1、18 第 2 讲教师版满分晋级新课标剖析当前形势 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查 515 分要求层次内容A B C 具体要求函数的概念与表示 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如：图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.高考要求映射 了解映射的概念北京高考解读2008 年 2009 年 2010 年（新课标） 2
2、011 年（新课标） 2012 年(新课标 )第 2 讲函数 1 级集合函数 2 级函数及其表示函数 3 级函数的单调性函数及其表示第 2 题 5 分第 13 题 5 分第 3 题 5 分第 13 题 5 分第 6 题 5 分第 14 题 5 分第 6 题 5 分第 8 题 5 分第 13 题 5 分第 14 题 5 分函数引入函数这个词大家并不陌生，因为初中已经非常熟悉这个词如一次函数、二次函数、反比例函数其实这些你们学过的函数只是我们后面要学的基本初等函数中的幂函数的一部分其实有非常广阔的函数是你们都没有学过的高中一共要学习五种函数，但是作要求的一般只有三种：指数函数、对数函数、三角函数（
3、另外两种是：幂函数与反三角函数） 我们会从另外一个角度来了解什么是函数先来看一个概念：什么是映射？映射是函数的发端2.1 映射考点 1：映射的概念知识点睛1映射的概念：设 是两个给定的非空集合，如果按照某种对应法则 ，对 内任意一个元素 ，AB， fAx在 中有唯一确定的元素 与 对应，则称 为集合 到集合 的映射记作yxfB称 是 在映射 的作用下的象， 称做 的原象:ffxy例：给 找到一个对应法则，形成 的一个映射AAB BA 432321法则： 1例：给 找到一个对应法则，形成 的一个映射A BA 01 -10法则：平方；绝对值20 第 2 讲教师版映射必然具有的两个最本质的属性：任意
4、； 唯一；下面看看这两个属性分别是什么意思：假设现在一个村要种种子，需要两个东西，第一是种子，第二是坑，把种子往坑里扔 加加A B任意：任意一个种子都不能被浪费，一定要找到对应的坑；唯一：每个种子都只能扔到唯一一个坑里，即 中每个元素 ，只能对应 中的一个元素AaB这两条属性是映射的根本属性，只要符合这两个，它就是映射只要不符合这两个中的任何一个，它就不是映射如： A：平面上所有的圆；B ：平面上所有的点平面上所有的圆，对应到它们的圆心答案：是映射，每个圆都有圆心任意，每个圆都只有一个圆心唯一A，B：我们班所有的同学每个同学对应他左边的同学答案：不是；靠左边墙上的同学没有对应违反了任意性把世界
5、上所有的男性对应到他们的儿子答案：不是；把世界上所有的人对应到他的父亲答案：是每个同学对应到他追的人答案：不是 ，每个数对应到它的平方答案：是ABZ ， 每个数对应到它的平方根答案：不是；|0xR ， 每个数对应到它的立方根答案：是|映射的两个允许：允许多对一（不允许一对多） ，即允许多个种子放到一个坑里，一个坑里有多个种子，如实数集中的平方对应就构成了一个映射允许 中元素没有原象，即允许有些坑是空着的，上面例子中的负整数就没有原象，以及非平方B数就没有原象练习 1：下列对应中有几个是映射？ abc e f g g fecba abc e fabc e f g 答案 ：2 个，第一个与第二个是
6、映射拓展内容单射与满射单射：甲村长上任，如果增加一个规定：要求不同的种子只能塞到不同的坑里去，即不允许多对一的发生，这时的映射就叫做单射为了满足这个规定就要拼命挖坑，所以构成单射的条件直观来说就是集合 要足够大B满射：换届后，乙村长上任，发现甲村长的规定浪费了太多人力，为了改变这种情况，他废除上一个规定，增加规定：不允许有空着的坑，这样的映射就叫做满射即 中每个元素B都有原象，当然原象可以不止一个，即一个坑中可以有不止一个种子构成满射需要：坑不能比种子多一一映射：丙村长上任后，想综合前两位村长之长，并考虑要让效率达到最高，于是要求甲、乙村长的规定需要同时满足，即一个萝卜一个坑，这样的映射叫双射
7、，也叫一一映射2一一映射：如果 是集合 到集合 的映射，并且对于集合 中的任一元素，在集合 中都有且fABBA只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合到集合 的一一映射AB例：平面上所有圆 平面上所有的点，对应法则：圆对应到它们的圆心；是映射，满射；22 第 2 讲教师版北京市每个参加数学中考且获得成绩的考生 北京所有考生中考的数学成绩 ，对应法则：每个考生对应到它的中考数学成绩；是映射，一般来说不是单射，是满射；地球上每个人 男、女，对应法则：每个人对应到他的性别，是映射，是满射 ，对应法则：乘 是映射，且是一一映射；R2 ，对应法则：加 1是映射
8、，是单射，不是满射N ，对应法则：加 1是映射，且是一一映射Z经典精讲【例 1】 下面从集合 到集合 的对应为映射的是（ ）PQA ， ，对应法则 求平方根034， ， 2302， ， ， ， :fB ， ，对应法则 取倒数1， ， 1， ， :fC ， ，对应法则 画三角形的外接圆PM平 面 内 的 三 角 形 M平 面 内 的 圆 :fD以上对应都不是映射 已知集合 到 的映射 ，那么集合 中元素 2 在 中的象是（ ）A21fxy ABA B C D2568【解析】 B映射中的集合 与 没有限制，比如可以建立人与性别的映射关系，可以建立圆与点的对应关系，A还可以建立非数集到数集的对应关系
9、，如每个人对应到他的身高平面上每个点对应它到原点的距离但数学研究的主要是数集，给集合 加上数集的限制，就是函数，所以函数是从数集到数集的映AB，射2.2 函数的概念与三要素考点 2：函数的概念知识点睛函数的概念：设集合 是非空的数集 ，对于 中的任意实数 ，按照确定的对应法则 ，都有唯一确AAxf定的实数值 与它对应，则这种对应关系叫做集合 上的一个函数记作y A()yfx，其中， 叫做自变量，自变量的取值范围（数集 ）叫做这个函数的定义域；与 的值x相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域()|yfx函数 也常写作函数 或函数 ()ff()f对于函数概念理解，需要注意以下几点：对
10、于一个函数来说， 为自变量，它的取值集合称为定义域； 叫因变量（初中的习惯叫法） ，也x y叫函数值（高中的习惯叫法） ，它的取值集合叫值域， 是对应法则，这三个因素合起来称作函数f的三要素每个函数都具有这样的三要素例： ，定义域为 ，值域为 ；2yxR0)，定义域为 ，值域为 11)， )，高中引入了函数的新的记法 ，表示 经过 作用得到 ，将初中时的 写成了(yfxfy2yx，表示 对 作用得到 ，前面说过字母都是浮云再比如 ，自变量是 ，对2()fxfx2 ()1gtt应法则叫 再如 ，自变量为 g34()hrr用这种表达有什么好处呢？能准确表达在每个地方的取值如： ， ， ， ；2()
11、fx(1)f(2)f(2)4f ，则 ， 01这就完全取代了初中时“当 ？时， ？”的写法xy练习 2：已知函数 2()f _， _；1(4)f当 时， _， _0aa(1)fa答案 ：3， ； ， 5221经典精讲24 第 2 讲教师版【例 2】 已知函数 ，求 ； 若 ，求 21()xf， ， ()f()3fa【解析】 ；()f 3a如果一个函数没有标明定义域，默认定义域为使得解析式有意义的自变量全体构成的集合如 ，默认定义域为 ； ，默认定义域为 或写成1()fx|0x()1fx(1，定义域与值域都是集合，可以写成区间形式目前定义域的自然约束有：分|母不为零，偶次根式下非负，零的零次方无
12、意义【例 3】 求下列函数的定义域 ； ； ； ；32yx1xy21xy()1231fxx ； 01()()f ()f【解析】 ； ； ； ；|x |x且 |2x |32x ； |23且 |21 且*初高衔接解一元二次不等式求定义域问题中会遇到很多解一元二次不等式的问题，这部分内容初中有所提及，但有些同学掌握的还不太好，可以在这里再复习巩固一下高中解一元二次不等式多借助一元二次函数的图象，知识点如下：解一元二次不等式通常先将不等式化为 或 的形式，然后求出20axbc20 ()axbca对应方程的根（若有） ，再结合一元二次函数的图象写出不等式的解集：大于 时两根之外，小于 时0两根之间一元二
13、次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以 为例）：0a【例题】解下列一元二次不等式 ； ； ；240x261380x2(1)3(1)xx ； 5【解析】 ；()(7)， ， ；32， ；1， ；R ；【练习】解下列一元二次不等式 ； ； 230x240x210x 22331xx【解析】 ； ； 1()， ， ()， R【拓展】若 ，则不等式 的解集是_01a1()0xa【解析】 ，*考点 3：同一函数判别式 24bac000二次函数 2yxc的图象(0)a x 2x1Oy x x 1=x2OyxO xy一元二次方程 20axbc的根()有两相异实根 12， ，24ba
14、c12x有两相等实根 12bxa没有实根2xc或|2x1|R一元二次不等式的解集 2ab1| 26 第 2 讲教师版知识点睛定义域、值域与对应法则之间的关系：虽然它们合称函数的三要素，但这三要素之间也存在一些相生而不相克的关系判断：已知函数的定义域与值域，你能确定它们的对应法则吗？不能，如定义域和值域都是 ，能够构造很多函数满足要求，如 ， ， ， ，(0)， x22x已知对应法则与值域，能否确定函数的定义域？不能；如对应法则为 ，值域为 ，定义域可以为 ，2x14， 1211， ， ， ， ， ， ， ，已知定义域与对应法则，能否确定值域？可以所以判断两个函数是否相同，只需要判断定义域与对应
15、法则，它们就可以确定一个函数，值域是被确定的这也是为什么写函数时，只需要写明解析式与定义域同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数经典精讲【例 4】 下列各组函数中，表示同一函数的有 _ 与 ； 与 ；1yxyx3 与 ； 与 ；2()2yx 与 ；yx0x， ， 与 ； 与121y1yx21yx【解析】 考点 4：复合函数及其定义域知识点睛前面我们都是直接给出一个函数的解析式，你去求解，函数的形成过程就是从定义域中拿出一个元素，经过法则搅动一下这相当于对于原材料，经过一个加工厂加工一下，得到一个产品，即函数值但有些时候，一个产品需要经过不止一个加
16、工厂，得到一个最终产品如下： 加g f加2 931 CBA把 叫做 和 的一个复合Cfg， ， 先被 作用，再被 作用，记为 ()2fx2()xfg2()gfx这样就可以拿一些简单的函数生成一些复杂的函数注意 与 不是同一个函数，如上面例题中， gff 2f再比如你爸爸的妈妈和妈妈的爸爸不可能是同一个人但有时， 与 是相同的，如 ()fx()gf ()1()fxgx，复合函数的概念：如果 是 的函数，记作 ， 是 的函数，记为 ，且 的值域与 的定义域的yu()yfu()u()()fu交集非空，则通过 确定了 是 的函数 ，这时 叫做 的复合函数，其中 叫做中间变x()yfgxyx量， 叫做外
17、层函数， 叫做内层函数()fg 只有当外层函数 的定义域与内层函数 的值域的交集非空时才能构成复合函数 ()f ()fgx 理解函数符号 ，及 与 的区别x()fx()f 复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的值域与定义域共同决定的注意复合函数的定义域：， ，则 ，但定义域为 ； ，定义域为2()fx()gx()fgx|0x ()gfxR经典精讲【例 5】 已知 ， ，求 ， ， 与 21fx21gx()fx()fg()fx()g 已知 与 分别由下表给出： 341234()f ()那么 ， ， ， ；22fg2gfg满足 的 的值是fgxx【解析】 ；242()1；214f x；2
18、gxfx；()2()43 ； 或 ；4， ， ， 128 第 2 讲教师版是不是一个复合函数呢？是的，是先加 再被 作用；同理， 也是先 再 ，也(1)fx 1f()fxf是复合函数下面我们来看看复合函数的定义域：例：若 的定义域为 ，问 的定义域为_f1， ()fx分析：注意 与 不是同一个函数，先来分析一下 是什么过程()fx)f(1)fx是从 的过程， 只是其中 的一个过程：ACfBC A B C f+1的定义域是 ， 的定义域是 ， ，故 ()fx1， (1)fxA1B20A，若 的定义域为 ，问 的定义域为_1f， f分析： A B C f+1复合函数，于是 ， ，故 的定义域为 ，
19、 ，(1)fx1A， :fBfB1A故 02B， 的定义域为 ，问 的定义域是_()fx， (2)fx分析： -1,2xx+1A2A1 B C f这是一个已知 ，求 的过程，之间的联系纽带是 的定义域 ， ，故 ，12A()fxB1A02B，又 ，故 2B20，理解了这个过程之后，总结出两句话，做题时就不用画图了：定义域永远是自变量的取值范围，自变量一般都用 表示；x如 的定义域为 是指 ；(1)fx1， 1x， 的作用区域保持不变，即 后面那个大括号的范围保持不变f的定义域为 时，函数定义域与 的作用区域一致f， f而 的定义域为 ，则 ，从而 ，此时 的作用区域即为 ，()x， x， 10
20、2x， f02，这是 的定义域f【例 6】 若 的定义域为 ，求 的定义域；()fx(1,3(2)f 若 的定义域是 ，求 的定义域；2x 若 的定义域是 ，求 的定义域f ,53f【解析】 (1, ；35 2)(,，考点 5：函数的值域知识点睛1部分常见函数的值域：常见函数的值域问题都可以借助函数的草图解决一次函数： ，图象为一条直线(0)ykxb不加限制时，定义域为 ，值域为 R若定义域发生限制， ， ，值域为 ，就是把端点值代入2131x， 53，若是取不到端点，如 ， ，结合图象易知答案为 y(2， )，二次函数： ，图象为抛物线0)axbc进入高中后，要习惯性把 写上若定义域无限制，
21、值域为从最小值到正无穷（ ）或从负无穷到最大值 0a(0)a若定义域有限制，需要判断对称轴是否在区间内，并考虑端点离对称轴的远近，结合图象得到结果反比例函数： （ ） ，图象为双曲线kyx0，图象在第一、三象限： ，图象在第二、四象限：0k如果定义域无其它限制，值域为 ；()(0)， ，如果定义域有其它限制，结合图象得到结果遇到这三种函数的值域问题，我们应该首先画这些函数的草图，然后再看看函数对应的是图象的哪一段，最后得到所求函数的值域2简单复合函数的值域：先求定义域，再自内而外一层一层求值域练习 3：求函数 的值域2()1fx答案 ：由两层函数复合，内层函数 ，外层函数 ，定义域为 ，21u
22、xyu1，30 第 2 讲教师版于是 ， 01u， y，函数的值域问题是一个不断延伸的问题，随着学习的知识越来越多，解决值域的方法也越来越多这里我们只介绍利用图象法解决一些最基本、最简单的函数的值域问题，以及由此得到的这些常见函数简单复合后的值域问题后面学习了新的函数后，我们会继续求那些新的函数的值域，秋季时，我们会系统介绍一些求函数值域的方法，包括分离常数法与换元法，并继续解决一些更复杂的函数的值域问题等我们高二有了更强大的工具导数后，我们还会求更多复杂函数的值域经典精讲【铺垫】求下列函数的值域： ， ； ， ； ；21yx3， 21yx3x， 13yx， ，【解析】 ； ； 7,4， 14
23、，【例 7】 求下列函数的值域 ， ； ； ；21yx1， 12yx， 21yx ； 38x【解析】 ；， ；(12)， ；， 0， 3，【拓展】 2()45fxx【解析】 1，回忆集合的三种表示方法，引出函数的三种对应的表示方法：（集合的三种表示法的优缺点前面已经介绍过，讲完函数的三种表示法后再来总结函数的三种表示法的优缺点，现在先不提）集合的表示方法 列举法 描述法 图示法优点 简单、直观 严谨 直观缺点 不能表示复杂的集合 抽象 很难表示规则函数的表示方法 列表法 解析法 图象法优点 不需要计算、直观 简明概括，易求值 直观，能反映大趋势缺点 不能表示复杂的函数 不直观 不够精细考点 6
24、：函数的表示法知识点睛函数的三种表示法 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量 的值和它对应的函数值 构成的有序实数x()fx对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数 的图象，即()xf， y|()FPyfxA， ，这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如 26yx
25、优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值对于函数的表示法，有一些需要注意的东西：列表法：生活中经常见到这种方法，如银行利率表，列车时刻表等但不是所有的函数都能用列表法表示出来如当一个函数的定义域含有的元素个数无限时，很难用列表法表示解析法：中学遇到的函数大多用解析法表示，但也不是所有的函数都有对应的解析式（或者说有些函数用解析式表示非常不容易） ，如，给出一条曲线，使之满足每个 都对应一个 ，但xy想用解析式表示出这个函数就非常困难图象法：不是所有函数都能画出图象32 第 2 讲教师版比如：狄利克莱函数（Dirichlet ） 0()1
26、xDRQ， 再比如：定义在正有理数集合上的一个函数： ，其中 ， ， ，()fpqxp()1， 23f它们的图象都是一些错落的散点21f函数概念的发展莱布尼茨（德，1646-1716） 用函数一词表示变量 的幂，x23x， ，雅各布 伯努利（瑞士，1654-1705） 由 和常量构成的任一式子都可称之为关于 的函数x欧拉（1707-1783）把用解析式表示的，包括四则运算、幂、开方、三角、指对运算所构成的式子都叫做解析函数；把在 平面上任xy意画出的曲线的函数称为随意函数柯西（法，1789-1857）在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值也随之而确定时，最初的变
27、数称之为自变数，其他各变数则称为函数黎曼（德，1826-1866）对于 的每一个值， 总有完全确定了的值与之对应，而xy不论建立 之间的对应方法如何，均将 称为 的函， yx数康托尔的集合论之后（1870s） 用映射观点定义函数， 可以不是数xy，避免“对应”这个不明确概念(1960s) 用有序对集来定义函数初中所学的函数比较看重有明确的解析式，与柯西的定义比较接近而高中所学的函数从本质上来说是一个对应关系，更接近黎曼的定义黎曼之后的函数已知不是高中意义下的函数了练习 4：赵小雪同学开了一个小店，里面有 件商品，每个商品的定价都为 元， 表示卖出商品的52x数量， 表示销售收入，用三种方法表示
28、 关于 的函数y yx答案 ：列表法： x012345y246810解析法：；201345x， ， ， ， ， ，图象法：yxO求函数解析式我们在预习时只介绍代入法、配凑法、换元法，求解析式需要注意定义域初中学过一种待定系数法求已知类型的函数，我们放在例 9 后面选讲老师可以用下面的题给学生讲解求解析式的方法，再让学生去做例 9已知 ，求 ， ；()21fx()fx2(1)f代入法： 3x，已知 ，求 ； ff配凑法： ，于是 ；22()()()xx2()fx换元法：令 ，则 ， 1t1t1fttt2()fx已知 ，求 2423ff令 ，则 ，故 tx 2()()346fttt2()46fx注
29、意定义域： 是有限制的， ，故求出的 是有定义域的，定义域为 ()fx1)，经典精讲【例 8】 求下列函数解析式 已知 ，求 ；2()1fx(1)fx 已知 ，求 ；3f 已知 ，求 f【解析】 2(1)4fxx 3 2(0)f待定系数法已知函数为一次、二次、反比例函数等形式的函数，求函数的解析式，可以先设出函数的形式，再求解如：已知二次函数 满足 ，求()fx(1)30(2)1ff，fx解析：法一：设为两根式方程：设 ，由 ，故 ()1)(3fax(2)1fa()()fx法二：设为顶点式方程：由题意知， 是 的对称轴，设 ， ，2f 2()1fx01fa34 第 2 讲教师版故 ；22()1
30、43fxx法二：设为一般式方程：设 ，有 ，解得 ，故 2()fxabc09421abc143abc2()43fx求函数解析式还有一种方法是方程组法，这会放到同步再讲已知函数 的定义域为 ，求函数 的值域()21fx2， (2)fxf【解析】 2，备注：看函数先看定义域，否则我们会在函数问题以及以后的导数问题中不停地掉到陷阱里我们要从一开始就强调函数的定义域问题如果你没有心痛过，说明你没有在乎过我说的是忘记定义域！实战演练【演练 1】 已知集合 ， ，映射 ，使 中任一元素 与 中AN21ZBan， :fABaB元素 对应，则与 中元素 对应的 中元素是（ ）21a7A B C D359【解析
31、】 D【演练 2】 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A 和 B 和1yx2x0yx1C 和 D 和2f21g2f2xg【解析】 D【演练 3】 已知函数 的值域为 ，则它的定义域为 34fx105，【解析】 2，【演练 4】 已知 的定义域为 ，则 的定义域为（ ） ()fx2)， (|)fxA B C D1， 1， ， 2)，【解析】 C【演练 5】 已知 ，则 23fxf 设 ，则 _()g()gx【解析】 3)7f (21x【演练 6】 已知 ，若 ，求 20()xf且()10fa【解析】 3a概念要点回顾1函数的概念：设集合 是非空的数集，对于 中的_ 实数 ，按照确定的对应法则 ，都有AAxf_的实数值 与它对应，则这种对应关系叫做集合 上的一个函数记作 y ()yxA，2函数的三要素是：_、_与_，其中_与_一致的函数就称为同一函数；3函数的表示方法有_、_与_4对于复合函数 ，内层函数是_，外层函数是_，求复合函数的值域需要先求()fgx_，再_一层一层求值域答案：1任意（任一） 、唯一确定；2定义域、值域、对应法则，定义域与对应法则；3列表法、解析法、图象法；4 ， ，定义域，自内而外()gxf
