1、 满分晋级新课标剖析当前形势 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查 510 分要求层次 具体要求内容A B C对数的概念及其运算性质 理解对数的概念及其运算性质；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用换底公式 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数对数函数的概念及其性质 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点高考要求指数函数 与对数函xya数 互为反函数（log且 ）01 知道指数函数 与对数函
2、数 互xyalogayx为反函数（ 且 ）012009 年 2010 年（新课标） 2011 年（新课标） 2012 年（新课标） 2013 年（新课标）北京高考解读 第 3 题 5 分第 13 题 5 分第 6 题 5 分第 14 题 5 分第 6 题 5 分第 13 题 5 分 第 14 题 5 分 第 5 题 5 分第 6 讲 对数函数与相关复合函数函数 14 级指数函数与相关复合函数函数 15 级对数函数与相关复合函数函数 16 级集合与简易逻辑62 第 6 讲教师版6.1 对数与对数运算考点 1：对数的性质知识点睛1对数的概念一般地，如果 ，且 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作
3、，其中baN(01)abaNlogabN叫做对数的底数， 叫做真数a关系式指数式 b底数 (0)， 指数 ()R幂（值） ()R对数式 loga底数 1a， 对数 b真数2对数恒等式与对数的性质对数恒等式： logaN对数 （ 且 ）具有下列性质：la01 零和负数没有对数，即 ；0 1 的对数为零，即 ；la 底的对数等于 1，即 og3常用对数与自然对数：对数 （ 且 ） ，laN01a 当 时，叫做常用对数，记做 ；0al 当 时，叫做自然对数，记做 为无理数， enee2.718对数式与指数式的关系及相互转换 且(a0且a1)且且且 loga N=bN0ab=N利用对数式与指数式这一关
4、系，可以把指数与对数进行互化，从而使问题顺利地得到解决，求某些对数值就可把它转化为指数问题暑假知识回顾求下列各式中的 x ； ； ；82log33log7425log()0x3log()1x【解析】 ； ； ； 14510经典精讲【例 1】 在对数式 中，实数 的取值范围是（ ）(2)log5abaA 或 B5a25C 或 D2334 若 ，则 （ ）43423lllogllogl0xyzxyzA B C D058891 设 ，则 _； 设 ， ，则2l3xlog2amlog3an_2mna【解析】 C ；C； ； ；192考点 2：对数的运算知识点睛1对数的运算性质：如果 ，且 ，那么：0a
5、10MN， ， ；（积的对数等于对数的和）log()loglaMNN推广 1212)ogllogkaaak ；（商的对数等于对数的差）lllaaa （正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数）og()R2换底公式： （ ） loglabN010baN， ， ， ，换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于 且不等于 的数为底的对数，以达1到计算、化简或证明的目的【教师备案】换底公式的一个重要应用： ；logl1mn还有一个比较常用的变形公式是： lgllogmnaabbm暑假知识回顾1下列各等式中，正确运用对数运算性质的是（ ）A B22lg(lg)llg0xyzxyzx2
6、2lg(lg)llg0xyzxyzx64 第 6 讲教师版C D2lglg2lg0xyzxyzx21lglglg02xyzxyzx【解析】 D2求下列各对数值 ； ； 41log813log2752log3l648ln1【解析】 ； ； 323已知 ， ，那么 用含 ， 的代数式表示为（ ）lnalb3log2abA B C Db ab【解析】 C4若 、 ，且 、 ， ，则（ ）a0ba1bloglabA B C 或 D 、 为一切非 的正数1ab1【解析】 C经典精讲【例 2】 求下列各值 ； ； 221log36l22(lg5)l5(lg) ； ；2l5l85lg03973l81 按照要
7、求填空 已知 ， ，则 _（用 ， 表示） lg2al3b12lo5ab 计算： _573o91l4【解析】 ； ； ； ；1 2ba ；36.2 对数函数知识点睛1对数函数：我们把函数 且 ）叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是log(0ayx1x，值域为实数集 (0)， R2对数函数的图象和性质：函数 （ 且 ）的图象特征和性质logayx1a 01a yO x(1,0)y=logax(1)x=1 (1, 0)yxx=1y=loga (01)定义域为 ()，值域为 R当 时， ，即函数图象过定点1x0y(10)，当 时， ；当 时，x0y 当 时， ；当 时，x0y1x0y图象性质
8、在 上是增函数()， 在 上是减函数()，【说明】对数函数 的底 越大，函数图象在 轴上方部分越偏居右侧，如图所示logayxx dc1baab1cd xyO考点 3：对数函数的图象经典精讲【例 3】 若函数 （ ， ）的图象过两点 和 ，则log()ayxb01a (10)， ()，_，a_b 设 且 ，函数 的图象恒过定点 ，则 的坐标是（ 01log2afxP）A B C D, ,11， 1，66 第 6 讲教师版 在同一坐标系中画出函数 ， ， 的图象，可能正确的是（ logayxxya） 1xOB1xyOA1xOC1xyOD【解析】 2， A； D；考点 4：对数值的大小比较知识点睛
9、 若两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数 为增函数； 为减函数）比1a01a较 若两对数的底数不同而真数相同，如 与 的比较logmyx2lognyx（ ， ， ， ） 0m1 0n1 当 时，当 时， ；当 时， nx2y01x12 当 时，当 时， ；当 时， 1 1 xyO (1mn)y=lognxylmx1 xyO(0mn1)y=lognxylogmx 如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较暑假知识回顾1比较大小（填“ ”， “ ”或“ ”） _ ； _ ；2013log2013log0.1log20.1log23 _ ； _ .5 .53.8【解析】 ； ；
10、 ； 2若 ， ， ，则( )lnalg6b0.2lo8cA B C Dcacabbca【解析】 A经典精讲【例 4】 （2012 北京西城高三一模理 6）若 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）2log3a3l2b4logcA B C Dcacbabca 若 ，则在 这四个数中最大的一个是_01lba， ， ， 若 ，则 的取值范围为_；l.8l.aa 若 ，则 的取值范围为_；og4 若 ，则 的取值范围为_；0.50.5ll3 若 ，则 的取值范围为_1a【解析】 D ；logb ；01a ； ；3 或 4【拓展】若 ，则下列关系不可能成立的是（ ）log2l01abab， ， ，A B
11、C D1001ba【解析】 D【备选】求不等式 的解集2log(583)x【解析】 不等式的解集为 1， ，【点评】 对于含有参数的两个对数值的大小比较，除了要注意挖掘隐含条件外，还需要对 进行讨a论不过对于这一类的大小比较问题，并不是底数为参数时，就一定要讨论，而应遵循的原则是：尽量回避讨论，尽量推迟讨论68 第 6 讲教师版考点 5：对数函数与指数函数的关系 反函数：当一个函数是一一映射时，可以把一个函数的因变量作为一个新函数的自变量时，而 这个函数的自变量作为新的函数的因变量我们称这两个函数互为反函数 对数函数 与指数函数 互为反函数，它们的图象关于直线 对称logayxxyayx【教师
12、备案】因为对数函数与指数函数密切相关，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处与指数函数相对照如：指数函数的值域为 ，变成了对数函数的定义域；而(0)，指数函数的定义域为实数集 ，则变成了对数函数的值域；同底的指数函数与对数函数R的图象关于直线 对称等yx1若函数 是函数 的反函数，且 ，则 （ ）()yfx(0,1)xya(2)1f()fxA B C D2log12x 12logxx【解析】 A；2已知函数 的图象过点 ，其反函数的图象过点 ，则 ， xyab14， 20， ab【解析】 31ab，经典精讲【例 5】 将 的图象关于直线 对称后，再向右平移一个单位所得图象表示的函数的解
13、2xyyx析式是（ ）A B C D2log12log12log1yx2log1yx 函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 的单调减区间()fx()x |()|f为（ ）A B C D (,1)1,)(0,11,2) 若函数 的反函数定义域为 ，则此函数的定义域为 2logyx3，【解析】 B ；C；暑假知识回顾知识点睛 2，6.3 与对数函数相关的复合函数的性质考点 6：对数函数相关的定义域、值域问题暑假知识回顾1 函数 的定义域是（ ）2logyxA B C D 3， 3， 4， 04，函数 的定义域为 12l()函数 的定义域为_13log8xy【解析】 D； ； (1,2 ；l
14、og，2求下列函数的值域 ； ； ； ；2log(1)yx2log(1)yx12logyx21log(3)yx 3【解析】 ； ； ； ； R0，R，(0)，经典精讲【例 6】 求函数 在 上的最值2114logl5yx24， 已知 ，求函数 的最大值与最小值3(9)f， 2()()yfxf 已知函数 在 上的最大值比最小值大 2，求 2l3axx2， a【解析】 ， max10yminy 时， 有最小值 ； 时， 有最大值 6xy1370 第 6 讲教师版点评：本题易错点容易忽略定义域 或 ；623【例 7】 已知函数 2()lg1)()1fxax若 的定义域为 ，求实数 的取值范围；fR若
15、 的值域为 ，求实数 的取值范围【解析】 的取值范围是 a513， ， 的取值范围是 ，考点 7：与对数函数有关的单调性问题暑假知识回顾1函数 的增区间为_；减区间为_21()log()fx【解析】 ， ；02函数 的增区间为_；减区间为_2()log(3)fxx【解析】 ， (313函数 的增区间为 ，减区间为 22l()yx【解析】 ， 1， 1，易错点：容易忽略函数的定义域由 解得函数 的定义域是230x212log(3)yx函数 是由对数函数 和二次函数|3x212log()yu复合而成，求其单调区间及值域时，应从 的单调性、值域入手，2u 23x并结合 的单调性统筹考虑12logyu
16、【方法总结】解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是注意其定义域；二是看底数是否大于 1，当底数未明确给出时，则应对底数 是否大于 1 进行讨论；三是运用复合函数a性质来判断其单调性经典精讲【例 8】 判断下列函数的单调性： 22()loglfxx23()logfxx 函数 在 上为增函数，则实数 的取值范围是_12(3)ym(1)， m【解析】 在 上单调递增，在 上单调递减， 0，在 上单调递增，在 上单调递减0， ， 1 考点 8：对数函数的综合问题经典精讲【例 9】 若定义在 的函数 单调递减，且 ，求不等式 的解0， ()fx123f8(log)2fx集 若函数 若 ，则实数
17、 的取值范围是_21log0()()fxx， ， ， ， ()faa 解下列不等式 ； 2loglx10.50.5log2log2xx【解析】 1 或 a 02， ， 2log31l5，若 满足 ， 满足 ，求 的值1x25x22log(1)5x12x【解析】 由题意知 11 15322log()x22l()x223log()xx2log(1)372 第 6 讲教师版所以 、 均满足方程 2log(1)x32t由函数图象法易知 有且只有一个交点，所以方程 有唯一实根32tyt， 32t所以 21l()x所以 ，即 223()log(1)xx127x也可令 ，得到 ， ；1txt， 1ttlog
18、tt与 的图象关于 对称，故它们与 的图象的交点（结合图象知，2y2logyx2yx都存在且都唯一）也关于 对称，从而关于 的交点 对称，即 ，从而 32xy34， 123t1237x实战演练【演练 1】计算: 21log32.51log6llne0【解析】 3【演练 2】已知函数 ，则函数 的值为_12()xff， ， 2(log3)f【解析】 16【演练 3】若 ，则下列结论正确的是（ ） 0mnA B C D212mn22loglmn1122loglmn【解析】 D【演练 4】 函数 的定义域为 24lg(3)xy 函数 的值域是（ ）212oA B C D2)，R0)，(04，【解析】
19、 1532， ， ， A【演练 5】已知 （ 且 ） ，1logaxfx01a 求 的定义域； 求使 的 的取值范围0f【解析】 定义域为 1， 当 时，所求范围为 ；当 时，所求范围为 a01x01a10x【演练 6】函数 在 上为减函数，则实数 的取值范围是_21log(5)yxm， m【解析】 大千世界（2009 福建高一数学竞赛第 11 题）设 是不超过 的最大整数，则 xx3333log1l2loglog50【解析】 214记 （ ） ，则 ， 3lognN3lnx 1nnx若 ，则 ，符合条件的整数 有 2 个；0013x若 ，则 ，符合条件的整数 有 6 个；12若 ，则 ，符合条件的整数 有 18 个；22 x若 ，则 ，符合条件的整数 有 54 个；3n34x若 ，则 ，符合条件的整数 有 162 个；445若 ，则 ，结合 知，符合条件的整数 有 个556 50x x258 333log1l2log21683416214
