1、1第一讲 不规则图形面积的计算（一）我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。例 1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 10 厘米和 12 厘米.求阴影部分的面积。解：阴影部分的面积等
2、于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（ABG、BDE、EFG）的面积之和。2又因为 S 甲+S 乙=1212+1010=244，所以阴影部分面积=244-（50+132+12）=50（平方厘米） 。例 2 如右图，正方形 ABCD 的边长为 6 厘米，ABE、ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，求三角形 AEF 的面积.解：因为ABE、ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，所以四边形 AECF 的面积与ABE、ADF 的面积都等于正方形 ABCD在ABE 中，因为 AB=6.所以 BE=4，同理 DF=4，因此 CE=CF=2，ECF 的面积为 222=2。所以 SA
3、EF=S 四边形 AECF-SECF=12-2=10（平方厘米） 。例 3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是 10 厘米和 6 厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。解：在等腰直角三角形 ABC 中AB=103EF=BF=AB-AF=10-6=4，阴影部分面积=SABG-SBEF=25-8=17（平方厘米） 。例 4 如右图，A 为CDE 的 DE 边上中点，BC=CD，若ABC（阴影部分）面积为 5 平方厘米.求ABD 及ACE 的面积.解：取 BD 中点 F，连结 AF.因为ADF、ABF 和ABC 等底、等高，所以它们的面积相等，都等于 5 平方厘米.所以ACD 的
4、面积等于 15 平方厘米，ABD 的面积等于 10 平方厘米。又由于ACE 与ACD 等底、等高，所以ACE 的面积是 15 平方厘米。例 5 如下页右上图，在正方形 ABCD 中，三角形 ABE 的面积是 8 平方厘解：过 E 作 BC 的垂线交 AD 于 F。在矩形 ABEF 中 AE 是对角线，所以 SABE=SAEF=8.在矩形 CDFE 中 DE 是对角线，所以SECD=SEDF。例 6 如右图，已知：SABC=1，4解：连结 DF。AE=ED，SAEF=SDEF；SABE=SBED，例 7 如下页右上图，正方形 ABCD 的边长是 4 厘米，CG=3 厘米，矩形 DEFG 的长 D
5、G 为 5 厘米，求它的宽 DE 等于多少厘米？解：连结 AG，自 A 作 AH 垂直于 DG 于 H，在ADG 中，AD=4，DC=4（AD 上的高）.SAGD=442=8，又 DG=5，SAGD=AHDG2，AH=825=3.2（厘米） ，DE=3.2（厘米） 。例 8 如右图，梯形 ABCD 的面积是 45 平方米，高 6 米，AED 的面积是 5 平方米，BC=10 米，求阴影部分面积.5解：梯形面积=（上底+下底）高2即 45=（AD+BC）62，45=（AD+10）62，AD=4526-10=5 米。ADE 的高是 2 米。EBC 的高等于梯形的高减去ADE 的高，即 6-2=4
6、米，例 9 如右图，四边形 ABCD 和 DEFG 都是平行四边形，证明它们的面积相等.证明：连结 CE， ABCD 的面积等于CDE 面积的 2 倍，而 DEFG 的面积也是CDE 面积的 2 倍。 ABCD 的面积与 DEFG 的面积相等。6习题一一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：二、解答题：1.如右图，ABCD 为长方形，AB=10 厘米，BC=6 厘米，E、F 分别为 AB、AD 中点，且FG=2GE.求阴影部分面积。2.如右图，正方形 ABCD 与正方形 DEFG 的边长分别为 12 厘米和 6 厘米.求四边形CMGN（阴影部分）的面积.3.如右图，正方形 ABCD 的边长为
7、 5 厘米，CEF 的面积比ADF 的面积大 5 平方厘米.求 CE 的长。74.如右图，已知 CF=2DF，DE=EA，三角形 BCF 的面积为 2，四边形 BEDF 的面积为 4.求三角形 ABE 的面积.5.如右图，直角梯形 ABCD 的上底 BC=10 厘米，下底 AD=14 厘米，高 CD5 厘米.又三角形 ABF、三角形 BCE 和四边形 BEDF 的面积相等。求三角形 DEF 的面积.6.如右图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是 64 平方米和 9 平方米.求长方形的长、宽各是多少？7.如右图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右下图，它
8、的面积与原三角形面积之比为2：3，已知阴影部分的面积为 5 平方厘米.求原三角形面积.8.如右图， ABCD 的边长 BC=10，直角三角形 BCE 的直角边 EC 长 8，已知阴影部分的面积比EFG 的面积大 10.求 CF 的长.8习题一解答一、填空题：二、解答题：3CE=7 厘米9可求出 BE=12所以 CE=BE-5=7 厘米43提示：加辅助线 BDCE=4，DE=CD-CE=5-4=1。同理 AF=8，DF=AD-AF=14-8=6，6如右图，大正方形边长等于长方形的长与宽的和.中间小正方形的边长等于长方形的长与宽的差.而大、小正方形的边长分别是 8 米和 3 米，所以长方形的宽为（
9、8-3）2=2.5（米） ，长方形的长为 8-2.5=5.5（米）.715 平方厘米解：如右图，设折叠后重合部分的面积为 x 平方厘米，x=5所以原三角形的面积为 25+5=15 平方厘米阴影部分面积是：10x-40SGEF10由题意：SGEF10=阴影部分面积，10x-40=10，x5（厘米）.11第五讲 同余的概念和性质你会解答下面的问题吗？问题 1：今天是星期日，再过 15 天就是“六一”儿童节了，问“六一”儿童节是星期几？这个问题并不难答.因为，一个星期有 7 天，而 157=21，即 1572+1，所以“六一”儿童节是星期一。问题 2：1993 年的元旦是星期五，1994 年的元旦是
10、星期几？这个问题也难不倒我们.因为，1993 年有 365 天，而 365=752+1，所以 1994 年的元旦应该是星期六。问题 1、2 的实质是求用 7 去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2 中的 15 与 365 除以 7 后，余数都是 1，那么我们就说 15 与 365 对于模 7 同余。同余定义：若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为：ab（modm）. （*）上式可读作：a 同余于 b，模 m。同余式（*）意味着（我们假
11、设 ab）：a-b=mk，k 是整数，即 m（a-b）.例如：15365（mod7） ，因为 365-15=350=750。5620（mod9） ，因为 56-20=3694。900（mod10） ，因为 90-090=109。由例我们得到启发，a 可被 m 整除，可用同余式表示为：a0（modm） 。例如，表示 a 是一个偶数，可以写a0（mod 2）表示 b 是一个奇数，可以写b1（mod 2）补充定义：若 m （a-b） ，就说 a、b 对模 m 不同余，用式子表示是：12a b（modm）我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（
12、其中 a、b、c、d 是整数，而 m 是自然数） 。性质 1：aa（mod m） ， （反身性）这个性质很显然.因为 a-a=0=m0。性质 2：若 ab（mod m） ，那么 ba（mod m） ， （对称性） 。性质 3：若 ab（mod m） ，bc（mod m） ，那么 ac（mod m） ， （传递性） 。性质 4：若 ab（mod m） ，cd（mod m） ，那么 acbd（mod m） ， （可加减性） 。性质 5：若 ab（mod m） ，cd（mod m） ，那么 acbd（mod m） （可乘性） 。性质 6：若 ab（mod m） ，那么 anb n（mod m） ，
13、（其中 n 为自然数） 。性质 7：若 acbc（mod m） ， （c，m）=1，那么 ab（mod m） ， （记号（c，m）表示 c与 m 的最大公约数） 。注意同余式性质 7 的条件（c，m）1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。例如 610（mod 4） ，而 3 5（mod 4） ，因为（2，4）1。请你自己举些例子验证上面的性质。同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。例 1 判定 288 和 214 对于模 37 是否同余，74 与 20 呢？解：288-214=74=372。288214（mod37） 。74-20=54，而 37 54，74 20（mod
14、37） 。例 2 求乘积 4188141616 除以 13 所得的余数。分析 若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小” ，减少计算量。解：4182（mod13） ，8148（mod13） ，16164（mod13） ，13 根据同余的性质 5 可得：41881416162846412（mod13） 。答：乘积 4188141616 除以 13 余数是 12。例 3 求 14389除以 7 的余数。分析 同余的性质能使“大数化小” ，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。解法 1：14
15、33（mod7）143 893 89（mod 7）8964+16+8+1而 322（mod 7） ，3 44（mod7） ，3 8162（mod 7） ，3 164（mod 7） ，3 32162（mod 7） ，3 644（mod 7） 。3 893 6431638344235（mod 7） ，143 895（mod 7） 。答：143 89除以 7 的余数是 5。解法 2：证得 143893 89（mod 7）后，3 63 234241（mod 7） ，3 84（3 6） 141（mod 7） 。3 893 843431435（mod 7） 。143 895（mod 7） 。例 4 四盏灯
16、如图所示组成舞台彩灯，且每 30 秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，这样一直进行下去.请问开灯 1 小时四盏灯的颜色如何排列？14分析 与解答经观察试验我们可以发现，每经过 4 次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而1 小时=60 分钟=12030 秒，所以这道题实质是求 120 除以 4 的余数，因为 1200（mod 4） ，所以开灯 1 小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。十位，上的数码，再设 M=a0a1an，求证：NM（mod 9） 。分析 首先把整数 N 改写成关于 10 的幂的形式，然后利用 101（mod 9） 。又
17、 11（mod 9） ，101（mod 9） ，10 21（mod 9） ，10 n1（mod 9） ，上面这些同余式两边分别同乘以 a0、a 1、a 2、a n，再相加得：a 0a 110+a2102+an10na 0a 1a 2a n（mod 9） ，即 NM（mod 9）.这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被 9 除的余数即可。例如，求 1827496 被 9 除的余数，只要先求（1+827496） ，再求和被 9 除的余数。15再观察一下上面求和式.我
18、们可以发现，和不一定要求出.因为和式中 18，2+7，9 被9 除都余 0，求余数时可不予考虑.这样只需求 46 被 9 除的余数.因此，1827496 被 9 除余数是 1。有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检查方法叫：弃九法。弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。用弃九法检验乘式 5483911749888511 是否正确？因为 54835483112（mod 9） ，911791170（mod 9） ，所以 54839117200（mod 9） 。但是 498885114+98+8+85+1+18（mod9） ，所以 548391174988
19、8511，即乘积不正确。要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。例如，987598+7+52（mod 9） ，487348734（mod 9） ，324756893+2+4+75+6+8+98（mod 9） ，这时，987548732432475689（mod 9） 。但观察个位数字立刻可以判定 9875487332475689.因为末位数字 5 和 3 相乘不可能等于 9。弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。例 6 用弃九法检验下面的计算是否正确：2337245873123544。解：把除式转化为：3544731223372458。 354435447（mod 9
20、） ，16731273124（mod 9） ， 35447312741（mod 9） ，但 2337245823387（mod 9） 。而 1 7（mod 9） 3544731223372458，即 2337245873123544。例 7 求自然数 210031014102 的个位数字。分析 求自然数的个位数字即是求这个自然数除以 10 的余数问题。解：2 1002 4256 256（mod 10） ，3 1013 425311 25313（mod 10） ，4 102（2 2） 10042666（mod 10） ， 2 1003 1014 1026365（mod 10） ，即自然数 210
21、03 1014 102的个位数字是 5.习题五1.验证对于任意整数 a、b，式子 ab（mod1）成立，并说出它的含义。2.已知自然数 a、b、c，其中 c3，a 除以 c 余 1，b 除以 c 余 2，则 ab 除以 c 余多少？3.1993 年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？4.求 333355555555 3333被 7 除的余数。5.所有自然数如下图排列.问 300 位于哪个字母下面？6. 数，被 13 除余多少？（提示：先试除，可知 13|111111，而 19931（mod 6） ） 。177.用弃九法检验下面运算是否正确：845372=315340；12345678
22、91=838114385；11441926132899739459。8.求 1993100的个位数字.习题五解答1.例：1|a-b，23（mod 1） ，715（mod 1） ，式子 ab（mod 1）的含义是：任意整数 a、b 对模 1 同余.整数是模 1 的同余类。2.解：a1（mod c） ，b2（mod c） ，ab2（mod c）即 ab 除以 c 余 2。3.1993 年的十月一日是星期五。4.解： 33331（mod 7） ， 3333 55551（mod 7） 。又 55554（mod 7） ， 5555 33334 3333（mod 7） 。而 431（mod 7） ， 4
23、3333（43)11111（mod 7） ， 3333 5555+555533331+12（mod 7） ，即 3333 55555555 3333被 7 除余 2。5.解： 3006（mod 7） 。 300 与 6 在同一列，在 D 下面。6.答：余 1。7.不正确；不正确；不正确。188.1.第四讲 最大公约数和最小公倍数本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。定理 1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（ad，bd）1。证明：设 ad=a1，bd=b 1，那么 aa
24、1d，b=b 1d。假设（a 1，b 1）1，可设（a 1，b 1）m（m1） ，于是有 a1=a2m，b 1b 2m.（a 2，b 2是整数）所以 a=a1da 2md，bb 1db 2md。那么 md 是 a、b 的公约数。又m1，mdd。这就与 d 是 a、b 的最大公约数相矛盾.因此， （a 1，b 1）1 的假设是不正确的.所以只能是（a 1，b 1）=1，也就是（ad，bd）1。定理 2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略）定理 3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略）下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。例 1 甲数是 3
25、6，甲、乙两数的最大公约数是 4，最小公倍数是 288，求乙数.解法 1：由甲数乙数=甲、乙两数的最大公约数两数的最小公倍数，可得36乙数=4288，乙数=428836，解出 乙数=32。答：乙数是 32。解法 2：因为甲、乙两数的最大公约数为 4，则甲数=49，设乙数=4b 1，且（b 1，9）=1。因为甲、乙两数的最小公倍数是 288，19则 28849b 1，b 128836，解出 b 18。所以，乙数=48=32。答：乙数是 32。例 2 已知两数的最大公约数是 21，最小公倍数是 126，求这两个数的和是多少？解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为 a、b，
26、ab。因为这两个数的最大公约数是 21，故设 a=21a1，b21b 1，且（a 1，b 1）1。因为这两个数的最小公倍数是 126，所以 126=21a 1b1，于是 a 1b1=6，因此，这两个数的和为 21126=147，或 4263=105。答：这两个数的和为 147 或 105。例 3 已知两个自然数的和是 50，它们的最大公约数是 5，求这两个自然数。解：设这两个自然数分别为 a 与 b，ab.因为这两个自然数的最大公约数是 5，故设a=5a1，b=5b 1，且（a 1，b 1）=1，a 1b 1。因为 ab=50， 所以有 5a1+5b1=50，a 1+b1=10。满足（a 1，
27、b 1）=1，a 1b 1的解有：20答：这两个数为 5 与 45 或 15 与 35。例 4 已知两个自然数的积为 240，最小公倍数为 60，求这两个数。解：设这两个数为 a 与 b，ab，且设（a，b）d，ada 1，bdb 1，其中（a 1，b 1）1。因为两个自然数的积=两数的最大公约数两数的最小公倍数，所以 240=d60，解出 d4，所以 a=4a 1，b=4b 1.因为 a 与 b 的最小公倍数为 60，所以 4a 1b160，于是有 a 1b115。答：这两个数为 4 与 60 或 12 与 20。例 5 已知两个自然数的和为 54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为 114
28、，求这两个自然数。解：设这两个自然数分别为 a 与 b，ab， （a，b）d，ada 1，bdb 1，其中（a 1，b 1）1。因为 a+b54，所以 da1+db1=54。于是有 d（a 1b 1）54，因此，d 是 54 的约数。又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为 114，所以 da1b1-d=114，21于是有 d（a 1b1-1）=114，因此，d 是 114 的约数。故 d 为 54 与 114 的公约数。由于（54，114）6，6 的约数有：1、2、3、6，根据定理 3，d 可能取 1、2、3、6 这四个值。如果 d1，由 d（a 1+b1）54，有 a1b 1=54；又
29、由 d（a 1b1-1）114，有a1b1=115。115=1115=523，但是 1115=11654，523=2854，所以 d1.如果 d2，由 d（a 1b 1）54，有 a1+b1=27；又由 d（a 1b1-1）=114，有 a1b1=58。58158229，但是 1585927，2+293127，所以 d2。如果 d=3，由 d（a 1b 1）=54，有 a1+b118；又由 d（a 1b1-1）=114，有 a1b1=39。39139313，但是 1394018，3131618，所以 d3。如果 d=6，由 d（a 1b 1）=54，有 a1b 1=9；又由 d（a 1b1-1
30、）=114，有 a1b1=20。20 表示成两个互质数的乘积有两种形式：20=12045，虽然 120=219，但是有459，所以取 d6 是合适的，并有 a1=4，b15。a6424，b6530。答：这两个数为 24 和 30。例 6 已知两个自然数的差为 4，它们的最大公约数与最小公倍数的积为 252，求这两个自然数。解：设这两个自然数分别为 a 与 b，且 ab，ada 1，b=db 1， （a 1，b 1）1。因为 a-b=4，所以 da1-db1=4，于是有 d（a 1-b1）=4，因此 d 为 4 的约数。因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积为 252，所以 dda1b12
31、52，于是有d2a1b1=（23）27，因此 d 为 23 的约数。故 d 为 4 与 23 的公约数。由于（4，23）2，2 的约数有 1 和 2 两个，所以 d 可能取 1、2 这两个值。如果 d=1，由 d（a 1-b1）=4，有 a1-b1=4；又由 d2a1b1=252，有 a1b1=252。252 表示成两个互质数的乘积有 4 种形式：252=1252=463=736928，但是252-12514，63-4594，36-7=294，28-9194，所以 d1。22如果 d=2，由 d（a 1-b1）=4，有 a1-b1=2；又由 d2a1b1252，有 a1b1=63。63 表示为
32、两个互质数的乘积有两种形式：63163=79，但 63-1622，而 9-72，且（9，7）=1，所以 d=2，并且 a19，b 17。因此 a=2918，b2714。答：这两个数为 18 和 14。在例 2例 5 的解答中之所以可以在假设中排除 a=b 这种情形（在各例中都只假设了ab） ，分别是由于：例 2 和例 5，若 ab，则（a，b）a，ba，与条件（a，b）a，b矛盾；例 3，若 a=b，则 ab=（a，b）=5，因此 ab1050，与条件矛盾；例4，ab=240 不是平方数。从例题的解答中可以看出，在处理涉及两数的最大公约数或者最小公倍数的很多问题中，经常用到的基本关系是：若两数
33、为 a、b，那么 a=a1d，bb 1d，其中 d=（a，b） ， （a 1，b 1）1，因此a，bda 1b1，有时为了确定起见，可设 ab.对于很多情形，可以排除 a=b 的情形（如上述所示） ，而只假设 ab.习题四1.已知某数与 24 的最大公约数为 4，最小公倍数为 168，求此数。2.已知两个自然数的最大公约数为 4，最小公倍数为 120，求这两个数。3.已知两个自然数的和为 165，它们的最大公约数为 15，求这两个数。4.已知两个自然数的差为 48，它们的最小公倍数为 60，求这两个数。5.已知两个自然数的差为 30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为 450，求这两个自然数。
34、6.已知两个自然数的平方和为 900，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为 432，求这两个自然数.习题四解答1.此数为 28。2.这两个数为 4 与 120，或 8 与 60，或 12 与 40，或 20 与 24。3.所求的两个数为 15 与 150，或 30 与 135，或 45 与 120，或 60 与 105，或 75 与 90。4.所求的两个数为 60 与 12。5.所求的两个数为 41 与 11，或 65 与 35。6.解：设所求的两个自然数为 a、b，且 ab，a=da 1，b=db 1， （a 1，b 1）1，a 1b 1。23由所给的条件得到两式相除得由于 （12，25）1
35、，因此 a 1=3，b 14。得 d6。所以 a=18，b=24。经检验，18、24 为所求。答：这两个自然数为 18 与 24.第八讲 时钟问题时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.钟面的一周分为 60 格.也存在着不少的学问.这里列出一个基本公式：在初始时刻需追赶的格数格数。例 1 现在是 3 点，什么时候时针与分针第一次重合？24分析 3 点时分针指 12，时针指 3.分针在时针后 5315（个）格.例 2 在 10 点与 11 点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？分析 分两种情况进行讨论。在顺时针方向上分针与时针成 270角：在顺时针方向上当分针与时针成 270时，分针落后时针
36、 60（270360）=45（个）格，而在 10 点整时分针落后时针 510=50（个）格.因此，在这段时间内，分针要比时针多走 50-45=5（个）格，而每分钟分针在顺时针方向上分针与时针成 90角：在顺时针方向上当分针与时针成 90角时，分针落后时针 60（90360）=15（个）格，而在 10 点整时分针落后时针 510=50（个）格，因此在这段时间内，分针要比时针多走 50-15=35（个）格，所以到达这一时25解：在顺时针方向上当分针与时针成 270角时：在顺时针方向上当分针与时针成 90角时：例 3 在 9 点与 10 点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？分析 分两种情况进行
37、讨论。分针与时针的夹角为 180角：当分针与时针的夹角为 180角时，分针落后时针 60（180360）=30（个）格，而在 9 点整时，分针落后时针 59=45（个）格.因此，在这段时间内分针要比时针多走 45-30=15（个）格，而每分钟分针比时针多走（分钟） 。分针与时针的夹角为 0，即分针与时针重合：9 点整时，分针落后时针 59=45（个）格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走 45 个格，因此到达这一时刻所用的时间为：45(1-解：当分针与时针的夹角为 180角时：当分针与时针的夹角为 0即分针与时针重合时：26例 4 小明在 7 点与 8 点之间解了一道题，开始时分针与时针正
38、好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间？分析 要求小明解题共用了多少时间，必须先求出小明解题开始时是什么时刻，解完题时是什么时刻。小明开始解题时的时刻：因为小明开始解题时，分针与时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为 180，此时分针落后时针 60（180360）=30（个）格，而 7 点整时分针落后时针 5735（个）格，因此在这段时间内分针要比时小明解题结束时的时刻：因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从 7 点整到这一时刻分针要这样小明解题所用的时间就可以求出来了。解：先求小明开始解题的时刻：再求小明结束解题的时刻：27最后求小明解题所用的
39、时间：例 5 一只钟的时针与分针均指在 4 与 6 之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央，问这时是什么时刻？分析 由于现在可以是 4 点多，也可以是 5 点多，所以分两种情况进行讨论：先设此时是 4 点多：4 点整时，时针指 4，分针指 12.从 4 点整到现在“5 在时针与分针的正中央” ，分针走的格数多于 25，少于 30，时针走不足 5 格.由于 5 到分针的格数等于 5 到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走 30 格.又由于再设此时是 5 点多：285 点整时，时针指 5，分针指 12.从 5 点整到现在“5 在时针与分针的正中央” ，分针走的格数多于 20 格少于
40、 25 格，时针走的格数不足 5 格，由于 5 到分针的格数等于 5 到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走 25 格.因此，从 5 点整到上页图（b）钟面上解：如果此时是 4 点多，则从 4 点整到上页图（a）钟面上这种状态如果此时是 5 点多，则从 5 点整到上页图（b）钟面上这种状态共用：例 6 一只旧钟的分钟和时针每 65 分钟（标准时间的 65 分钟）重合一次.问这只旧钟一天（标准时间 24 小时）慢或快几分钟？分钟重合一次，显然旧钟快.本题的难点在于从旧钟两针的重合所耗用的 65 标准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转速度（每标准分钟旋转多少格） ，进而推算出旧钟的针 24 标准
41、小时旋转多少格，它与标准钟的针用 24 标准小时所走的格数的差就是旧钟钟面上显示的比标准钟快的时间读数。单位表示：旧钟分针速度为 x（格/标准分）.旧钟分针走 60 格时针走 5 格，耗用 65 标准分钟，而且两次重合之间分针赶超了时针标准时间一天有 6024=1440 标准分，一天内旧钟分针走的格数为：29标准分钟数.并非标准的分钟数。解：设这只旧钟的分针用标准时间 1 分钟走 x 格，则旧钟的时针速度为根据旧钟的时针与分针每重合一次耗用 65 标准分钟，列方程得：60标准时间一天有 6024 标准分，标准时间一天内旧钟分针走的格数为：这只旧钟的分针标准时间一天所走的格数与标准钟分针一天走的
42、格数差为：习题八1.在 6 点和 7 点之间，两针什么时刻重合？2.现在是 2 点 15 分，再过几分钟，时针和分针第一次重合？303.2 点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？4.在 7 点与 8 点之间（包含 7 点与 8 点）的什么时刻，两针之间的夹角为 120？5.在 10 点与 11 点之间，两针在什么时刻成一条直线？6.一旧钟钟面上的两针每 66 分钟重合一次，这只旧钟在标准时间的一天中快或慢几分钟？7.李叔叔下午要到工厂上 3 点的班.他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12 点 10 分就停了.他上足发条后忘了拨针，匆匆离家，到工厂一看离上班时间还有 10 分钟.8
43、 小时工作后夜里 11 点下班，李叔叔回到家里，一看钟才 9 点整.假定他上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多长时间？习题八解答1.解：在 6 点整时，分针落后时针 5630（个）格，到分针与时针2.解：在 2 点整时，分针落后时针 5210（个）格，到分针与时针重合时，分针要比时针多走 10 个格，所以到达这一时刻所用的时间为：10时刻.现在看 3 点整时，分针落后时针 5315（个）格，到分针与时针重合针时，分针要比时针多走 15 个格，这样到达这一时刻所用的时间为：的时间为：3.解：在 2 点整时，分针落后时针 52=10（个）格，当分针与时针第一次成直角时，分针超过时针 60（90360）=15（个）格，因此在这段时间内分针要比时针多走10+15=25（个）格，所以到达这一时刻所用的时间为：
