1、第九章 平面解析几何9.1 直线方程与圆的方程考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.直线的倾斜角、斜率与方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念2.掌握过两点的直线斜率的计算公式3.掌握确定两直线位置的几何要素以及求直线方程的几种形式4.了解斜截式与一次函数的关系2017课标全国,20;2016四川,10;2014福建,6;2013广东,7来源:学2016北京,5;2016浙江,10选择题、来源:学科网来源:学#科#网 Z#X#X#K填空题分析解读从近几年的高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标
2、准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.五年高考考点一 直线的倾斜角、斜率与方程1.(2014福建,6,5 分)已知直线 l过圆 x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线 x+y+1=0垂直,则 l的方程是( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0C.x+y-3=0 D.x-y+3=0答案 D 2.(2013广东,7,5 分)垂直于直线 y=x+1且与圆 x2+y2=1相切于第象限的
3、直线方程是( ) A.x+y- =0 B.x+y+1=0C.x+y-1=0 D.x+y+ =02 2答案 A 教师用书专用(3)3.(2016四川,10,5 分)设直线 l1,l2分别是函数 f(x)= 图象上点 P1,P2处的切线,l 1与 l2垂直相交于,01 点 P,且 l1,l2分别与 y轴相交于点 A,B,则PAB 的面积的取值范围是( )A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+) D.(1,+)答案 A 考点二 圆的方程1.(2016北京,5,5 分)圆(x+1) 2+y2=2的圆心到直线 y=x+3的距离为( )A.1 B.2 C. D.22 2答案 C 2.(2015北京,
4、2,5 分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2答案 D 3.(2016浙江,10,6 分)已知 aR,方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 . 答案 (-2,-4);54.(2015湖北,16,5 分)如图,已知圆 C与 x轴相切于点 T(1,0),与 y轴正半 轴交于两点 A,B(B在 A的上方),且|AB|=2.(1)圆 C的标准方程为 ; (2)圆 C在点 B处的切线在 x轴上的截距为 . 答案
5、(1)(x-1) 2+(y- )2=2 (2)- -12 25.(2014山东,14,5 分)圆心在直线 x-2y=0上的圆 C与 y轴的正半轴相切,圆 C截 x轴所得弦的长为 2 ,则圆 C的标准方程为 .3答案 (x-2) 2+(y-1)2=46.(2013课标全国,20,12 分)在平面直角坐标系 xOy中,已知圆 P在 x轴上截得线段长为 2 ,在 y轴上截得线段长为 2 .2 3(1)求圆心 P的轨迹方程;(2)若 P点到直线 y=x的距离为 ,求圆 P的方程.22解析 (1)设 P(x,y),圆 P的半径为 r.由 题设得 y2+2=r2,x2+3=r2.从而 y2+2=x2+3.
6、故 P点的轨迹方程为 y2-x2=1.(2)设 P(x0,y0),由已知得 = .|00|2 22又 P在双曲线 y2-x2=1上,从而得 |00|=1,2020=1.由 得 此时,圆 P的半径 r= .00=1,2020=1 0=0,0=1. 3由 得 此时,圆 P的半径 r= .00=1,2020=1 0=0,0=1. 3故圆 P的方程为 x2+(y-1)2=3或 x2+(y+1)2=3.教师用书专用(79)7.(2014湖北,17,5 分)已知圆 O:x2+y2=1和点 A(-2,0),若定点 B(b,0)(b-2)和常数 满足:对圆 O上任意一点 M,都有|MB|=|MA|,则(1)b
7、= ; (2)= . 答案 (1)- (2)12 128.(2013江西,14,5 分)若圆 C经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1相切,则圆 C的方程是 . 答案 (x-2) 2+ =(+32)22549.(2015广东,20,14 分)已知过原点的动直线 l与圆 C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点 A,B.(1)求圆 C1的圆心坐标;(2)求线段 AB的中点 M的轨迹 C的方程;(3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C只有一个交点?若存在,求出 k的取值范围;若不存在,说明理由.解析 (1)由已知得,圆 C1的标准方程为(x-3) 2+y2=4,
8、所以圆 C1的圆心坐标为(3,0).(2)由题意可知,直线 l的斜率必存在,设直线 l的方程为 y=tx,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x 2),线段 AB的中点 M(x0,y0),(其中 0=1+22 ,0=1+22 )将 y=tx代入圆 C1的方程,整理得(1+t 2)x2-6x+5=0.则有 x1+x2= ,61+2所以 x0= ,代入直线 l的方程,得 y0= .31+2 31+2因为 + = + = = =3x0,2020 9(1+2)2 92(1+2)29(1+2)(1+2)2 91+2所以 + = .(032)22094又因为方程(1+t 2)x2-6x+5=0有两个不
9、相等的实根,所以 =36-20(1+t 2)0,解得 t20,x1+x2=m,x1x2=2m.令 x=0,得 y=2m,即 C(0,2m).(1)若存在以 AB为直径的圆过点 C,则 =0,得 x1x2+4m2=0,即 2m+4m2=0,所以 m=0或 m=- .12由 0 得 m8,所以 m=- ,12此时 C(0,-1),AB的中点 M 即圆心,半径 r=|CM|= ,(14,0) 174故所求圆的方程为 +y2= .(+14)2 1716(2)证明:设过 A,B两点的圆的方程为 x2+y2-mx+Ey+2m=0,将(0,2m)代入可得 E=-1-2m,所以过 A,B,C三点的圆的方程为
10、x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0,整理得 x2+y2-y-m(x+2y-2)=0.令 可得 或2+2=0,+22=0, =0,=1 =25,=45,故过 A,B,C三点的圆过定点(0,1)和 .(25,45)C组 20162018 年模拟方法题组方法 1 求解直线的斜率及倾斜角范围的方法1.(2017中原名校联盟 12月联考,6)设点 A(-2,3),B(3,2),若直线 ax+y+2=0与线段 AB有交点,则实数 a的取值范围是( )A. B.(,52) 43,+) 43,52C. D. 52,43 (,43 52,+)答案 D 2.(2016河南信阳调研,6)若直线 l:y=kx
11、-3与直线 2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线 l的倾斜角的取值范围是( )A. B.4,3) 3,2)C. D.(4,2) (3,2)答案 C 方法 2 求直线方程的方法3.(2018江西南昌二中月考,6)曲线 y= 在点 P(2,4)处的切线与直线 l平行且点 P到直线 l的距离为 2 ,则直线 l的方程为( )21 5A.2x+y+2=0B.2x+y+2=0或 2x+y-18=0C.2x-y-18=0D.2x-y+2=0或 2x-y-18=0答案 B 4.(2016吉林九校联考,7)经过点 P(1,4)的直线 l在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线 l的方程为(
12、)A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0答案 B 5.(2017山西长治二中月考,14)直线 l过点 P(6,4),且分别与 x轴,y 轴的正方向交于 A,B两点,当ABO 的面积最小时,直线 l的方程为 . 答案 2x+3y-24=0方法 3 求圆的方程的方法6.(2018河北石家庄质检,15)过点 M(2,2)的直线 l与坐标轴的正方向分别相交于 A,B两点,O 为坐标原点,若OAB 的面积为 8,则OAB 外接圆的标准方程是 . 答案 (x-2) 2+(y-2)2=87.(2016宁夏银川一中调研,15)两条互相垂直的直线 2x+y+2=0和
13、 ax+4y-2=0的交点为 P,若圆 C过点 P和点 M(-3,2),且圆心在直线 y= x上,则圆 C的标准方程为 . 12答案 (x+6) 2+(y+3)2=348.(2017江西四校 12月联 考,20)在平面直角坐标系 xOy中,以 O为圆心的圆与直线 x- y=4相切.3(1)求圆 O的方程;(2)圆 O与 x轴相交于 A,B两点,圆 O内的动点 P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求 的取值范围.解析 (1)依题意得,圆 O的半径 r等于原点 O到直线 x- y-4=0的距离,即 r= =2,故圆 O的方程为 x2+y2=4.341+3(2)由已知不妨设 A(-2,0),
14、B(2,0).设 P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得 =x2+y2,即 x2-y2=2.(+2)2+2 (2)2+2因为点 P在圆 O内,所以 由此得 y21.2+24,22=2.所以 =(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=2y2-20,又易得 =2y2-2-2,所以 的取值范围为 -2,0).方法 4 对称问题的处理方法9.(2017江西赣中南五校联考,5)已知直线 l与直线 2x-3y+4=0关于直线 x=1对称,则直线 l的方程为( )A.2x+3y-8=0 B.3x-2y+1=0C.x+2y-5=0 D.3x+2y-7=0答案 A 10.(201
15、8湖南师大附中联考,14)若直线 l1:y=-x关于直线 l的对称直线为 l2:x+y-2=0,则直线 l的方程为 . 答案 x+y-1=011.(2017河北衡水中学二调,17)一条光线经过点 P(2,3)射在直线 l:x+y+1=0上,反射后经过点 Q(1,1).(1)求入射光线所在直线的方程;(2)求这条光线从点 P到点 Q的长度.解析 (1)如图所示.设点 Q(x,y)为 Q关于直线 l的对称点且 QQ交 l于点 M.k l=-1,k QQ=1,QQ所在直线的方程为 y-1=1(x-1),即 x-y=0,由 +1=0,=0, 解得 l与 QQ的交点 M的坐标为 .(12,12)又M 为 QQ的中点,由 1+2=12,1+2 =12,解得 Q(-2,-2).=2,=2.设入射光线与 l交于点 N,则 P,N,Q三点共线.由 P(2,3)、Q(-2,-2)得入射光线所在直线的方程为 = ,即 5x-4y+2=0.+22+2+23+2(2)由(1)知 l是线段 QQ的垂直平分线,|NQ|=|NQ|,|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ|= = ,(3+2)2+(2+2)2 41即这条光线从点 P到点 Q的长度是 .41
