数为 3129.06)(xxF2.18 设连续型随机变量 X 的分布函数为：,()ln1,Fxxe求（1） ， ，2PX032.5PX（2）求 的概率密度函数 。()fx解：(1) ln)(F10)(30XP25.ln5.2ln5.2).2(2) 其 它01)(exxFf2.19 设连续型随机变量 X 的分布函数为：2,()0,0.xabeFx（1）求常数 ,ab（2）求 的概率密度函数 。X()fx（3）求 ln4l16.P解：(1)由 及 ，得 ，故 a=1,b=-1.)(F)0(lim0Fx01ba(2) )(2xexf
13、(3) )4ln()16l()ln4l( FXP。25.041()2l26lnee2.20 设随机变量 X 的概率分布为：X 0 232kp0.3 0.2 0.4 0.1解：(1) Y 的可能取值为 0, 2, 4 2。因为 ；.0)()0(XP；7.)(21.23()4(Y所以 Y 的分布律为Y 0 2 4 2P 0.2 0.7 0.1(2) Y 的可能取值为-1,1。因为 ；7.0)()0()1( XPP32所以 Y 的分布律为Y -1 1P 0.7 0.32.21 设随机变量 X 的分布函数为 01.3()82xFx（1）求 的概率分布； （2）求 的概率分布。XYX解：(1) X 的可
14、能取值为 F(x)的分界点，即-1,1,2。因为 ； ；3.01(P5.038.)1P 2.081)2(XP所以 X 的分布律为X -1 1 2P 0.3 0.5 0.2(2) Y 的可能取值为 1,2。因为 ；8.0)()1()( 2.2X所以 Y 的分布律为Y 1 2P 0.8 0.22.22 设随机变量 ，求下列随机变量 概率密度函数：(0,1)XNY（1） （2） ； (3) .;YXYe2解：(1) 已知 2)(xXxf因为 )21()()1( yFyXPyPyYF XY求导得 212) fffX8)1(2)1( 2yyee所以 Y 参数分别为-1, 2 2服从正态分布。(2) 已知
15、 1)(xXexf因为 2ln()(ln)(ln)1l1l1XY tyXFyPyPyeFd 求导得 2ln,0()0;xYeyfy(3) 已知 21)(xXexf()()(YXXFyPyPXy求导得 21,0()0;yYefy2.23 解：(1)已知 其 他01)(xxfX )()()ln2()() 22yXyY eFPyyPF求导得 12yXXefeff因为当 ，即 时， ；当 y 取其他值时 。20yeln)(2yXf 0)(2yXef所以 为所求的密度函数。其 他0l1)(2yyfY二、第二章定义、定理、公式、公理小结及补充：（1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量 X的可能取值为
16、Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=X k)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： ,|)(21kkpxxXP。显然分布律应满足下列条件：（1） 0kp， ,， （2）1kp。（2）连续型随机变量的分布密度设 )(xF是随机变量 X的分布函数，若存在非负函数 )(xf，对任意实数 x，有 df， 则称 为连续型随机变量。 )(xf称为 X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1 0)(xf。2 1d。（3）离散与连续型随机变量的关系dxfxXP)()( 积分元 在连续型随
17、机变量理论中所起的作用与 kpxXP)(在离xf散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数设 为随机变量， 是任意实数，则函数Xx)()PxF称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到 X 落入区间 的概率。分布)()(aFba ,(ba函数 表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。xF分布函数具有如下性质：1 ；,1)(0x2 是单调不减的函数，即 时，有 ；x21)(1xF23 ， ；0)(lim)(xFx lim)(x4 ，即 是右连续的；05 。)0()(xxXP对于离散型随机变量， ；xkpF对于连续型随机变量， 。df)()(0-1 分布 P(X=1)=p,
18、 P(X=0)=q（5）八大分布二项分布 在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生nApA的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。Xn,210， 其中knknqpCPkX)(，pq,210,0,1则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为。),(nB当 时， ， ，这就是（0-1）分1kqpXP1).0布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布 设随机变量 的分布律为X， ， ，ekP!)(02,1k则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或)(X者 P( )。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n） 。超几何分布 ),min(210,)( MllkCkXPn
19、NkM随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。几何分布 ，其中 p0，q=1-p。,321,)(pqk随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。均匀分布 设随机变量 的值只落在a，b内，其密度函数 )(xf在a，b上为常数 ，即ab其他，,01)(xf则称随机变量 X在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。分布函数为xdfF)()(当 ax 1b。axb指数分布其中 0，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。X 的分布函数为记住积分公式： !0ndxen)(xf,xe 0,0, ,)(xF,1xe0,0x0。正态分布 设随机变量 X
20、的密度函数为， x，2)(1)(xexf其中 、 0为常数，则称随机变量 X服从参数为 、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 ),(2N。)(xf具有如下性质：1 的图形是关于 x对称的；2 当 时， 为最大值；21)(f若 ,(2NX，则 X的分布函数为dtexFxt21)。 。参数 0、 1时的正态分布称为标准正态分布，记为),(NX，其密度函数记为 2xex， ，分布函数为。xtde21)(是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)1-(x)且 (0) 。1如果 ，则 。X),(2NX),0(N。 11 xxxP（6）分位数 下分位表： ；)(上分位表： 。离散型 已知 的分布列为X， ,)(21ni pxxP的分布列（ 互不相等）如下：gY)(iixgy， ,)(21ni ppxy若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。i )(ixg（7）函数分布连续型 先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。
