概率论与数理统计作业及解答.doc-道客多多

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1、概率论与数理统计第 1 页共 32 页概率论与数理统计作业及解答第一次作业 1. 甲乙丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹设事件 A B C 分别表示甲乙丙击中目标则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示.事件事件最多有一个发生,则的表示为E,ABCE或或;ABC;或或;().(和即并 ,当互斥即时常记为 )AB2. 设 M 件产品中含 m 件次品计算从中任取两件至少有一件次品的概率.或21mC12(1)MC3. 从 8 双不同尺码鞋子中随机取 6 只计算以下事件的概率.A8 只鞋子均不成双 , B恰有 2 只鞋子成双, C 恰有 4 只鞋子成双.6182()3()

2、0.8,4P148726()0().59,3P1862.9C4. 设某批产品共 50 件其中有 5 件次品现从中任取 3 件求 (1)其中无次品的概率 (2)其中恰有一件次品的概率 (1) (2)345019.7246C2145309.26C5. 从 19 九个数字中任取 3 个排成一个三位数求 (1)所得三位数为偶数的概率 (2) 所得三位数为奇数的概率 (1) 三位数为偶数尾数为偶数PP4,9(2) 三位数为奇数尾数为奇数5,或三位数为奇数三位数为偶数141.96. 某办公室名员工编号从到任选人记录其号码求(1)最小号码为的概率 (2)0035最大号码为的概率

3、5记事件 A最小号码为 , B最大号码为 .5(1) (2) 25310();CP24310().CP7. 袋中有红、黄、白色球各一个每次从袋中任取一球记下颜色后放回共取球三次求下列事件的概率: =全红 =颜色全同 =颜色全不同 =颜色不全同D =无黄色球 =无红色且无黄色球 =全红或全黄.EFG概率论与数理统计第 2 页共 32 页31(),27PA1()3,9PBA3!2(),9PC8()1(),9PDB8,E3,27F.7GA.某班 n 个男生 m 个女生(mn1)随机排成一列计算任意两女生均不相邻的概率. .在0 1线段上任取两点将线段截成三段计算三段可组成三角形的概率.14第二

4、次作业 1. 设 A B 为随机事件 P (A)0.92 P(B)0.93 求(1) (2) (|)0.85A(|)PAB()(1) 0.85(|),.6,10.92 ()()92.30.58,).58(|).3PAB(2) ()PAB092.860.2. 投两颗骰子已知两颗骰子点数之和为 7求其中有一颗为 1 点的概率.记事件 A , B .(1,6)25,(34),(5),1(,)|.PB.在 12000 中任取一整数求取到的整数既不能被 5 除尽又不能被 7 除尽的概率记事件 A能被 5 除尽, B能被 7 除尽.取整40(),22085,287(),04PB205,57(),20P

5、AB()1()1()PBAA157.6403. 由长期统计资料得知某一地区在 4 月份下雨(记作事件 A)的概率为 4/15 刮风( 用B 表示)的概率为 7/15 既刮风又下雨的概率为 1/10 求 P(A|B)、P (B|A)、P (AB) ()1/03(|),75PAB)1/03|),(458PBA(479.154 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是 1/2若第一次落下未摔破第二次落下时摔破的概率是 7/10若前二次落下未摔破第三次落下时摔破的概率是 9/10试求落下三次而未摔破的概率记事件 =第次落下时摔破 iA1,3.i概率论与数理统计第 3 页共 32 页12

6、3121312793()(|)(|)1.020PAPA5 设在张彩票中有一张奖券有 3 个人参加抽奖分别求出第一、二、三个人摸到奖券n概率记事件 =第个人摸到奖券 i ,.i由古典概率直接得 1231()()PAPAn或 2121()| ,PA33123121)(|)(|).2nn或第一个人中奖概率为 ,PAn前两人中奖概率为解得1212()(),n21(),PAn前三人中奖概率为解得3 3(,3().6 甲、乙两人射击甲击中的概率为 08 乙击中的概率为 07 两人同时射击假定中靶与否是独立的求(1)两人都中靶的概率 (2) 甲中乙不中的概率 (3)甲不中乙中的概率记事件 =

7、甲中靶 =乙中靶. AB(1) ()()0.7.56,P(2) 8024P(3) 17 袋中有 a 个红球 b 个黑球有放回从袋中摸球计算以下事件的概率 (1)A在 n 次摸球中有 k 次摸到红球 (2)B第 k 次首次摸到红球 (3)C第 r 次摸到红球时恰好摸了 k 次球 (1) () ;()knnkknababPC(2) 11;()kB(3) 1 1() .()rkrrkrkababC8一射手对一目标独立地射击 4 次已知他至少命中一次的概率为求该射手射击一80.1次命中目标的概率设射击一次命中目标的概率为 ,1.pq4802,.133qpq9 设某种高射炮命中目标的概率为 0.

8、6 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99 的概率命中目标概率论与数理统计第 4 页共 32 页由得(10.6).9,n04.1,n50.412,60.41,6.n.证明一般加法(容斥)公式 1 11()()()().ni iijijkiijijkPAPAAPA 证明只需证分块只计算 1 次概率( 是的一11,knkiiiii ,n ,个排列 )分块概率重数为,2.k中任取 1 个任取 2 个任取个即1ii 1()(kkCC2)(1)0.kk将互换可得对偶加法(容斥)公式, 111()()()().nn ni iijijkiij ijkPAPAPAPA .证明若

9、 A B 独立 A C 独立则 A BC 独立的充要条件是 A BC 独立.证明()()()()()充分性 :代入()()()(),PPP()()BCP即独立.ABCABA必要性 :()()()()C()A即独立.,P.证明：若三个事件 A、B、C 独立，则 AB、AB 及 AB 都与 C 独立证明因为()()()()()()(APPPB)()()()()CABCABCAP()APPBCP所以 AB 、AB 及 AB 都与 C 独立.第三次作业 1 在做一道有 4 个答案的选择题时如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测设他知道问题的正确答案的概率为 p 分别就 p0.6 和 p

10、0.3 两种情形求下列事件概率 (1)学生答对该选择题 (2)已知学生答对了选择题求学生确实知道正确答案的概率记事件 =知道问题正确答案 =答对选择题. (1) 由全概率公式得 ()(|)(|)PBAPBA13,4p概率论与数理统计第 5 页共 32 页当时0.6p130.67() .,441pPB当时.3.39.45(2) 由贝叶斯公式得 ()(|) ,13PABp当时0.6p40.6(|),137pPAB当时.3.12| .392 某单位同时装有两种报警系统 A 与 B 当报警系统 A 单独使用时其有效的概率为0.70 当报警系统 B 单独使用时其有效的概率为 0.80.在

11、报警系统 A 有效的条件下报警系统 B 有效的概率为 0.84.计算以下概率 (1)两种报警系统都有效的概率 (2)在报警系统 B 有效的条件下报警系统 A 有效的概率 (3)两种报警系统都失灵的概率.()0.7,().8,(|)084PAP(1) |75,(2) .5(|)3,(3) )1()1()()BABPBA10.78.0.8.为防止意外在矿内同时设有两种报警系统 A 与 B 每种系统单独使用时其有效的概率系统 A 为 0 92 系统 B 为 0.93 在 A 失灵的条件下 B 有效的概率为 0.85 求: (1)发生意外时两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的

12、条件下 A 有效的概率 3 设有甲、乙两袋甲袋中有只白球只红球乙袋中有只白球只红球nmNM从甲袋中任取一球放入乙袋在从乙袋中任取一球问取到白球的概率是多少记事件 =从甲袋中取到白球 =从乙袋中取到白球. AB由全概率公式得 ()(|)(|)PBPA11nNNmMn().1nm.设有五个袋子其中两个袋子每袋有 2 个白球 3 个黑球另外两个袋子每袋有1 个白球 4 个黑球还有一个袋子有 4 个白球 1 个黑球 (1)从五个袋子中任挑一袋并从这袋中任取一球求此球为白球的概率 (2)从不同的三个袋中任挑一袋并由其中任取一球结果是白球问这球分别由三个不同的袋子中取出

13、的概率各是多少？4 发报台分别以概率 06 和 04 发出信号 “” 及 “” 由于通信系统受到于扰当发出信号 “” 时收报台分别以概率 08 及 02 收到信息 “” 及 “” 又当发出信号 “” 时收报台分别以概率 09 及 0l 收到信号 “” 及 “” 求: (1)收报台收到 “”的概率概率论与数理统计第 6 页共 32 页(2)收报台收到“” 的概率 (3)当收报台收到 “” 时发报台确系发出信号 “” 的概率(4)收到 “” 时确系发出 “” 的概率记事件 =收到信号 “” =发出信号 “” =发出信号“ ”. B1A2A(1) )|()|()( 221BPP ;52

14、.014.)01(6. (2) 0.5.48;(3) 1111 |(|)()A0.8.93;5(4) 2222)|BAPP.0.7545 对以往数据分析结果表明当机器调整良好时产品合格率为 90% 而机器发生某一故障时产品合格率为 30% 每天早上机器开动时机器调整良好的概率为 75% (1)求机器产品合格率(2)已知某日早上第一件产品是合格品求机器调整良好的概率记事件 =产品合格 =机器调整良好. BA(1) 由全概率公式得 ()(|)(|)PPB0.759.203.75,(2) 由贝叶斯公式得 (|)| AP9.系统(A) (B) (C)图如下系统(A) (B)由 4 个元件组

15、成系统(C)由 5 个元件组成每个元件的可靠性为 p 即元件正常工作的概率为 p 试求整个系统的可靠性.(A) (B) (C) 记事件 =元件 5 正常 =系统正常. AB(A) 22(|)(1)(4),PBpp(B) 2(C) 由全概率公式得 ()(|)(|)PA22241ppp345.第四次作业 1 在 15 个同型零件中有 2 个次品从中任取 3 个以表示取出的次品的个数求X的分布律.X2135(),0,.kCPX0 1 2P22/35 12/35 1/35.经销一批水果第一天售出的概率是 0.5 每公斤获利 8 元第二天售出的概率是0.4 每公斤获利 5 元第三天售出

16、的概率是 0.1 每公斤亏损 3 元求经销这批水果每概率论与数理统计第 7 页共 32 页公斤赢利 X 的概率分布律和分布函数 X35 8P0.1.40.0,3,().,)5(5)5,8,81,.xFxx2 抛掷一枚不均匀的硬币每次出现正面的概率为 2/3 连续抛掷 8 次以表示出现X正面的次数求的分布律.X(,2/3),Bnp: 8821(),0,.3kkPkC3 一射击运动员的击中靶心的命中率为 0.35 以 X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数写出 X 的分布律并计算 X 取偶数的概率 (0.5),G11()0.56,2.kkpq+=1(),Pq奇偶偶奇解得 0

17、.6530.941X:偶4 一商业大厅里装有 4 个同类型的银行刷卡机调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为 0.1求在同一时刻(1)恰有 2 个刷卡机被使用的概率(2) 至少有 3 个刷卡机被使用的概率(3)至多有 3 个刷卡机被使用的概率(4) 至少有一个刷卡机被使用的概率在同一时刻刷卡机被使用的个数 (4,0.1)XBnp:(1) 224()0.19.086,PXC(2) 344()().9.37,PC(3) 3.,(4) () 1.50.5 某汽车从起点驶出时有 40 名乘客设沿途共有 4 个停靠站且该车只下不上每个乘客在每个站下车的概率相等并且相互独立试求 (1)全在终

18、点站下车的概率 (2)至少有 2 个乘客在终点站下车的概率 (3)该车驶过 2 个停靠站后乘客人数降为 20 的概率记事件 =任一乘客在终点站下车乘客在终点站下车人数A (40,1/).XBnp:(1) 40231()8.71,PX(2) 403940132()() 1PXC10.3480.9652.(3) 记事件 =任一乘客在后两站下车乘客在后两站下车人数B (,1/2).YBnp:概率论与数理统计第 8 页共 32 页(精确值)2020441(2) .168CPYC应用斯特林公式 !,nne:2020441(2)X240!()2042e:.165:其中 3.14596,.73809

19、.参贝努利分布的正态近似6 已知瓷器在运输过程中受损的概率是 0.002 有 2000 件瓷器运到求 (1)恰有 2 个受损的概率 (2)小于 2 个受损的概率 (3)多于 2 个受损的概率 (4)至少有 1 个受损的概率受损瓷器件数近似为泊松分布(0,.),XBnp: (4).Pnp(1) 2418.165!Pe(2) 42 .9782,(3) 31230e(4) 440.86.Pe7 某产品表面上疵点的个数 X 服从参数为 1.2 的泊松分布规定表面上疵点的个数不超过 2 个为合格品求产品的合格品率产品合格品率21.1.21.908794.!e8 设随机变量 X 的分布律是 3

20、5 8P0.23求X 的分布函数以及概率 (6),(1),(),(|5).XPX随机变量 X 的分布函数为0,3,()0.2,35,)5().0.7,8,81,.xFxPx(36)()5,X8.3.8,X5|()(5)0.2.7,FPX第五次作业概率论与数理统计第 9 页共 32 页1 学生完成一道作业的时间 X 是一个随机变量(单位小时) 其密度函数是2,0.5()kxf其他试求 (1)系数 k (2)X 的分布函数 (3)在 15 分钟内完成一道作业的概率 (4)在 10 到 20分钟之间完成一道作业的概率 (1) 0.50.5232111(.) ,2,48kkFxdx(2) 23

21、20,()7,0.5,.51,.xxPXxF(3) 3220119() .14062,44xd (4) 32316 97.63 8PXFxd2 设连续型随机变量 X 服从区间 a a(a0)上的均匀分布且已知概率求 1()3PX(1)常数 a (2)概率 1()3P(1) 1(),32aXdx(2) 35.693 设某元件的寿命 X 服从参数为的指数分布且已知概率 P(X50)e4 试求 (1)参数的值 (2) 概率 P(25X100) 补分布 ()|,0.xxxSxxede:(1) 50450 250 8,5(2) 由取依次令得()(),rxeSrx ,1,r12 28225

22、,(10)(0)()SPXeSPXSe 0.3546,其中 .7184.: 28(0)(5)e.36.36.3497.4 某种型号灯泡的使用寿命 X(小时)服从参数为的指数分布求 (1)任取 1 只灯泡10使用时间超过 1200 小时的概率 (2)任取 3 只灯泡各使用时间都超过 1200 小时的概率概率论与数理统计第 10 页共 32 页(1) 13208().2106,PXe此处 .647.e(2) 932()95.5 设 XN(0 1) 求 P( X061) P(262X125) P(X134) P(|X|213) (1) 0.17,(2) (265)1).6).25).6).8

23、943.89,(3) (34.0.9,(4) (|.1)2.)283418.PX6 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间 XN(4 ) 设飞机上午 10 10 从甲地起飞求 (1)9飞机下午 2 30 以后到达乙地的概率 (2)飞机下午 2 10 以前到达乙地的概率 (3)飞机在下午 1 40 至 2 20 之间到达乙地的概率 (1) 3131/34(1)0.843.156,PXP(2) (4)(0.5,(3) 72/647/2613131.90.90.645.7 设某校高三女学生的身高 XN(162 25) 求 (1)从中任取 1 个女学生求其身高超过 165 的概率 (2)从中任取 1 个女学

24、生求其身高与 162 的差的绝对值小于 5 的概率 (3)从中任取 6 个女学生求其中至少有 2 个身高超过 165 的概率 (1) 265(15) 0.1(.6)0.7258.4,PX(2) 1|2| ().8431.,XP(3) 记事件 =任一女生身高超过 165 A()pPAX随机变量贝努利分布Y:(6,0.27),Bn615(2)1(0)1)(0.27.PYCp第六次作业 1.设随机变量 X 的分布律为(1)求 Y|X|的分布律 (2)求 YX2X 的分布律 X 2 1 0 1pk 462概率论与数理统计第 11 页共 32 页(1) Y0 1 2P1/6 1/3 1/2(2)

25、0 22/12 7/12.定理（连续型随机变量函数的密度公式）设连续型变量密度为 , 严X()Xfx()yg格单调,反函数导数连续,则是连续型变量,密度为()xy()YgX| (),()0,XYf xygxfy 极小值极大值其它 .证明 1)若 (),(),()()(XFPgPF两边对求导, y),.YXffxy2)若 (0(),YXx) ()1(),Xgx两边对求导, y(),.YXffxy因此总有 |()|,.xy或证明 ()(,)0,()()(1(XY PxFgxFyPg两边对求导, (),()XYdxyfy或两边微分 (),() ()XY XdFxfddFyf

27、 XU2 2 求 Y4X21 的密度函数 1()()()1,5,24Y y两边对求导得随机变量的密度为y1(),5.8Yf y或解反函数支 121(),(),xxy 11()|(),15.8YXXXfyfyffxyy 4 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布求 YX2 的密度函数( Weibull 分布) 当时, 的分布 ,当时,02()0YFy2() ),YFyPPFy两边对求导得1()(,yYXffye1,0,2()0,.yYef或反函数 ,yx(yYXyffx5 设随机变量 XN(0 1) 求(1)Y e X 的密度函数 (2)YX2 的密度函数(Gamma 分布)

28、 (1) 当时 , 的分布 ,当时,0e()0F()(ln)(l),XYFyPyPy因而的密度为 1()ln)(l)n(l),Yf y2(ln)1exp,0,(20,.Yyfy或反函数 l,Xl,yxln)Yyfx 2(l),.y(2) 当时 , ;当时,0y()0YF 2()()()()Y XPPFy概率论与数理统计第 13 页共 32 页两边对求导得的密度函数为yY21,0,()0,.yYefy或反函数支 12(),(),xy 221()|()|,0.yYXXfyffxye6 设随机变量 X 的密度函数是求 YlnX 的概率密度 ,()01xf反函数 ,yxe() ,

29、.yyYyXffxe第七次作业.将 8 个球随机地丢入编号为 1 2 3 4 5 的五个盒子中去设 X 为落入 1 号盒的球的个数 Y 为落入 2 号盒的球的个数试求 X 和 Y 的联合分布律 1 袋中装有标上号码 1 2 2 的 3 个球从中任取一个并且不再放回然后再从袋中任取一球以 X Y 分别记第一、二次取到球上的号码数求 (1)(X Y)的联合分布律(设袋中各球被取机会相等) (2)X Y 的边缘分布律 (3) X 与 Y 是否独立？(1)(X Y)的联合分布律为(1,)0,P 1(1,2)(,1)(2,).3PPP(2) X Y 的分布律相同 2.33X(3) X 与 Y

30、不独立2 设二维连续型变量的联合分布函数(,)Y35(1),0,(,)0,.xyexFxy其它求联合密度(,)2(,)fxyFxy351,0,.xyef其它3 设二维随机变量(X Y)服从 D 上的均匀分布其中 D 是抛物线 yx2 和 xy2 所围成的区域试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数并判断是否独立 YX,分布区域面积 213112200 0xSdyxdx联合密度 3,(,).fxy其它边缘的密度为X22(),01,xXfdyx概率论与数理统计第 14 页共 32 页边缘的密度为Y22()3(),01.yYfdy因此与不独立.(,),XfxyfXY或非

31、零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此与不独立.XY4. 设二维离散型变量联合分布列是),(Y X 13 55q11 p0问取何值时与相互独立.,pqXY两行成比例解得1/5/52,310q12,.5q5.设的联合密度为求 (1)常数 A(2)概率(,)XY2,0(,).yAxexyfy其它(3)边缘概率密度 fX (x) fY (y) (4)X 与 Y 是否相互独立？10,;2P(1) 222000()(,) ,1,yXfxfydededAx1121,3Ax.A(2) 112013(,)()( .26yePYPXYxd(3) 23),1,Xfxx11221 3(,) ,

32、0.yyyYyfydAedxdxe (4)由得与独立.3,0) (,)0yXYxfx f其它 XY或因为可表示为的函数与的函数的积且分布在2(,),1,yfAxexyxy矩形区域上,所以与相互独立.由此得 (),0;yYfe2(),1,XfAx112(),3Xfd.2A11201130,(0)( .6yePYPXxd概率论与数理统计第 15 页共 32 页6. 设服从均匀分布的密度为且独立.求(1) 的X(0,.2)UY5,0,()yYef其它 .XYX密度(2) 的联合密度 (,)Y(1) 的密度为 (5,.,Xfx(2) 的联合密度为(,) 520.2,0),

33、yexyf其它 .第八次作业 1 设随机变量(X Y)的联合分布律是X Y 0 1 20 1/6 1/3 1/121 1/6 1/12 1/6求函数(1)Z 1XY (2) Z2minX Y (3) Z3maxX Y的分布律 (1) 1()(),6P 1()(0,1)(,0),362PPY120, ,26(,).ZX(2) ()(1,)(1,),4ZXYXY22(0)1.4Z(3) 300,6P 7(1)(,1)(,1)(,0),3126PPXY320,2,2.64ZXYY2 设随机变量(X Y)的联合分布律是X Y 1 11 0.25 0.1251 0.125 0.25求函数 ZX/Y 的

34、分布律 ()()(1)0.25.,PPX/.ZY3 设 X 与 Y 相互独立概率密度分别为 (),xXef0(),yYefx试求 ZXY 的概率密度 00()(,)()zzXYffxdfxdx2 2(1,0.zzzzeee4 设 XU(0 1) YE(1) 且 X 与 Y 独立求函数 ZXY 的密度函数概率论与数理统计第 16 页共 32 页,01,(,)yexyfx其它当时01z00()(,)()zzZ XYffxdfxdx 001,zzxxzee当时1 110000()(,)() .z zxzxzZ Yfzfzf 因此 1,1,()0,.zZefz其它5 设随机变量(X Y

35、)的概率密度为()10,(,)xyeyf其它(1)求边缘概率密度 fX (x) fY (y) (2)求函数 Umax (X, Y)的分布函数 (3)求函数 Vmin (X, Y)的分布函数 (1) 1,0,(xXef其它 . ,0,()yYef其它 .(2) 1100,()(),0,1,xxxXXeeFfdd. min,10xe.(),Yye.21(),0,()xUXYxeFx.min,11(xe(3) 1,0()(),xXXeSxF:.min,10,xe.概率论与数理统计第 17 页共 32 页1,0()()YYySyFe:.1121(),0,()(),xxxVXYeexxSx.1m

36、in,10xe.6 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从 N(160 202)分布随机地选取 4 只求其中没有一只寿命小于 180 小时的概率随机变量 2(160,)XN:1860(0)(1.843,2PX没有一只寿命小于 180 小时的概率为444(8).3.3.P第九次作业 1. 设离散型随机变量 X 具有概率分布律X 2 1 0 1 2 3P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1试求 E(X ) E(X25) E(|X|) 0.3.0.4,ixp2222222()1()0113.,i(5)7.,|03.0iEXxp2. 设随机变量 X 的概率密度为求 (1)常数

37、 A (2)X 的数学期望 0 ,()1.xfAe(1) 1001() ,2xfxdd ,2e(2) 2 11 4.33Ee3. 设球的直径 D 在a b上均匀分布试求 (1) 球的表面积的数学期望(表面积 ) 2D(2)球的体积的数学期望(体积 ) 36(1) 22222) ();baxEdab(2) 333 (.644. 设二维离散型随机变量(X Y)的联合分布律为概率论与数理统计第 18 页共 32 页X Y 1 2 3 42 0.10 0.05 0.05 0.100 0.05 0 0.10 0.202 0.10 0.15 0.05 0.05求 E(X) E(Y) E(XY) .15.

38、1)2(.15.0)ixp:20.30,()(0.)jy:.514125.6,()ijiEXYxp2(0530)(10.2.530.4.5) .5. 设随机变量 X 和 Y 独立且具有概率密度为 ,()Xxf其它 (1),().yYef(1)求 (2)求 (25)E2()E(1) 1100,3Xxfdx(1)114(),yYyed或随机变量指数分布Z:,E14,3ZYE24(25)58.3EX(2) 由 X 和 Y 独立得11200(,xfdx 22142().3XY第十次作业1. 设离散型随机变量 X 的分布列为X 2 1 0 1 2 3P 01 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1

39、试求 (1) D(X) (2) D(3X2) (1) 2.304,iExp2 2222()()13.,i 2.04.(2) (3)(91836.DXD2. 设随机变量 X 具有概率密度为2,02,(),Axf其他，试求 (1)常数 A (2)E(X) (3) D(X) (4) D(2X3) 概率论与数理统计第 19 页共 32 页(1) 解得2081()()4,3fxdAxd 9.8A(2) 295.6EX(3) 220()(),8xfdxxd 224519.680DXE(4) 19(34.5D3. 设二维随机变量联合概率密度为(,)XY2,01,(,),xyyfy其他，试求 (1

40、) 的协方差和相关系数 A (2), 1.DXY(1) 103()(,)(2),0,2Xfxfydxydx由的对称性,y3,.Y105() ,21XExfxEY22 23,4ddx215,4DD101()(,)(),6EXYxyfdxyxdy 因此 25(,)() ,614CovEXY,.1XYD(2) 由随机变量和的方差公式得()2(,)DXCovXY(2)(2)2(,)XYov59.14C4. 设二维随机变量具有联合分布律(,)Y X 2 1 0 1 21 0.1 0.1 0.05 0.1 0.10 0 0.05 0 0.05 01 0.1 0.1 0.05 0.1 0.1试求以及

41、和的相关系数 ,EXDYY(1) 的分布列为 X1 0 1概率论与数理统计第 20 页共 32 页ip:0.45 0.1 0.45由变量分布对称得或X0,EX10.45.10.45,ix:22222(1).45.9,iExp: 2.9DXE(2) 的分布列为YY2 1 0 1 2j:0.2 0.25 0.1 0.25 0.2取值关于原点中心对称(,)X由变量分布对称得或Y0,E2.500,jiyp:22222().(1).501,jiEyp:D(3) 由二维变量的联合分布列关于两坐标轴对称得(,)XY ,()0ijiEXYxyp因此, 0,CovE,(,0.XYCovD5. 设

42、随机变量服从参数为的泊松分布随机变量服从区间上的均匀分22)P(0,6)布且的相关系数记求(0,6)U,XY,1.6XY,Z,.EZ(1) 2,E63,()34.EZY(2) 由得2(0),.1D,1,6XYCovD(,)1CovX由随机变量和的方差公式得()22()(,)()4(,)10.ZXYDDYov第十一次作业 1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大掷 1000 次均匀硬币出现正面的次数在 400 到 600 次之间出现正面的次数 (10,.5),XBnp10.5Enp10.520,Dq应用切比雪夫不等式有 239(46)(|).4XPP2. 若每次射击目标命中的概率为 0.1 不断地对靶进行射击求在 500 次射击中击中目标的次数在区间(49 55)内的概率击中目标的次数 (50,.1),XBnp50.1E

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