1、 考点名称：尺规作图尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。尺规作图的中基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线。 还有：已知一角、一边做等腰三角形已知两角、一边做三角形已知一角、两边做三角形依据公理：还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角
2、形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA 等。注意：保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。尺规作图方法：任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：通过两个已知点可作一直线。已知圆心和半径可作一个圆。若两已知直线相交，可求其交点。若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。若两已知圆相交，可求其交点。【学习目标】1了解什么是尺规作图2学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段； (2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线3了解五种基本作图的理由4
3、学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程5学会利用基本作图画三角形等较简单的图形6通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美【基础知识精讲】1尺规作图：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛2尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图3基本作图共有五种：(1)画一条线段等于已知线段如图 24-4-1，已知线段 DE求作：一条线段等于已知线段作法：先画射线 AB然后用圆规在射线 AB 上截取 ACMN线段 AC 就是所要作的线段(2)作一个角等于已知角如图 24-4
4、-2，已知AOB 求作：AOB，使AO B AOB作法：作射线 OA；以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧，交 OA 于 C，交 OB 于 D以点 O为圆心，以 OC 长为半径作弧，交 OA 于 C以点 C为圆心，以 CD 为半径作弧，交前弧于 D经过点 D作射线 OB，A O B 就是所求的角(3)作线段的垂直平分线如图 24-4-3，已知线段 AB求作：线段 AB 的垂直平分线作法：分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 C 和D作直线 CD直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线注意：直线 CD 与线段 AB 的交点，就是 AB 的中点(4)经过一点作已知直线
5、的垂线a经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图 24-4-4已知：直线 AB 和 AB 上一点 C，求作：AB 的垂线，使它经过点 C作法：作平角 ACB 的平分线 CF直线 CF 就是所求的垂线，如图 24-4-4b经过已知直线外一点作这条直线的垂线如图 24-4-5，已知：直线 AB 和 AB 外一点 C求作：AB 的垂线，使它经过点 C作法：任意取一点 K，使 K 和 C 在 AB 的两旁以 C 为圆心，CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和 E分别以 D 和 E 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 F作直线 CF直线 CF 就是所求的垂线注意：经过已知直线上的一点，作这条
6、直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决(5)平分已知角如图 24-4-6，已知AOB 求作：射线 OC，使AOCBOC作法：在 OA 和 OB 上，分别截取 OD、OE分别以 D、E 为圆心，大于 的长为半径作弧，在AOB 内，两弧交于点 C作射线 OCOC 就是所求的射线注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：(1)过点和点画射线，或画射线(2)在射线上截取(3)以点为圆心，为半径画弧(4)以点为圆心，为半径画弧，交于点(5)分别以点，点为圆心，以，为半径作弧，两
7、弧相交于点 (6)在射线上依次截取(7)在的外部或内部画注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了如：(1)画线段(2)画(3)画平分，或画的角平分线(4)过点画，垂足为点(5)作线段的垂直平分线，等等但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理【经典例题精讲】例 1 已知两边及其夹角，求作三角形如图 24-4-7，已知：，线段 a、b，求作：ABC，使A，ABa，ACb作法：作MAN在射线 AM、AN 上分别作线段 ABa ，AC
8、 b连结 BC如图 24-4-8，ABC 即为所求作的三角形注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析例 2 如图 24-4-9，已知底边 a，底边上的高 h，求作等腰三角形已知线段 a、h求作：ABC，使 ABAC，且 BCa，高 ADh分析：可先作出底边 BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出 BC 的垂直平分线，从而作出 BC 边上的高 AD，分别连结 AB 和 AC，即可作出等腰ABC 来作法：(1)作线段 BCa(2)作线段 BC 的垂直平分线 MN，MN 与 BC 交于点 D(3)在 MN 上截取 DA，使 D
9、Ah(4)连结 AB、AC如图 24-4-10，ABC 即为所求的等腰三角形例 3 已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形如图 24-4-11，已知线段 a，m，h(mh) 求作：ABC 使它的一边等于 a，这边上的中线和高分别等于 m 和 h(mh)分析：如图 24-4-12，假定ABC 已作出，其中 BCa，中线 ADm ，高 AEh，在AED 中 AD m，AE h，AED90，因此这个 RtAED 可以作出来( AED 为奠基三角形)当 RtAED 作出后，由 的关系可作出点 B 和点 C，于是ABC 即可得到作法：(1)作AED，使AED90，AEh，ADm (2)延长 ED
10、到 B，使 (3)在 DE 或 BE 的延长线上取 (4)连结 AB、AC则ABC 即为所求作的三角形注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果 hm，作图题无解；若 mh，则作出的图形为等腰三角形例 4 如图 24-4-13，已知线段 a求作：菱形 ABCD，使其半周长为 a，两邻角之比为 12分析：因为菱形四边相等，“半周长为 a”就是菱形边长为 ，为此首先要将线段 a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为 12”可知，菱形较小内角为 60，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的
11、菱形 ABCD作法：(1)作线段 a 的垂直平分线，等分线段 a(2)作线段 AC，使 (3)分别以 A、 C 为圆心， 为半径，在 AC 的两侧画弧，两弧分别交于 B，D(4)分别连结 AB、BC、CD、DA 得到四边形 ABCD，则四边形 ABCD 为所求作的菱形(如图 24-4-14)注意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法”例 5 如图 24-4-15，已知AOB 和 C、D 两点求作一点 P，使 PCPD ，且使点 P 到AOB 的两边 OA、OB 的距离相等分析：要使 PCPD，则点 P 在 CD 的垂直平分线上，要使点 P 到AOB 的两边距离相等，则
12、 P 应在AOB 的角平分线上，那么满足题设的 P 点就是垂直平分线与角平分线的交点了作法：(1)连结 CD(2)作线段 CD 的中垂线 l(3)作AOB 的角平分线 OM，交 l 于点 P，P 点为所求注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满足题目的不同要求【中考考点】例 6 (2000安徽省)如图 24-4-16，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A一处 B二处C三处 D四处分析：到直线 距离相等的点在 相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点解：分别作 相交所构成的角
13、平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个答案：D注意：本题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不可只作出位于中心位置的一处，而要全面考虑其他满足条件的点例 7 (2002陕西省)如图 24-4-17，ABC 是一块直角三角形余料，C90，工人师傅要把它加工成个正方形零件，使 C 为正方形的个顶点，其他三个顶点分别在AB、BC 、AC 边上(1)试协助工人师傅用尺规画出裁割线( 不写作法，保留作图痕迹)；(2)工人师傅测得 AC80 cm，BC120cm，请帮助工人师傅算出按(1) 题所画裁割线加工成的正方形零件的边长解：(1)作ACB 的平分线与 AB 的交点 E 即为正方形顶点，
14、作 CE 线段的中垂线HK 与 AC、BC 的交点 F、D 即为所作正方形另两个顶点，如图 24-4-17(2)设这个正方形零件的边长为 x cm，DEAC， ， x48答：这个正方形零件的边长为 48cm注意：本题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读者对基本作图务必掌握，同时对作出图形的性质要清楚例 8 (2002山西省)如图 24-4-18，有一破残的轮片(不小于半个轮) ，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T 形尺或尺规作图均可，图中 是这个零件的半径，图中 OB 是这个零
15、件半径解：如图 24-4-18所示【常见错误分析】例 9 如图 24-4-19，已知线段 a、b、h求作ABC，使 BCa，ACb，BC 边上的高 ADh并回答问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢？错解：(1)作法：作 RtADC ，使 ADh，AC b在直线 CD 上截取 CBa 如图 24-4-20，则ABC 就是所求作的三角形(2)作出的三角形唯一(3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等误区分析：本题错解在于忽略了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部正解：如图 24-4-21，作法：作 RtADC，使 ADh，ACb在直线 CD 上截取 CBa(
16、在点 C 的两侧)则ABC，ABC 都是所求作三角形(2)作出的三角形不唯一(3)得出结论有两边及边上的高对应相等的两三角形不一定全等注意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎【学习方法指导】学习本单元基本作图，主要是运用观察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤，掌握作图语言【规律总结】画复杂的图形时，如一时找不到作法，般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法考点一 尺规作图 1定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图 2步
17、骤： (1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分； (2)分析作图的方法和过程； (3)用直尺和圆规进行作图； (4)写出作法步骤，即作法 考点二 五种基本作图 1作一线段等于已知线段； 2作一个角等于已知角； 3作已知角的平分线； 4过一点作已知直线的垂线； 5作已知线段的垂直平分线 考点三 基本作图的应用 1利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5)已知一直角边和斜边作直角三角形 2与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆) (2)作
18、三角形的内切圆 尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规. 甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前 2000 年)前.史记卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注周髀算经中有“禹治洪水，望山川之形，定高下之势， 乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理
19、.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，墨子卷七中说“轮匠(制造车子的工匠) 执其规矩，以度天下之方圆.”孟子卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师) 之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出
20、作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的几何原本. 由于几何原本的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到 1637 年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了 1837 年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882 年林德曼证明了 是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.
