1、 满分晋级新课标剖析当前形势 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查 515 分要求层次内容A B C具体要求幂函数的概念 通过实例，了解幂函数的概念高考要求幂函数 ，yx， ，23， 的图象1yx12其性质 结合函数 ， ， ， ， 的yx23yx112yx图象了解它们的变化规律2008 年 2009 年 2010 年（新课标） 2011 年（新课标） 2012 年（新课标）北京高考解读 第 2 题 5 分第 13 题 5 分第 3 题 5 分第 13 题 5 分第 6 题 5 分第 14 题 5 分第 6 题 5 分第 8 题 5 分第 13 题 5 分第 14 题
2、 5 分第 8 讲函数 7级对数函数函数 8级幂函数与复合函数初步函数 9级函数与方程幂函数与复合函数初步98 第 8 讲教师版8.1 幂函数我们来看一下我们初中学过的一些函数，如： 我们可以发现这些函数21yxyx， ， ， ，与我们前边学过的指数函数有点类似，但根据指数函数的定义，我们知道这些函数不是指数函数，这些函数的表达式有着共同的特征：幂的底数是自变量，指数是常数.那我们管这样的函数就叫做幂函数.那幂函数的定义到底是什么呢？下面我们来看一下幂函数的概念：考点 1：幂函数的概念知识点睛幂函数：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数()yxR【概念说明】由于对于类似 的形式我们研究
3、不了，高中只研究 是有理数.如：， ， ， ， ， ， 等，而课本中重yx23yx12x1yx2y12x点研究 时的情况.1， ， ， ，形如 都不是幂函数，因此要注意幂函数的书232yxxyx， ， ，写形式要注意幂函数与指数函数的区别.指数函数：形如 ， 为自变量，01xya， x自变量在指数位置，底数为常数且为正值；幂函数：形如 ， 为自变量， 为常数，自变量在底数位置，常数在指数位置，常数可正可负，即指数函数：幂函数：不不0不1不不y=ax y=x不不=1,23不12-1不经典精讲【例 1】 下列函数中是幂函数的是（ ）A （ ， 为非零常数且 ） Bmyax1a123yxC D2 (
4、) 幂函数 的图象过点 ，则 的解析式是 _()f4327)（ ， ()fx 幂函数 的图象经过点 ，则满足 的 的值是_yx(8， 27fx【解析】 C ； 34()fx ；【备选】 在下列函数中，是幂函数的有_ ， ， ， 23yx5yx32x1y 已知幂函数 的图象经过点 ，则 _()f(8)， ()f【解析】 1幂函数的图象与其它函数相比，在理解和记忆上都感到比较困难.主要因为幂函数的图象的位置和形状变化复杂，只要指数稍有不同，图象的位置和形状就可能发生很大的变化.所以有必要对幂函数的图象分布进行一番考查.下面我们就通过举例来研究这类函数的图象和性质：考点 2：幂函数的图象与性质知识点
5、睛1.幂函数的图象当 分别为 ， ， ， ， 时，幂函数图象如下图：123从这些函数的图象大家可以看到，幂函数随着 的取值不同，它的定义域、性质和图象也不尽相同. xy y=x12yx-1y=x3y=x2O11100 第 8 讲教师版但它们也有一些共同的性质：2.幂函数的性质所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ；(0)， 1，【教师备案】当 时，在 处也可以取到；当 时，在 处无意义.0x0x如果 ，则幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数；)，如果 ，则幂函数在区间 上是减函数.在第一象限内，当 从右边趋向于原点时，图象0()，在 轴右方无限地逼近 轴当 趋于 时，图象在 轴上
6、方无限地逼近 轴yyxxx【教师备案】幂函数 的图象主要分以下 类()R7 当 时，图象是过 点平行于 轴但扣去 点的一条“断”直线；0(1， (01)， 当 为正偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、二象限及原点； 当 为正奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、三象限及原点； 当 为负偶数时，幂函数为偶函数，图象在第一、二象限，但不过原点； 当 为负奇数时，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限，但不过原点； 当 为正分数时，设为 （ ， 是互质的正整数） nm如果 ， 都是奇数，幂函数为奇函数，图象过第一、三象限及原点；如 是奇函数，图象为：53yx如果 是偶数， 为奇数，幂函数为非奇非偶函数，图
7、象在第一象限及过原点；mn如 是非奇非偶函数，图象只在第一象限，即34yx如果 为奇数， 为偶数，幂函数为偶函数，图象过第一、二象限及原点n如 是偶函数，图象为：23yx 当 为负分数时，设为 （ ，m是互质的正整数） n如果 ， 都是奇数，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限；mn如果 为偶数， 为奇数，幂函数的图象只在第一象限；如果 为奇数， 为偶数，幂函数为偶函数，图象在第一、二象限如 是偶函数，图象为231yx x yOx yOx yOO yx经典精讲【例 2】 已知幂函数 在第一象限内的图象如图所示，且 分别取yx， ， ， ，则相应于曲线 ， ， ， 的 的值依次为121C234_
8、函数 是幂函数，且当 时是减函数，求实数 ；223()mfxx (0)x， m 幂函数 是偶函数，且 当 时是减函数，求整数 的值49a()， a【解析】 2，1， ， m 的值为 ，1，3，5a【备选】 已知幂函数 为偶函数且在区间 上是减函数23()()mfxZ(0)， 求函数 的解析式； 讨论 的奇偶性()()bgaffx【解析】 4fx 当 时， 既是奇函数又是偶函数；0,()g 当 时， 为奇函数；abx 当 时， 为偶函数；, 当 时， 既不是奇函数也不是偶函数()在指数函数和对数函数中我们都已经讲了函数值的大小比较，那在幂函数中怎样比较大小呢？在前边我们也已经讲了幂函数与指数函数
9、的区别，那在函数值比较大小时，我们是把它看成指数函数还是看成幂函数呢？下面我们就来看一下函数值的大小比较：考点 3：函数值的大小比较及其应用经典精讲【教师备案】函数值的大小比较关键在于构造适当的函数.若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；比如 比较 和 ，就可以看成幂函数 ，根据幂函数的性质我们知道0.520.530.5yx在 上是增函数， ； 比较 和 ，就可以看成幂函0.5yx， 0.5.230.4.数 ，根据幂函数的性质我们知道 在 上是减函数，.4 0.4， ；比较 和 ，就可以看成幂函数 ，根据幂函数的性质我013213 13yxyxC 43C211O102 第 8 讲教师版们知道 在
10、 上是增函数， .13yx0， 132若指数不同底数相同，则考虑指数函数；比如 比较 和 ，就可以看成指数函数 ，根据指数函数的性质我们知道0.32.5 xy在 上是增函数， ；比较 和 ，就可以看成指数函数xyR 0.3.520.650.7，根据指数函数的性质我们知道 在 上是减函数， 5 xR 0.675若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象.【例 3】 比较下列各组数的大小 和 ； 和 ； 和 ； ， 和 ；0.520.5352523.178781912413. ， 和 ；12.614.46. 已知函数 ，且 ，求 的取值范围
11、.2()fx()(fxfx 已知函数 满足 kZ2)(3f求 的值并求出相应的 的解析式；kf对于 中得到的函数 ，试判断是否存在 ，使函数()x0)q()1()21gxqf在区间 上的值域为 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由， 748，【解析】 ；0.50.523 ；5252.1 ；78789 ；12.4.13. ；0645402 x 或 ； k12()fx 2q已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上是减函数，求满足23myx*()Ny(0)，的 的范围(1)()aa【解析】 的取值范围为 或 |132a【点评】 本题易错点在于最后由 求 的取值范围的时候，只注意到函数 单调1()()
12、 1yx递减，忽略了单调区间是分段的，当 和 在不同单调区间时， 也a1()(32)aa可以成立其实从第 2 讲开始我们就在讲复合函数，只不过当时我们只是简单介绍了一下复合函数的概念和性质.而且理科的学生以后重点研究的是复合函数，比如将来高考的第 18 题导数主要考察复合函数，所以，这时要求学生一定要对复合函数能够熟练地掌握，那我们下面就来看一下复合函数的应用.8.2 复合函数的应用考点 4：复合函数的解析式经典精讲【例 4】 ， ，则 时， _；2fx21gxfgxx 已知 ， ，则 等于（ ）()120ffA B C D353 函数 满足 ，则 等于（ ）2cxf2fxcA B C D或
13、5或 已知 ， ，求 和 的表达式2()1fx10()xg，()fgx()f【解析】 1B； ； ； 20()43xxfg ， 221()3xgf x ，【点评】 在 中，对应法则 指自变量的平方减 ，这里 为自变量，故题中f f1()g，而 的表达式是分段由 的取值范围而定，所以必须分段讨论2()1x()xx104 第 8 讲教师版考点 5：复合函数的单调区间经典精讲【教师备案】虽然在指数和对数我们都已经讲了复合函数的单调区间，但是为了让学生熟练地掌握，这里还会涉及到与指数、对数相关的复合函数.是与幂函数相关的复合函数；是与指数相关的复合函数；是与对数相关的复合函数；是指对复合在一起的复合函
14、数.【例 5】 求下列函数的单调区间 ， 3(1)yx3()yx12()yx23xy21xy 2loglg42logx【解析】 函数 的单调增区间为 ；函数 的单调减区间为 3(1)yxR3(1)yxR 函数 的单调减区间为 ，增区间为 202， 2，函数 的减区间为 ，增区间为 23xy3， 3，函数 的减区间为 ，增区间为 21x1， 1， 函数 的增区间为 ，减区间为 21log(3)y()， (2)，函数 的增区间为 ，减区间为 4x62， ，函数 的增区间为2ly(0)，【点评】 在讨论复合函数的单调性时，内外层函数的定义域不一定相同内层函数的值域要包含于外层函数的定义域内实战演练【
15、演练 1】已知函数 ， ， ， ， ，2yx1yx24yx51yx2(1)yx ；其中是幂函数的是_；0幂函数 的图象经过点 ，则 _()f3， ()f【解析】 12x【演练 2】 实数 满足 ，则下列不等式正确的是（ ）ab， 0abA B C D1213ab21ab 若四个幂函数 ， ， ， 在同一坐标系中的图象如图，将 、ayxbcyxdyx a、 、 从小到大排列应该是_bcd【解析】 C ； a【演练 3】若 是一次函数，且 ，则()fx()41fx_()fx【解析】 或 ；12【演练 4】已知函数 是幂函数，且当 时是减函数，223()1)mfxx(0)x， 求实数 的值；m 求函
16、数 的定义域，判断其奇偶性并证明(yff【解析】 2 定义域为 ；偶函数2x【演练 5】已知点 在幂函数 的图象上，点 在幂函数 的图象上2， ()fx124， ()gx 求函数 ， 的解析式；()fxg 判断函数 的单调性并用定义证明； 问 为何值时有 ()fx【解析】 ， ；2()fx2x 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减g(0)(0)，y xy=dcy=xby=xa 11O106 第 8 讲教师版任取 ，120x2212111()()xxgxx ，则 ， ，220 即 在区间 上单调递增1()g()()同理可证明 在区间 上单调递减()x0，在区间 ， 上有 01fxg概念要点回顾画出下列函数的草图：函数 yx2yx3yx1yx12yx图象答案：函数 yx2yx3yx1yx12yx图象yOx yOx yOx O yx O yx
