概率论与数理统计答案 第四版 第1章(浙大).doc

1、1、 写出下列随机试验的样本空间 S：（1） 记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分） 。（2） 生产产品直到有 10 件正品为之，记录生产产品的总件数。（3） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品” ，不合格的记上“次品” ，如连续查出了 2 件次品就停止检查，或检查了 4 件产品就停止检查，记录检查结果。（4） 在单位圆内任取一点，记录它的坐标。(1)解：设该班学生数为 n，总成绩的可取值为 0,1,2,3，100n，(2)解：S=10、11、12所以试验的样本空间为 S=i/n| i=1、2、3100n(3)解：设 1 为正品 0 为次品S=00，100，1100，01

2、0，1111，1110，1011，1101，0111，0110，0101，1010 (4)解：取直角坐标系，则 S=（x，y）|x 2+y20，证明 P（AB|A）P（AB|A B）（2）若 P（A|B）=1，证明 P（ | ）=1（3）若设 C 也是事件，且有 P（A|C）P（B|C） ，P（A| ）P（B| ） ，证明 P（A）P（B）解：（1） P（AB|A）=（ )（ ） =（ )（ ）P（AB|A B）= （ ）（ ） =(）（ ）因为 P(A) 笔误?右边是并吧（ ）所以 （ )（ ） (）（ ）因此 证明 P（AB|A）P（AB|A B）（2）P（ | ）= = =（ )（ ）

3、1（ ）1（ ） 1()()+()1（ ）因为 P（A|B）=（ )（ ）所以 P(AB)=P(B)所以 P（ | ）=1()()+()1（ ） =1()1（ ） =1（3）P（A）=P(AC)+ P(A )= P（A|C）P(C)+ P（A| ）P（ ） P（B）= P(BC)+ P(B )= P（B|C）P(C)+ P（B| ）P（ ） 所以 P(A)-P(B)=P(C)( P（A|C）- P（B|C）)+ P（ ）(P（A| ）- P（B| ）) 已知 P（A|C）P（B|C） P（A| ）P（B| ） 所以 P(A)-P(B) 0所以 P（A）P（B）28有两种花籽，发芽率分别为 0.

4、8 和 0.9，从中各取一个，设各花籽是否发芽相互独立（1）这两颗花籽都能发芽的概率（2）至少有一颗能发芽的概率（3）恰有一颗能发芽的概率解：设事件 A 为 a 花籽发芽，事件 B 为 b 花籽发芽（1） P（AB）=P(A)P(B)=0.72（2） P（A B）=P(A)+P(B)-P(AB)=0.98（3） P(A B)= P（A B）- P（AB）=0.26 29、根据报道美国人血型的分布近似地胃：A 型为 37，O 型为 44，B 型为13，AB 型为 6。夫妻拥有的血型是相互独立的。（1）B 型的人只有输入 B、O 两种血型才安全。若妻为 B 型，夫为何种血型未知，求夫是妻的安全输血

5、者的概率。（2）随机地取一对夫妇，求妻为 B 型夫为 A 型的概率。（3）随机地取一对夫妇，求其中一人为 A 型，另一人为 B 型的概率。（4）随机地取一对夫妇，求其中至少有一人是 O 型的概率。解：设一个人的血型为 A,B,0，AB 分别为事件 A,B,O,AB.(1)设夫是妻的安全输血者为事件 C,则 P（C）=P（B）+ P（O）=13%+44%=0.57(2)设妻为 B 型夫为 A 型为事件 D,则 P（D）=P（B）P（A）=13%37%=0.0481（4） 设随机地取一对夫妇，其中一人为 A 型，另一人为 B 型为事件 X，则事件 X 包括妻为 B 型夫为 A 型和妻为 A 型夫为

6、 B 型,P（X）=P(A) P(B)+ P(A) P(B)=0.0962(4)法一：设随机地取一对夫妇，其中至少有一人是 O 型为事件 Y，一个人的血型不是O 为事件 ,则事件 Y 可表示为两人恰有一人为 O 型和两人都是 O 型，P(Y)=P(O) P( )O+P(O) P( )+P(0) P(O)=0.6864法二：设随机地取一对夫妇，其中至少有一人是 O 型为事件 Y，则事件 Y 的对立事件为两人都不是 O 型血（事件 ）,则 P(Y)=1-P( )=1- P( )P( )=0.6864YY30、 （1）给出事件 A、B 的例子，使得（i）P（A B）P（A） ， （ii）P（A B）

7、=P（A） （iii）P（A B）P（A）（2）设事件 A、B、C 相互独立，证明：（i）C 与 AB 相互独立 （ii）C 与 AB 相互独立。（3）设事件 A 的概率 P（A）=0，证明对于任意另一事件 B，有 A、B 相互独立。（4）证明事件 A、B 相互独立的充要条件是 P（A B）=P（A B ）答：（1） （i）当事件 B 发生会是事件 A 发生的概率减小时，P（A B）P（A）比如 A 是骑自行车上学的学生，B 是男生，全集是所有学生（ii）当事件 B 发生对 A 没有影响，即 A、B 互为独立事件时，P（A B）=P（A）比如事件 A 是扔骰子得到一点，事件 B 是明天下雨。（

8、iii）当事件 B 发生会是事件 A 发生的概率增加时，P（A B）P（A）比如事件 A 是课余时间我去健身，事件 B 是课余时间室友们健身，显然他们很有可能对我的决定产生影响。（2） （i）A、B、C 相互独立P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=P（AB）P（C）即 P（AB）C）=P（AB）P（C） C 与 AB 相互独立（ii）P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）P（AB）P（C）=P（A）P（C）+P(B)P(C)-P(AB)P(C)=P(AB)C)C 与 AB 相互独立（3）因 AB A,故若 P（A）=0，则0P（AB ） P(A)从而 P(AB)=0=P(B)0=P(B

9、)P(A)按定义，A,B 相互独立。（4）必要性.设 A,B 相互独立，则 A, 也相互独立，从而只 P（A|B）=P(A), BP(A| )=P(A).故 P（A|B）= P(A| ).B充分性.设 P（A|B）= P(A| )，按定义此式即表示()()()(1ABAP=()PB()由比例的性质得=()A()()()(1PAB31.设事件 A，B 的概率均大于零，说明以下叙述（1）必然对， （2）必然错， （3）可能对。并说明理由。（1）若 A 与 B 互不相容，则它们相互独立。（2）若 A 与 B 相互独立，则它们互不相容。（3）P(A)=P(B)=0.6，且 A,B 互不相容。（4）P(

10、A)=P(B)=0.6，且 A,B 相互独立。解：（1） 、 （2）必然错原因：若 A，B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B) 0若 A，B 互不相容，则 AB=,即 P(AB)=0所以（1） 、 （2）必须错（3）必然错原因：P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) 1P(A)=P(B=0.6) 笔误即 P(AB) 0.2 0 则 A，B 不可能互不相容（4）可能对原因：当 P（AB）=P(A)P(B)=0.36 时，A，B 相互独立，否则 A，B 不相互独立。32.有一种检验艾滋病毒的检验法，其结果有概率 0.005 报道为假阳性（即不带艾滋病毒者，经此法检验有 0.005 的

11、概率被认为带艾滋病毒） ，今有 140 名不带艾滋病毒的正常人全都接受此种检验，被报道至少有一人带艾滋病毒的概率为多少？解：设事件 A 表示被报道至少有一人带艾滋病毒P(A)=140=1140()=1-140(0)=1-0140(0.005)0(0.995)140=0.504333、盒中有编号为 1,2,3,4 的 4 只球，随机地自盒中取一只球，事件 A 为“取得的是 1 号球或 2 号球” ，事件 B 为“取得的是 1 号或 3 号球” ，事件 C 为“取得的是 1 号或 4 号球”验证：P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，但 P(AB

12、C)P(A)P(B)P(C)，即事件 A，B，C 两两独立，但 A，B，C 不是相互独立的。解、由题意知，事件 AB，AC，BC，ABC 均为“取得的是 1 号球”则 P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)= ，且 P(A)=P(B)=P(C)= =424所以 P(AB)=P(A)P(B)= ，P(AC)=P(A)P(C)= ，P(BC)=P(B)P(C)= ,1但 P(ABC)= P(A)P(B)P(C)= 。48故可证明事件 A，B，C 两两独立，但 A，B，C 不是相互独立的。34、试分别求以下两个系统的可靠性：（1）设有四个独立工作的元件 1，2，3，4，它们的可靠性分别为

13、p1,p2,p3,p4,将它们按题 34 图（1）的方式连接（称为并串联系统）（2）设有 5 个独立工作的元件 1,2,3,4,5，它们的可靠性均为 p,将它们按题 34 图（2）的方式连接（称为桥式系统） 。12 34图 （ 1）1 234 5图 （ 2）解：（1）设系统工作为事件 B，元件 1,2,3,4 工作分别为事件 A1，A2，A3，A4，则P（B）=P（A1）P（A2A3A4）=P1P(A2A3)+P(A4)-P(A2A3A4)=p1p2p3+p1p4-p1p2p3p4(2)设系统工作为事件 B,元件 1,2,3,4,5 工作分别为事件 A1，A2，A3，A4，A5 则法一 P(B

14、)=P3P(A1A4)P(A2A5)+(1-P3)P(A1A2A4A5)=p（p+p-p*p）(p+p-p*p)+(1-p)(P*P+p*p-p*p*p*p)= 5432p2p法二 P(B)=P(A1A2A1A3A5A4A5A4A3A2)=p(A1A2)+P(A1A3A5)+P(A4A5)+P(A4A3A2)-P(A1A2A1A3A5)-P(A1A2A4A5)-P(A1A2A4A3A2)-P(A1A3A5A4A5)-P(A1A3A5A4A3A2)-P(A4A5A4A3A2)+P(A1A2A1A3A5A4A5)+P(A1A2A1A3A5A4A3A2)+P(A1A2A4A5A4A3A2)+P(A1

15、A3A5A4A5A4A3A2)-P(A1A2A1A3A5A4A5A4A3A2)= 54322pp35、如果一危险情况 C 发生时，一电路闭合并发出警报，我么可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性. 在 C 发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出. 如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有 0.96 的可靠性（即在情况 C 发生时闭合的概率） ，问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性为 0.9999 的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的.解：法一设 表示事件“ 第 i 只开关闭合 ”，则 表示事件“第 i 只开关断

16、开 ”，i .根据题 意， (i )之间彼此独立且 P( )=0.96. 另设 表示事件“有 i 个开关并联时遇到情 况 C 电路闭合” ， i .（1）当有两只开关并联时,系统可靠性为P ( )2=P ( )12=1-P (12)=1-P ( )12=1-P ( )1)(2=1-(1-0.96) (1-0.96)=0.9984当有两个开关并联连接时，系统可靠性为 0.9984.（2）当有 n 只开关并联时，系统可靠性为P ( )=P ( )12=1-P ( )12=1-P ( ) P ( ) P ( )1 2 =1-(10.96)=1-0.04所以要使 P ( )达到 0.9999，即 P

17、( ) 0.9999，则 1- 0.99990.04即 0.00010.04即 nlg0.04lg0.0001即 nlg0.0001lg0.04=4lg25=2.861因为 n 只能为整数，所以 n 至少为 3，即如果需要有一个可靠性为 0.9999 的系统，则至少需要用 3 只开关并联.法二1) 解：设两个开关分别为 A 和 B.电路的可靠性即开关至少一个闭合，又因为 A 与 B 相互独立，故P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(B)-P(A)*P(B)=0.96+0.96-0.96*0.96=0.99842) 解：为使系统可靠性达到 0.9999，设需要 n 个开关

18、，第 i 个开关用 Xi 表示，n 个开关相互独立，同理，P(X1+X2+X3+.+Xi+Xn)=1()1()+(1)1(12)则令 n=3 时，P(X1+X2+X3)=P(X1)+P(X2)+P(X3)-P(X1X2)-P(X1X3)-P(X2X3)+P(X1X2X3)= P(X1)+P(X2)+P(X3)-P(X1X2)-P(X1X3)-P(X2X3)+P(X1)P(X2)P(X3)=0.96*3-0.96*0.96*3+0.963 =0.9999360.9999因此当 n=3 时，已可以使系统达到要求的可靠性。故至少需要用 3 个这样开关。36、三人独立地破译一份密码，已知个人能译出的概

19、率分别为 1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：设 表示事件 “第 i 个人译出密码 ”，i=1,2,3. 之间相互独立。 则事件“至少一人能将此密码译出”即 .123P ( )123=1-P ( )123=1-P ( )123=1-P ( ) P ( ) P ( )1 2 3=1-(1- ) (1- ) (1- ) 15 13 14= .35所以三人中至少有一人能将此密码译出的概率是 3/5。37. 设第一只盒子中装有 3 只蓝球，2 只绿球，2 只白球；第二只盒子中装有 2 只蓝球，3只绿球，4 只白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球。（1）求至少有一

20、只蓝球的概率（2）求有一只蓝球一只白球的概率（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率解：（1）设“至少有一只蓝球”为事件 ，则其对立事件 为“两只盒子都未抽到蓝球”A 因为在两只盒子中取球相互独立，所以 P（ ） =4779= 49则所求概率 P（ ） 1 - P（ ） 1 - A = =49 = 59（2）设“有一只蓝球一只白球”为事件 B， “第一只盒子取到蓝球，第二只盒子取到白球”为事件 C， “第一只盒子取到白球，第二只盒子取到蓝球”为事件 D则 P（ ） P（ ） C =3749 =421 D =2729=463由于事件 C、D 互斥，则所求概率 P（ ）= P（ ）+

21、P（ ）=B C D 421+463=1663（3）由（1） （2）所设及题意知所求概率为P（B|A） / =（ ）（ ） =（ ）（ ） =166359=163538. 袋中装有 m 枚正品硬币、n 枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽） ，在袋中任取一枚，将它投掷 r 次，已知每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率为多少？解：设“一枚硬币投掷 r 次每次都得到国徽”为事件 A， “这枚硬币是正品”为事件 B由于每次投掷硬币相互独立，则 P（A|B）= P（A| ）=1 （12） BP（B）= P（ ）= 1- P（ ）= + B + 由题意知所求概率为 P（B|A） 根据贝叶斯公式 P（B

22、|A）= = = （ ）（ ） = ()（ ）()（ ） +()（ ） （ 12） + （ 12） + +1 + 2+T39. 设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%（这一事件记为 ）,损坏 10%（事件 ）,损坏 90%（事件 ）,且知 P( )=0.8，P( )1 2 3 1 2=0.15，P( )=0.05.现在从已被运输的物品中随机地取 3 件，发现这 3 件都是好的（这一3事件记为 B）.试求 P( |B), P( |B) ,P( |B) (这里设物品件数很多，取出一件后不影1 2 3响取后一件是否为好品的概率)。解：P(B| )= =0.9411

23、921 (12%)3P(B| )= =0.7292 (110%)3P(B| )= =0.0013 (190%)3P( )=P(B| )*P( )=0.941192*0.8=0.75295361 1 1P( )=P(B| )* P( )= 0.729*0.15=0.109352 2 2P( )=P(B| )* P( )= 0.001*0.05=0.000053 3 3因为 、 、 是 S 的一个划分，由全概率公式得：1 2 3P(B) = P(B| )*P( )+P(B| )*P( )+P(B| )*P( )1 1 2 2 3 3= 0.941192*0.8+0.729*0.15+ 0.001*

24、0.05=0.8623536再由贝叶斯公式得：P( |B)=1(1)()=(|1)(1)(|1)(1)+(|2)(2)+(|3)(3)=0.75295360.8623536=0.8731P( |B)=2(2)()=(|2)(2)(|1)(1)+(|2)(2)+(|3)(3)=0.109350.8623536=0.1268P( |B)=3(3)()=(|3)(3)(|1)(1)+(|2)(2)+(|3)(3)=0.000050.8623536=0.0001T40. 将 ABC 三个字母之一输入信道，输出为原文字的概率为 a，而输出为其他字母的概率都是（1-a）/2.今将字母串 AAAA,BBBB

25、,CCCC 之一输入信道，输入 AAAA,BBBB,CCCC 的概率分别为 ， ， （ + =1） ，已知输出为 ABCA，问输入的是 AAAA 的概率是多少？1 2 3 12+3（设信道传输各个字母的工作室相互独立的.）解：设：事件 A 表示输入的为 AAAA，事件 B 表示输入的为 BBBB，事件 C 表示输入的为CCCC，事件 D 表示输出的为 ABCA. 设信道传输各个字母的工作室相互独立的,所以有已知 P(A)= ，P(B)= ，P(C)= . 1 2 3可求出 P(AD)= , 12 (1)2 4P(D|A)= , 2 (1)2 4P (D|B) = , (1)3 8P (D|B) = (1)3 8由贝叶斯公式得：P (A|D) = = ()() (|)()()(|)+()(|)+()(|)=12 (1)2 412 (1)2 4 +2 (1)3 8 +3 (1)3 8=21 (31)1+1