1、第 1 页 共 61 页绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念。0.1 信号、系统与信号处理1.信号及其分类信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。分类：周期信号/非周期信号确定信号/随机信号能量信号/功率信号连续时间信号/离散时间信号 /数字信号按自变量与函数值的取值形式不同分类：2.系统系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。3.信号处理信号处理即是用系统对信号进行某种加工。包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。所谓“数字信号处理” ，就是用数值计算
2、的方法，完成对信号的处理。第 2 页 共 61 页0.2 数字信号处理系统的基本组成数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。不仅应用于数字化信号的处理，而且也可应用于模拟信号的处理。以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。（1）前置滤波器将输入信号 xa(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。（2）A/D 变换器在 A/D 变换器中每隔 T 秒（抽样周期）取出一次 xa(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。在A/D 变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。（3）数字信号处理器（DSP）（4）D/A 变换器按照预定要求，在处理器中将信号序列 x(n)进
3、行加工处理得到输出信号 y(n)。由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。（5）模拟滤波器把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号 ya(t)。0.3 数字信号处理的特点（1）灵活性。 （2）高精度和高稳定性。 （3）便于大规模集成。 （4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。0.4 数字信号处理基本学科分支数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术 DigitalSignalProcessing，另一层是狭义的理解，为数字信号处理器DigitalSignalProcessor。0.5 课程内容
4、该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，包括：（1）离散傅里叶变换及其快速算法。 （2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于分离相加性组合的信号，要求信号频谱占据不同的频段） 。在研究生阶段相应课程为“现代信号处理”（AdvancedSignalProcessing） 。信号对象主要是随机信号，主要内容是自适应滤波（用于分离相加性组合的信号，但频谱占据同一频段）和现代谱估计。简答题：第 3 页 共 61 页1按自变量与函数值的取值形式是否连续信号可以分成哪四种类型? 2相对模拟信号处理，数字信号处理主要有哪些优点? 3数字信号处理系统的基本组成有哪些？第一章：本章概念较
5、多，需要理解和识记的内容较多，学习时要注意。1.1 离散时间信号1.离散时间信号的定义离散时间信号是指一个实数或复数的数字序列，它是整数自变量 n 的函数，表示为 x(n)。一般由模拟信号等间隔采样得到： 。时域离散信号有三种表示()()aatnTxx方法：1）用集合符号表示 2）用公式表示 3）用图形表示 2.几种基本离散时间信号（记住定义）（1）单位采样序列第 4 页 共 61 页（2）单位阶跃序列（3）矩形序列（4）实指数序列（5）正弦序列 是正弦序列数字域的频率，单位是弧度。对连续信号中的正弦信号进行采样，可得正弦序列。设连续信号为 ，它的采样值为，因此 （重点）这个式子具有一般性，它
6、反映了由连续信号采样得到的离散序列，其数字频率与模拟频率的一般关系。另外需要说明的是， 的单位为弧度， 的单位为弧度/秒。本书中，我们一律以 表示数字域频率，而以 及 f 表示模拟域频率。例：已知采样频率 FT = 1000Hz, 则序列 x（n） = cos(0.4n) 对应的模拟频率为 ( 400 ) 弧度/s。说明：本题旨在理解数字频率与模拟频率之间的关系： 。TF（6）复指数序列复指数序列是以余弦序列为实部、正弦序列为虚部所构成的一个复数序列。（7）周期序列(重点)所有 n存在一个最小的正整数 N,满足： )()Nnx,则称序列 )(nx是周期序列，周期为 N。( 注意：按此定义，模拟
7、信号是周期信号，采用后的离散信号未必是周期的)例：正弦序列 )si(0的周期性：当 k20， 为整数时， )sin()(sin00，即为周期性序列。周期 02kN，式中， 、 N限取整数，且 k的取值要保证 N是最小的正整数。可分几种情况讨论如下：（1）当 0/2为整数时，只要 1k， 0/2就为最小正整数，即周期为 0/2。 （2）当 不是整数，而是一个有理数时，设 QP，式中，P、 Q是互为素数的整数（互为素数就是两个数没有公约数） ，取 ，则 N，即周期为。 （3）当 0/是无理数时，则任何 k皆不能使 为正整数，这时，正弦序列不是周期性的。例：X(n) = cos(0.4n)的基本周期
8、为( 5 )。说明基本周期的定义即计算公式： ，其中 N 和 k 均为整数，N 为基本周期（使得 Nk2第 5 页 共 61 页为最小整数时 k 取值） 。本题 = 0.4，代入上式得到： 。1,5kN3.信号运算（1）加法：两个信号之和 由同序号的序列值逐点对应相加得到。（2）乘法：两个信号之积 由同序号的序列值逐点对应相乘得到。（3）移位： 当 ，序列右移（称为延时） ；当 ，序列左移（称为超前） 。（4）翻转：（5）尺度变换： 或 ，其中 M 和 N 都是正整数。当 时，序列 是通过取 x(n)的每第 M 个采样形成，这种运算称为下采样。对于序列 ，定义如下 这种运算称为上采样。4.信号
9、分解（重点）任一信号 x(n)可表示成单位脉冲序列的移位加权和 ：简记为1.2 时域离散系统时域离散系统定义 () ().xnynT ()()Txn1 线性系统（重点）判定公式：第 6 页 共 61 页若 = , = 则 1()yn1()Tx2yn2()Tx1212()()ynTaxbnaybn2 时不变系统（重点）判定公式：y(n)=Tx(n) y(n- )=Tx(n- )0n0例：判断下列系统是否为线性、时不变系统。 （重点）（1） ；()2(1)3(2)ynxx（2） ；解：（1）令：输入为 ，输出为0()xn 0 00()213(2)()()()ynxnyn 故该系统是时不变系统。 1
10、21212()() ()()3()()yTaxnbaxnbaxbn11) n2222()()()Tbxxx11anaTb故该系统是线性系统。（2） 令：输入为 ，输出为 ，因为2()ynx0()x20()ynx20yn故系统是时不变系统。又因为 2121221()()() TaxbaxnbTxn因此系统是非线性系统。第 7 页 共 61 页3 线性时不变系统（LTI 或者 LSI 系统）输入与输出之间关系（重点）： ()()hnT()()mynxn()()Ty（n）= =x（n）*h（n ）()mxh重点：线性离不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应的卷积【说明】离散时间 LTI 系
11、统的单位冲激响应 h(n)为系统对单位冲激序列 (n)的零状态响应。单位冲激响应的概念非常重要。在时域，LTI 系统可以由其单位冲激响应 h(n)唯一确定，因此，我们常常用单位冲激响应描述 LTI 系统。在这种情况下， LTI 系统的输入输出关系可以由卷积运算描述：y（n）= =x（n）*h（n）()mxh物理意义： 卷积和运算具有显式意义，即可以用来确定系统的输出。如果系统确定，则其单位冲激响应是唯一的。由此，可求系统对任意输入的响应。注意：计算卷积和的关键是求和区间的确定。因此，常常需要绘制序列 x(m) 和 h(n-m)的图形。利用序列 x(m) 和 h(n-m)的图形可助我们方便地确定
12、求和区间。卷积的求解方法（重点）：线性卷积是一种非常重要的一种运算，对它的求解，一般我们采用作图法。线性卷积满足交换律，设两序列长度分别是 N 和 M，线性卷积后序列的长度为 NM1。卷积的计算过程包括翻转、移位、相乘、相加四个过程。1）将 和 用 和 表示，画出 和 这两个序列；2）选择一个序列 ，并将其按时间翻转形成序列 ；3）将 移位 n，得到 ；4）将 和 相同 m 的序列值对应相乘后，再相加。例：设 (),x04 ， 4()hnR, ()xn和 h如图 1 所示。求 ()xn和 h的卷积 ()yn。（重点）第 8 页 共 61 页n 0 1 2 3 R4(n) 1 0 1 2 3 4
13、 4 n ()xn 图 1解 方法一：用图解法求卷积和。(1) 将 ()xn和 h用 ()xm和 h表示(图 2 中(a)、(b)图)。m)( mx40 1 2 3 4)( am)(4mR - 3 - 2 - 1 0)( cm)1(4mR - 2 - 1 0 1)( d- 1 0 1 2n)( ny)( g1 00 1 2 3 4 5 6 7 m)5(4mR 0 1 2 3 4 5)( fm)(4mR0 1 2 3 )( bm)2(4mR ( e )图 2 图解法求卷积过程(2) 将 ()hm进 行 反 折 ， 形 成 ()h(图 2 中 (c)图 )； 将 ()hm移 位 n， 得 到 ()
14、hm(图 2 中(d)、(e)、(f)图)。(3) 将 (x和 )n相同 m的序列值相乘，再相加，得到 ()y(图 2 中(g)图)。)1,360,974yn17n 再讨论解析法求线性卷积。用式()()myxhn求解上式首先要根据 ()和 )m的非零值区间确定求和的上下限， ()xm的非零值区间为14 ， hn的非零值区间为 03n ，或 n ，由两个非零值区间可得n的取值区间为 17 ，它们的乘积 ()xh的非零值区间应满足：m 和 3m 因此当 1n、 7时， ()0yn；第 9 页 共 61 页当 13n 时， 0(1)()2nmy；当 47 时，43()8()mnn。与图解法结果一致。
15、y(n)用公式表示为 (1)/2)80n1347n 其 他方法二：当序列 ()x和 h的长度分别为有限长 N和 M时，可采用“不进位乘法”求两序列线卷积。如图 1 所示： ()0,1234n， ()1,n()0,136,974yn例：两线性时不变系统级联，其单位取样响应分别为 )(1nh和 2，输入为 )(nx，求系统的输出 )(。已知： )(nux， )4()1nh， )(2nuah。解：设第一个系统的输出为 ，则 )3()2()1()( nnu 因而输出为 )()()()( )( 3212 uauauanhny nnn 第 10 页 共 61 页4. 系统因果性和稳定性的判定（重点）1)稳
16、定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若 ，则 （记住!）|()|xn|()|yn线性移不变系统是稳定系统的充要条件： (系统稳定的充分必要条件是系统的单位|)|nh脉冲响应绝对可和)（记住! ）或：其系统函数 H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1（记住!）2)因果系统： 时刻的输出 只由 时刻之前的输入 决定（记住! ）0n0()yn0 0(),xn线性移不变系统是因果系统的充要条件： （记住!）因果系统的单位脉冲响应必然(),h是因果序列。 （记住!）或：其系统函数 H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|Rx（记住!）3）稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。线性移不变系统是
17、因果稳定系统的充要条件： ， （记住!）|()|nh()0,n或：H(z)的极点在单位圆内 H(z)的收敛域满足： （记住! ）|,1xzR例：判断线性时不变系统的因果性、稳定性，并给出依据。 （重点）(1) ；10()()Nkynx（2） ；0()()nk解：（1）只要 ，该系统就是因果系统，因为输出只与 n 时刻的和 n 时刻以前的输入有关。1N如果 ，则 ，因此系统是稳定系统。()xnM()yn（2）如果 ， ，因此系统是稳定的。系统是非因果的，00()21nkxM因为输出还和 x(n)的将来值有关。注意：如果给出的是 h(n)，用上面要求记住的充要条件判断！例：设某线性时不变系统的单位
18、取样响应为 )()(nuah（ a 为实数） ，分析系统的因果性和稳定性。 （重点）解：讨论因果性：因为 0n时， 0)(h，所以该系统是因果系统。讨论稳定性：第 11 页 共 61 页 1)(00 aanhn 当 1a时，系统是稳定的；否则，系统不稳定。例：设某线性时不变系统的单位取样响应为 )()(nuh（ a 为实数） ，分析系统的因果性和稳定性。 （重点）解：讨论因果性：因为 0n时， 0)(h，所以该系统是非因果系统。讨论稳定性： 1)1()(11 aaannnn 当 时，系统是稳定的；否则，系统不稳定。1.3 线性常系数差分方程1 差分方程定义 卷积和是一种 LTI 系统的数学模型
19、，一般情况下，我们可以用差分方程描述 LTI 系统的输入输出关系。 MkNk nxbnya00 差分方程给出了系统响应 yn的内部关系。为得到 yn的显式解，必须求解方程。2 差分方程求解经典法 递推法 变换域法（参见下章 z 域变换） （重点） 1 2 3例：设系统的差分方程为 )(5.1)(.0)(nxyn，输入序列为 )(nx，求输出序列)(ny。解：一阶差分方程需一个初始条件。设初始条件为： )1(则 .50)(xy7013.)2(.)(.2)(5.)(nuny设初始条件改为： 1y第 12 页 共 61 页则 2)0(5.1)(.0)(xy1.2)(5.0)(nuny该例表明，对于同
20、一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。几点结论（重点）（1）对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向 n0 的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向 nRx（牢记此结论!）3）稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件： ，|()|nh()0,n或：H(z)的极点在单位圆内 H(z)的收敛域满足： （牢记此结论!）|,1xzR例：.一因果 LTI 离散时间系统的传输函数 , 则系统的单位冲激响应为( 5.0)(zH0.5nu（n） )。说明：根据传递函数求系统的单位冲激响应，其实就是将传递函数进行逆
21、 z 变换，但要注意系统的因果性如何。例：因果 IIR 离散时间 LTI 系统，其传输函数 ，则系统( 稳定)。15.0)(zz例：一 FIR 离散时间 LTI 系统总是( 稳定) 。说明：系统的稳定性如何判断？按照教材中的说法，就是系统传递函数的收敛域如果包括“单位圆” ，则系统是稳定的。如果你熟悉了序列的 z 变换的 ROC 的性质，则此题不难回答。对于因果系统来说，其单位冲激响应为因果序列，故其 z 变换的 ROC 一定是某圆外部的整个区域。而这个圆就位于离原点最远的极点上，所以，对于因果系统，如果系统传递函数的全部极点都位于单位圆以内的话，则系统是稳定的。对于 FIR 系统，其单位冲激
22、响应是一个有限长序列，其 z 变换的 ROC 为除了无穷远和原点之外的整个 z 平面，自然包括单位圆，所以 FIR 系统始终是稳定的。第 26 页 共 61 页5 系统的频率特性可由系统函数零点及极点确定 NkNkMiiNkkMiiNkMii zAzAzabX1110 )()()(（式中，z k 是极点，z i 是零点；在极点处，序列 x(n)的 Z 变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。 ）系统函数 H（z）的极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。例：设一阶系统的差分方程为 )1()(nayxny， 0a，用几何法分析其幅频特性。（重点）解：对
23、差分方程两边取 Z 变换，得： )()(1zYzXY系统函数为： azXzH1)(，极点为 a，零点为 0z，如下图左所示：当 0时，由于极点矢量长度最短，幅频特性出现峰值，随着 的增加，幅度逐渐减小，当时，由于极点矢量长度最长，幅频特性出现谷值，随着 的增加，幅度逐渐增大，直到2时，幅频特性出现峰值，如上图右所示。简答题：（重点）1. 说明有限长序列、左边序列、右边序列、双边序列的概念和收敛域各是什么？ 2. 说明系统频率响应的概念？系统的频率响应和系统函数是什么关系？（单位圆上（ jez）的系统函数就是系统的频率响应）3. 说明 FIR 系统为什么始终是稳定的？4. 怎样在 z 域表示离散
24、时间 LTI 系统? 答案：传输函数 H(z)表示离散时间 LTI 系统。第 27 页 共 61 页第三章：DFT 是为适应计算机分析傅里叶变换规定的一种专门运算，本章是数字信号处理课程的重点章节。前言信号处理中会遇到几种信号形式：（1）连续周期信号（2）连续非周期信号（3）离散非周期信号（4）离散周期信号(重点 )各种信号在时域和频域之间总的来说都是傅里叶变换，但具体形式及应用是不同的。1连续周期信号 傅里叶级数（FS）连续周期信号 )(tx可展开成傅里叶级数：ntjectx0)(（*）式中， 02T， 为 )(tx的周期。傅里叶级数的系数为： 2/00)(1Ttjnndexc幅度频谱是指各
25、次谐波的振幅随频率的变化关系，即： )0cn频 域时 域 非 周 期 、 离 散 频 率连 续 时 间 、 周 期 2连续非周期信号 傅里叶变换（FT ）第 28 页 共 61 页连续非周期信号 )(tx的傅里叶变换为： dtetxjXj)()(因为非周期可视为 0T，则离散频谱间距020T，则 )(jX变成 的连续函数。频 域时 域 非 周 期 、 连 续 频 率连 续 时 间 、 非 周 期 3离散非周期信号 序列的傅里叶变换（DTFT） nnjj exeX)()(如果把序列看成连续时间信号的采样，采样间隔为 T，则数字频率 和模拟角频率 的关系为 T，且 )(nTx，代入上式，得： nj
26、nTj exe)()(频 域时 域 周 期 、 连 续 频 率离 散 时 间 、 非 周 期 4离散周期信号 离散傅里叶级数（DFS）设 )(nx是周期为 N的周期序列，即： )()rNnx 为任意整数表 3.1 四种傅里叶变换形式的归纳一般规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓， 一个域的连续必定对应另一个域的非周期。(重点)第 29 页 共 61 页3.1 离散傅里叶级数1.周期序列的离散傅里叶级数（DFS）说明：离散傅里叶级数系数，用 DFS(Discrete Fourier Series)表示。连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示，离散周期序列也可以表示成傅里叶级数形式。周期为 N
27、的复指数序列的基频序列为k 次谐波序列为由于 ，即 ，因而，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N 个是独立的。因此在展开成离散傅里叶级数时，我们 只能取 N 个独立的谐波分量，通常取 k=0到(N-1) ，即（*）式中，1/N 是习惯上采用的常数， 是 k 次谐波的系数。利用将（*）式两端同乘以 ，并对一个周期求和即由于所以 也是一个以 N 为周期的周期序列。因此， 时域离散周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍然是一个周期序列。称为离散傅里叶级数系数，用 DFS(Discrete Fourier Series)表示。令 ，则第 30 页 共 61 页其中，符号 DFS.表示离散傅里叶级数正变换， IDFS.表示离散傅里叶级数反变换。例：设 )(4nRx，将 )(x以 8N为周期进行周期延拓，得到周期序列 )(nx，求 )(的DFS。解：keeeeenxkXkj kjkjjjjjkjjkjjnjkj8sin2)(11)()(3882244304827其幅度特性为：2.周期序列的傅里叶变换思路：由
