高一秋季第9讲.正弦型函数的图象与性质.初稿.目标班.doc

1、 满分晋级新课标剖析当前形势 三角函数在近五年北京卷 (理)考查 1118 分要求层次内容A B C具体要求周期函数的定义、三角函数的周期性 了解三角函数的周期性函数 ， ，sinyxcosyx的图象和性质ta 能画出 、 、 的sinyxcosyxtanyx图象；借助图象理解正弦函数、余弦函数在 ，正切函数在 上的性02， 2,质高考要求函数 的图象sinyAx 结合具体实例，了解 的sinyAx实际意义；能借助计算器或计算机画出 的图象，观察参数 A、sinyAx、 对函数图象变化的影响2009 年 2010 年（新课标） 2011 年（新课标） 2012 年（新课标） 2013 年（新课

2、标）北京高考解读 第 5 题 5 分第 15 题6 分 第 15 题 13 分 第 15 题 13 分 第 15 题 13 分第 3 题 5 分第 15 题 13 分第 9 讲 正弦型函数的图象与性质三角函数 5 级任意角的三角函数三角函数 6 级正弦型函数的图象与性质三角函数 7 级和差角公式与二倍角公式2 第 9 讲目标班教师版本讲的重点是正弦型函数，正弦型函数的性质的基础是正弦函数的图象与性质，对正弦曲线的直观认识是预习一讲的重点，也是需要非常熟练掌握的基本内容；其次，正弦型函数是由正弦函数通过平移与伸缩得到的，这一讲会介绍给定一个正弦型函数的图象（一部分） ，如何确定各个参数；综合应用

3、涉及到了三角函数的对称及与其它函数的综合；最后，目标班会对正切函数进行研究9.1 正弦型函数考点 1：正弦型函数的图象与性质知识点睛1正弦函数 sinyx正弦函数 sinyx图象O y x232 2232-2 -11定义域 R值域 ，最小正周期 对称轴 直线 2xkZ对称性对称中心 0，奇偶性 奇函数单调增区间 2kk，性质单调性单调减区间 3Z，2余弦函数 cosyx余弦函数 cosyx图象O x232 2232-2-11定义域 R值域 ,最小正周期 2对称轴 直线 xkZ对称性 对称中心 0，奇偶性 偶函数单调增区间 2k，性质单调性 单调减区间 Z，3函数 的性质sinyAx 周期性：函

4、数 （其中 为常数，且 ）的周期仅与自变量的系siyxA、 0A、数有关最小正周期为 2T 值域： ， 奇偶性：当 时，函数 为奇函数； kZsinyx当 时，函数 为偶函数2A 单调区间：求形如 或 （其中 ， ）的函数的单调区sinyAxcos0A间可以通过图象的直观性求解，或根据解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“ ”视为一个“整体” 时，所列不等式的方向与0、 的单调区间对应的不等式的方向相同（反） sixRsyR 对称轴方程： ，其中 00 2kZ 对称中心： ，其中 ，预习时的三角函数的图象性质及简单运用讲次重点讲解了对正弦曲线与余弦曲线的直观认识，以及正弦型函数的性质问题

5、，下面的这些题涉及到的知识点都是暑期预习时出现过的，如果学校进度较慢，可以结合下面的题巩固回顾一下这些基本的知识点练习 1：求下列函数的值域： ； ；2sin63yx， ， cos346yx， ， ； 12sini1yx【解析】 ； ； ； ， ， 0， 5，练习 2：把下列三角函数值从小到大排列起来； 4325sin,cos,in,cos514 第 9 讲目标班教师版【解析】 4sini,55cosin,432siin,55cosin12 在区间 内是增函数，yx02， i,14即 532cos已知函数 3sin26xf 用五点作图法画出函数 在长度为一个周期的闭区间上的图象；()yf 叙述

6、由 的图象如何变换为 的图象siyxfx【解析】 347310326x0 223sin00 xyO 5432 -4-3-2-11234方法一：先平移后伸缩： sinyx6 横 坐 标 向 右 平 移 个 单 位 sin6yx2 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 倍纵 坐 标 不 变 1sin26yx3 纵 坐 标 伸 长 到 原 来 的 倍横 坐 标 不 变方法二：先伸缩后平移： sinyx2 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 倍纵 坐 标 不 变 1sin2yx3 横 坐 标 向 右 平 移 个 单 位纵 坐 标 不 变 si6 纵 坐 标 伸 长 到 原 来 的 倍横 坐 标 不 变

7、1n2yx五点作图法也是暑期预习的内容，这里可以借助五点作图法作出正弦型函数的图象，再看看如果通过图象变换得到注意所有变换都针对 本身，所以先平移后伸缩与先伸缩x后平移是有区别的先伸缩后平移比较容易出错练习 6：把函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得图象上所有点的横sinyxR6坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数为_；如果先将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再把图象i上所有的点向左平移 个单位长度，则得到的图象所表示的函数为6_【解析】 ， 1sin2yx1sin2yx经典精讲【例 3】 下图是函数 在区间 上的图象为了得

8、到这个函数的sinyAxR， 56，图象，只要将 的图象上所有的点（ ）356-6O-11xyA向左平移 个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变12B向左平移 个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变3C向左平移 个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变6D向左平移 个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变212 第 9 讲目标班教师版 （2012 浙江理 4）把函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵cos21yx 2坐标不变） ，然后向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到的图象是（ 1） 为得到函

9、数 的图象，只需将函数 的图象（ ）cos3yxsinyxA向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度6 6C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度5 5 （目标班专用）为得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ 1cos23yx 1sin2yx）A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度535C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度66【解析】 A由图象知， ， ，解得 ；故 1A22sin(2)yx， ，从而 573627sin173()6kZ故 此函数的解析式为 故选 Ak()Zsin2yx也可以直接通过图象得到变换过程 A21 1cos2cos1+cos+1yxyxyx

10、 横 坐 标 伸 长 倍纵 坐 标 不 变向 左 平 移 个 单 位 长 度 向 下 平 移 个 单 位 长 度 C，故将正弦函数的图象向左平移 个单位5cossinsin3326yxxx 56长度即可 A 111515cossinsinsin23232623yxxxx，只需将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象y cosy【例 4】 （目标班专用）已知函数 （ ， ）为偶函数，且函2sin6fxx00数 图象的两相邻对称轴间的距离为 yfx 求 的值；8 将函数 的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原yfx6来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，求 的单

11、调递减区间ygx()gx【解析】 方法一： 为偶函数，必有 ，即 f +2kZ23kZ又因为 ，故 023方法二： 为偶函数，必有 ，即 ，即fx0f0sin26f， ，即 又因为 ，故sin16 +62kZ23kZ023所以 ()sincos2fxxx由题意得 ，所以 故 2 ()2cosfx因此 cos84f 将 的图象向右平移 个单位后，得到 的图象，再将所得图象横坐标伸长到()x66fx原来的 倍，纵坐标不变，得到 的图象4f所以 ()2cos2cos4663xxxgf当 （ ） ，23kk Z即 （ ）时， 单调递减，8x kgx因此 的单调递减区间为 （ ） ()g2843， kZ

12、9.2 综合应用14 第 9 讲目标班教师版考点 4：三角函数图象及性质的综合应用例 5 研究三角函数自身的对称变换后的图象问题，例 6 是研究三角函数与其它函数的图象的位置关系与交点个数问题经典精讲【例 5】 设函数 ，则 （ ）()sin3fxxRfxA在区间 上是增函数 B在区间 上是减函数276， 2，C在区间 上是增函数 D在区间 上是减函数84， 536， 函数 的值域是（ ）11sinco|sinco|22fxxxA B C D、， 12， 21， 函数 ， 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点，()sinifxx0,yk则 取值范围是 k （目标班专用）方程 在区间 内解的个数

13、是（ ）i2sin、A B C D134【解析】 A利用图象易得：函数在 （ ）上是单调递增；6k， kZ在 （ ）上是单调递减263k， Z B当 时， ；sincox112()sinco)(sinco)sin122fxxx、当 时， ；i i if 、由此知 的值域为 ()fx12、 13k，由函数图象可知 的取值范围为 sin0()fx k13k C令 ， ，在同一坐标系内作出两个函数在 内的图象si2ysiy (0,2)312 xy2sinxsin2xyxO【例 6】 （2010 浙江理 9）设函数 ，则在下列区间中函数 不存在零4sin21fxf点的是（ ）A B C D42， 0，

14、 0， 24， 方程 的根的个数是 _lgsinx （目标班专用）函数 的图象与函数 （ ）的图象所有ln1yx2cosyx 交点的横坐标之和等于（ ）A8 B6 C4 D2【解析】 A；函数 的零点与方程 的解对应，分别作出 与 的图象()fxsin(21)xsin(21)yx4xy知 A 正确 ；6分别作出函数 与 的图象，结合图象分析知根的个数为 ；lgyxsinx 6 -1 1Oyx B；分别作出两个函数的图象，结合草图知，这两个函数共有 个交点，且两个函数都关于6对称，故交点也两两关于 对称，故所有交点的横坐标之和为 1x1x6x=1O y x正切函数的图象问题比较少见，与正弦型函数

15、的主要区别在于定义域的不连续上，我们将正切函数作为目标班专用的考点，对于提高班与尖子班不再作介绍16 第 9 讲目标班教师版9.3 正切函数(目标班专用)知识点睛正切函数 tanyx正切函数 tanyx图象 -/2 /2 3/2-3/2 - Oyx定义域 |, 2xkZ值域 R最小正周期对称性 对称中心 0 2k，奇偶性 奇函数性质单调性 单调增区间 ,kkZ练习 ：求下列不等式 的 的取值范围tan21x【解析】 在 内， ，、4=所以不等式 的解集由不等式 确定，tax 24kxkZ解得 2428kkZ所以不等式的解集为 428kx 、经典精讲【例 7】 若将函数 的图象向右平移 个单位长

16、度后，与函数tan04yx6的图象重合，则 的最小值为（ ）ta6yxA B C D1141312 （2010 江苏 10）设定义在区间 上的函数 的图象与 的图象的0， 6cosyx5tanyx交点为 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，直线 与函数 的图象交于点 ，Px1P1i2P则线段 的长为 12 （2008 江西理 6）函数 在区间 内的图象是（ tansitansiyxx32，） 2 322 32 OOO xyxyxy 322 -2xyO -2322 22 DCBA【解析】 D函数 的图象向右平移 个单位长度后的函数解析式为tan04yx6依题意有 ttan64x 64kZ，解得 又

17、，所以 的最小值为 12kZ， 012 3由 消 得 整理得 ，6cos5tanyxy6cos5tanx26cos5inx ，所以 或 （舍去）2ii03i2si30233sin2x故点 的纵坐标为 所以 2P2y12P D当 时， ，此时 ，又 ，tansixsinxsin1cossi 0coxxcos0x，故 ， 当 时， ，此时 ，1co0i032， tai 2tanyi2x，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数 ，sin2yx18 第 9 讲目标班教师版， 的图象如下，结果发现恰有一位同学作出的图象有错误，那sin6yxsin3yx么有错误的图象是（ ）

18、A. xB. x C. x D. x【解析】 C考虑周期最小的函数 ，四个图象的周期都正确；sin2yx再考虑对称轴，C 中 的对称轴与另一个函数的对称轴有重合，这不可能，故 C 错误实战演练【演练 1】 （2010 崇文一模文 5）将函数 的图象向右平移 个单位后，其图象的一条2sinyx6对称轴方程为（ ）A B C D3x6x51712【解析】 C平移后的函数解析式为 检验得 2sinsin63yxx521f【演练 2】将函数 图象上每一个点的横坐标扩大为原来的 倍，所得图象所对()2sin3fxx应的函数解析式为 ；若将 的图象沿 轴向左平移 个单位（ ） ，fxxm0所得函数的图象关

19、于 轴对称，则 的最小值为 ym【解析】 ， 2sin3yx12函数 的对称轴为： ，解得 ()if 232xk21kx所以向左平移 后对称轴为 轴12y【演练 3】若函数 对任意的 都有 ，则 2sinfxxx6fxfx6f【解析】 2依题意有直线 是 的对称轴所以 6f 2f【演练 4】已知函数 的图象如图所示，则 ()2sinfxx71f【解析】 0由图象知 ， ，所以 32T233777sinsin114f 304f【演练 5】函数 的一个单调增区间是（ ）sinyxA B C D4， 34， 32， 32，【解析】 C如图所示，由 的图象可知， 是它的一个单调增区间sinyx，【演练

20、 6】已知函数 的最小正周期为 21sin042fxx 求 的值 将函数 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数yf 12的图象，求函数 在区间 上的最小值ygxgx016、【解析】 由于 ，依题意得 ，所以 21sin42fx21 由知 ，所以 ifsin42gxfx20 第 9 讲目标班教师版当 时， ，016x 42x 所以 因此 ，2sin1 12gx 故 在区间 内的最小值为 gx06、大千世界 若函数 在区间 上至少出现 50 次最大值，则 的最小值是（ ）sin0yx1、 A B C D9819729210 若函数 在区间 上至少出现 50 次最小值，则 的最小值是cos()，_【解析】 B ；要求 的最小值，即求周期 的最大值，从 到离 最近的最大值为 ，故 上至T014T0，少得有 个周期才能满足条件，即 149197297442T