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类型常用逻辑用语知识例题梳理.doc

  • 上传人:tangtianxu2
  • 文档编号:2875079
  • 上传时间:2018-09-29
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    常用逻辑用语知识例题梳理.doc
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    1、1常用逻辑用语一、知识要点梳理知识点一:命题1. 定义: 一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的语句叫做命题.(1)命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示,如 p,q,r,m,n 等.(2)命题有真假之分,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题(3)命题“ ”的真假判定方式: 若要判断命题“ ”是一个真命题,需要严格的逻辑推理;有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如: 一定推出 . 若要判断命题“ ”是一个假命题,只需要找到一个反例即可.注意:“ 不一定等于 3”不能判定真假,它不是命题.2. 逻辑联结词:“或

    2、”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.(1)不含逻辑联结词的命题叫简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.(2)复合命题的构成形式:p 或 q;p 且 q;非 p(即命题 p 的否定).(3)复合命题的真假判断:当 p、q 同时为假时,“p 或 q”为假,其它情况时为真,可简称为“一真必真”;当 p、q 同时为真时,“p 且 q”为真,其它情况时为假,可简称为“一假必假”。“非 p”与 p 的真假相反.注意:(1)逻辑连结词“或”的理解是难点,“或”有三层含义,以“p 或 q”为例:一是 p 成立2且 q 不成立,二是 p 不成立但 q 成立,三是 p 成立且 q 也成立。可以

    3、类比于集合中“ 或 ”.(2)“或”、“且”联结的命题的否定形式:“p 或 q”的否定是“ p 且 q”; “p 且 q” 的否定是“ p 或 q”.(3)对命题的否定只是否定命题的结论;否命题,既否定题设,又否定结论。知识点二:四种命题1. 四种命题的形式: 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,用 p 和 q 分别表示 p 和 q 的否定,则四种命题的形式为:原命题:若 p 则 q; 逆命题:若 q 则 p;否命题:若 p 则 q; 逆否命题:若 q 则 p.2. 四种命题的关系原命题 逆否命题.它们具有相同的真假性,是命题转化的依据和途径之一.逆命题 否命题,它们之间互为逆否关系,

    4、具有相同的真假性,是命题转化的另一依据和途径.除、之外,四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.命题与集合之间可以建立对应关系,在这样的对应下,逻辑联结词和集合的运算具有一致性,命题的“且” 、 “或” 、 “非”恰好分别对应集合的“交” 、 “并” 、 “补” ,因此,我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。知识点三:充分条件与必要条件1. 定义:对于“若 p 则 q”形式的命题:若 p q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p q,但 q p,则 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件;若既有 p q,又有 q p,记作 p q,

    5、则 p 是 q 的充分必要条件(充要条件).2. 理解认知: (1)在判断充分条件与必要条件时,首先要分清哪是条件,哪是结论;然后用条件推结论,再用结论 推条件,最后进行判断.(2)充要条件即等价条件,也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.3. 判断命题充要条件的三种方法(1)定义法:3(2)等价法:由于原命题与它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价,因此,如果原命题与逆命题真假不好判断时,还可以转化为逆否命题与否命题来判断即利用与 ; 与 ; 与 的等价关系,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运

    6、用等价法.(3) 利用集合间的包含关系判断,比如 A B 可判断为 A B;A=B 可判断为 A B,且B A,即 A B.如图:“ ” “ ,且 ” 是 的充分不必要条件.“ ” “ ” 是 的充分必要条件.知识点四:全称量词与存在量词1. 全称量词与存在量词全称量词及表示:表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等,通常用符号“ ”表示,读作“对任意”。含有全称量词的命题,叫做全称命题。全称命题“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可表示为“ ”,其中 M 为给定的集合,p(x)是关于 x 的命题.(II)存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。表示形式

    7、为“有一个”,“存在一个”,“至少有一个”,“有点”,“有些”等,通常用符号“ ”表示,读作“存在”。含有存在量词的命题,叫做特称命题 特称命题“存在 M 中的一个 x,使 p(x)成立”可表示为“ ”,其中 M 为给定的集合,p(x)是关于 x 的命题.2. 对含有一个量词的命题进行否定(I)对含有一个量词的全称命题的否定全称命题 p: ,他的否定 : 全称命题的否定是特称命题。(II)对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题 p: ,他的否定 : 特称命题的否定是全称命题。注意:(1)命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定(否定一次),而命题的否命题则需要对命题

    8、的条件和结论同时进行否定(否定二次)。(2)一些常见的词的否定:4正面词 等于 大于 小于 是 都是 一定是 至少一个 至多一个否定词 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 一定不是 一个也没有 至少两个规律方法指导1. 解答命题及其真假判断问题时,首先要理解命题及相关概念,特别是互为逆否命题的真 假性一致.2. 要注意区分命题的否定与否命题.3. 要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的,将二者相互对照可加深认识和理解.4. 处理充要条件问题时,首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明,必须证明充分性,又要证明必要性;判断充要条件一般有三种方法:用集合的观点、

    9、用定义和利用命题的等价性;求充要条件的思路是:先求必要条件,再证明这个必要条件是充分条件.5. 特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。三、典型例题一、题型一:命题、真命题、假命题的判断1例 1:下列语句是命题的是( )A梯形是四边形 B作直线 ABC x 是整数 D今天会下雪吗解:A2、例 2下列说法正确的是( )A命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B语句“最高气温 30 时我就开空调”不是命题C命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D语句“当 a4 时,方程 x24 x a0 有实根”是假命题解析:对于 A,改写成“若 p,则 q”的形式应为“若有两个角是直角,则

    10、这两个角相等” ;B 所给语句是命题;C 的反例可以是“用边长为 3 的等边三角形与底边为 3,腰为 2 的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明故选 D.变式练习:下列命题是真命题的是( )A是空集 B. 是无限集x N|x 1|1 时,方程 ax22 x10 有两个不等实根;(3)已知 x、 y 为非零自然数,当 y x2 时, y4, x2.解析:(1)若一个数是 6,则它是 12 和 18 的公约数,是真命题(2)若 a1,则方程 ax22 x10 有两个不等实根,是假命题因为当 a0 时,方程变为 2x10,此时只有一个实根 x .12(3)已知 x、 y 为非零自然数,若 y x2

    11、,则 y4, x2,是假命题5三、题型三:命题真假判断中求参数范围例 4、已知 p: x2 mx10 有两个不等的负根, q:方程 4x24( m2) x10( mR)无实根,求使 p 为真命题且 q 也为真命题的 m 的取值范围解析:若 p 为真,则Error!解得 m2.若 q 为真,则 16( m2) 216b0,则 0”的逆否命题;3a3b6“若 m1,则 mx22( m1) x( m3)0 的解集为 R”的逆命题其中真命题的序号为_解析: 否命题:若 b24 ac0,则方程 ax2 bx c0( a0)有实根,真命题;逆命题:若 ABC 为等边三角形,则 AB BC CA,真命题;因

    12、为命题“若 ab0,则 0”是真命题,故其逆否命题为真命题;3a3b逆命题:若 mx22( m1) x( m3)0 的解集为 R,则 m1,假命题所以应填.变式练习若命题 p 的逆命题是 q,命题 q 的否命题是 r,则 p 是 r 的( )A逆命题 B逆否命题C否命题 D以上判断都不对解析:选 B. 命题 p:若 x,则 y,其逆命题 q:若 y,则 x,那么命题 q 的否命题 r:若非 y,则非 x,所以 p 是 r 的逆否命题所以选 B.五、题型五:问题的逆否证法例 8判断命题“若 m0,则方程 x22 x3 m0 有实数根”的逆否命题的真假解: m0,12 m0,12 m40.方程 x

    13、22 x3 m0 的判别式12 m40.原命题“若 m0,则方程 x22 x3 m0 有实数根”为真命题又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若 m0,则方程 x22 x3 m0 有实数根”的逆否命题也为真命题六、题型六:判断条件关系及求参数范围例 9 “x2 k (kZ)”是“tan x1”成立的( ) 4A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:当 x2 k 时,tan x1, 4而 tan x1 得 x k , 4所以“ x2 k ”是“tan x1”成立的充分不必要条件故选 A. 4例 10、设 A 是 B 的充分不必要条件, C 是 B 的必要不充分条件

    14、, D 是 C 的充要条件,则 D 是A 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件7C充要条件 D既不充分又不必要条件解析: 由题意得: 故 D 是 A 的必要不充分条件例 11已知条件 p:1 x10, q: x24 x4 m20( m0)不变,若非 p 是非 q 的必要而不充分条件,如何求实数 m 的取值范围?解: p:1 x10.q: x24 x4 m20 x(2 m)x(2 m)0( m0)2 m x2 m(m0)因为非 p 是非 q 的必要而不充分条件,所以 p 是 q 的充分不必要条件,即 x|1 x10 x|2 m x2 m,故有Error!或 Error!,解得 m8.所以实

    15、数 m 的范围为 m|m8变式练习 1:已知条件: p: ylg( x22 x3)的定义域,条件 q:5 x6 x2,则 q 是 p 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:选 A. p: x22 x30,则 x1 或 x x2,即 x25 x60 对一切实数 x 都成立的充要条件45证明:充分性:00 对一切实数 x 都成立而当 a0 时,不等式 ax2 ax1 a0 可变成 10.显然当 a0 时,不等式 ax2 ax1 a0 对一切实数 x 都成立必要性: ax2 ax1 a0 对一切实数 x 都成立, a0 或Error!解得 0 a0 对一切

    16、实数 x 都成立的充要条件45八、命题真假值的判断例 13如果命题“ p q”与命题“非 p”都是真命题,那么( )A命题 p 不一定是假命题B命题 q 一定为真命题C命题 q 不一定是真命题D命题 p 与命题 q 的真假相同解析:选 B.“p q”为真,则 p、 q 至少有一个为真非 p 为真,则 p 为假, q 是真命题变式练习:判断由下列命题构成的 p q, p q,非 p 形式的命题的真假:(1)p:负数的平方是正数, q:有理数是实数;(2)p:23, q:33”的否定是_解:存在 xR,使得| x2| x4|3变式练习 3写出下列命题的否定,然后判断其真假:(1)p:方程 x2 x

    17、10 有实根;(2)p:函数 ytan x 是周期函数;(3)p: A;(4)p:不等式 x23 x50,且 a1,则对任意实数 x, ax0.(2)对任意实数 x1, x2,若 x10(a0 且 a1)恒成立,命题(1)是真命题(2)存在 x10, x2, x10.20命题(4)是假命题10例 16若命题 p: xR, ax24 x a2 x21 是真命题,则实数 a 的取值范围是( )A a3 或 a2 B a2C a2 D20,则命题3“p 且 q”是_命题(填“真”或“假”)解析: 当 x0 时,tan x0 , 3 3命题 p 为真命题;x2 x1 2 0 恒成立,(x12) 34命

    18、题 q 为真命题,“ p 且 q”为真命题所以填:真变式练习 2: 已知命题 p: xR,使 tan x1,命题 q: x23 x20,命题 q:实数 x 满足Error!(1)若 a1,且 p q 为真,求实数 x 的取值范围;(2)非 p 是非 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围11解:(1)由 x24 ax3 a20,所以 a3,则 A B.所以 03,即 10,12 mf(x0) f(x0) x 2 x05( x01) 244.20 m4.变式练习 2:已知命题 p:函数 y x22( a2 a)x a42 a3在2,)上单调递增 q:关于 x 的不等式 ax2 ax10 解集为 R.若 p q 假, p q 真,求实数 a 的取值范围解析: 函数 y x22( a2 a)x a42 a3 x( a2 a)2 a2,在2,)上单调递增,( a2 a)2,即 a2 a20,解得 a1 或 a2.即 p: a1 或 a2由不等式 ax2 ax10 的解集为 R 得Error!,即Error!解得 0 a4 q:0 a4. p q 假, p q 真 p 与 q 一真一假 p 真 q 假或 p 假 q 真,即Error!或Error! a1 或 a4 或 0 a2.所以实数 a 的取值范围是(,10,2)4,)

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