1、1第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。（1）x(n)=Acos( )685n（2）x(n)= (ej（3）x(n)=Asin( )34解 (1)对照正弦型序列的一般公式 x(n)=Acos( )，得出 。因此 是有理数，所以n855162是周期序列。最小周期等于 N= 。5(16取k（2）对照复指数序列的一般公式 x(n)=exp n,得出 。因此 是无理数，所以j116不是周期序列。（3）对照正弦型序列的一般公式 x(n)=Acos( )，又 x(n)=Asin( )Acos(n34n2)Acos( )，得出 。因此 是有理数，所以是周期序列。最小周期等4n6
2、143n43382于 N= (83取k2.2在图 2.2中，x(n)和 h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的 x(n)和 h(n)的线性卷积以得到系统的输出 y(n)，并画出 y(n)的图形。2解 利用线性卷积公式y(n)= kknhx)(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算 y(n)的每一个取样值。(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n2(b) x(n)=2 (n)- (n-1)h(n)=- (n)+2 (n-1)+ (n-2)y(n)
3、=-2 (n)+5 (n-1)= (n-3)(c) y(n)= = = u(n)kknua)()(kknan12.3 计算线性线性卷积(1) y(n)=u(n)*u(n)(2) y(n)= u(n)*u(n)n解：(1) y(n)= kknu)(= =(n+1),n00)(即 y(n)=(n+1)u(n)(2) y(n)= kknu)(3= = ,n00)(kknu1n即 y(n)= u(n)12.4 图 P2.4所示的是单位取样响应分别为 h (n)和 h (n)的两个线性非移变系统的级联，已知 x(n)=u(n),12h (n)= (n)- (n-4), h (n)=a u(n),|a|1
4、 时才是稳定系统。n1nnn(3) 因为在 n0 时， x(n)是因果序列，收敛域为 012348z1（3）X(Z)= ,|Z|a |1az1解（1）采用幂级数法。由收敛域课确定 x （n）是左边序列。又因为 1 为有限值，所以1 lim()xXzx （n）是逆因果序列。用长除法将 X （z）展开成正幂级数，即112345111()4862.().()nnnnzz最后得到x （n）-2（-2） ，n-1，-2，-31或 x （n）1()2u23（2）采用部分分式展开法。将 X (z)展开陈部分分式2112211()3()()4842zzXZAzz其中 112124443ZZA由收敛域可确定 X
5、 (n)式右边序列。又因 1，所以 X (n)还是因果序列。用长除法分别将2 2lim()xXz2展开成负幂级数，即11432zz4 1231.().482nzz= 0()2nnaz=-3 134z1231.().864nzz= 0()nn由上两式得到 21()4)3()4nnxu（3）采用留数定理法。围线积分的被积函数为 1113()()()nnnazazxz当 n0时，由给定的收敛域可知，被积函数在围线之内仅有一个极点 ，因此24111332()Re(),()1,0nnzaxnsxzaa当 n=0时，被积函数在围线之内有两个极点 和 z0，因此1133311102Re(),Re(),(),
6、nnzazxsXsXn当 n12()TezTe(4)X(z)= ,|a|1。这样， 的收敛域应为 |z|1，而 的收敛域为 |z|a。这意味着 和 都对1()W2()Wz1()Wz2应于因果序列，因此可用长除法分别将 和 展开成 z 的负幂级数，即1121()()nzzzaa 122 0()( )1nnWaz由上二式得到，1()()nua2()1nau最后得到 12()()()na2.29(1)因为系统是因果的，所以收敛域为 ；为使系统稳定，必须要求收敛域包含单位圆，即|z要求 。极点为 ，零点为 ，收敛域 。极零点图和收敛域示于图|1az1|az1.7。(2)1()jjeHea因此11112
7、12 *2 22 ()|()|)()()()1coscosjj jj jjj aeaeeaeea 得到 ，即系统的幅度特性为一常数，所以该系统是一个全通系统。1|()|jHe2.30(1)根据极零点图得到 x(n)的 Z 变换()(23)zXz因傅里叶变换收敛，所以单位圆在收敛域内，因而收敛域为 。故 x(n)是双边序列。1|23z(2)因为 x(n)是双边序列，所以它的 Z 变换的收敛域是一个圆环。根据极点分布情况，收敛域有两种可能： 或 。1|23z|3z30采用留数定理法求对应的序列。被积函数为1 1()()2(3)n nzXzz 对于收敛域 ，被积函数有 1 个极点 在积分围线内，故得
8、|3z3z113()()Re(),|0.9(),2nnzzxnsX被积函数有 2 个极点 和 在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高1(因 n0)，故3最后得到1111223()()Re),Re(),| |320.92.53,0nnnnz znn zxsXzsXz1.(),().,nnx或 ()0.9()092.53)(13nuu对于收敛域 ，被积函数有 2 个极点 和 在积分围线内，故2|zz2被积函数有11112 23()()()Re(),Re(),| |30.9().2,03 nnnn zznnxsXsX 1 个极点 在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高 (因 n0)，故z 2n113()()Re(),3|0.5,2nnzzxnsXz最后得 0.9().,()35,nnx1().()2().(1)nnuu2.31 因系统稳定，所以单位圆必须在收敛域内。由于系统的极点为 ，所以收敛域为 。因12z1|2z，故该系统不是因果系统。lim()zH
