1、14 第 2 讲教师版满分晋级新课标剖析当前形势 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷（理）中考查 510 分要求层次内容A B C具体要求函数的概念与表示 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如，图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用高考要求映射 了解映射的概念北京高考解读2009 年 2010 年（新课标） 2011 年（新课标
2、） 2012 年（新课标） 2013 年（新课标）第 2 讲 函数概念的深入理解函数 10 级集合中的常用数学思想函数 11 级函数概念的深入理解函数 12 级函数的单调性与奇偶性（一）第 3 题 5 分第 13 题 5 分第 6 题 5 分第 14 题 5 分第 6 题 5 分第 13 题 5 分 第 14 题 5 分 第 5 题 5 分函数贯穿整个高中的数学学习，高中函数的本质是一种对应关系，无论你用什么形式表达，只要对任何一个确定的自变量，存在唯一的函数值与之对应的就是函数关系，最常见也是最实用的是解析式表示如： ，表示 把任意一个东西对应到它的平方；2()fxf而 则表示 把任意一个东
3、西对应到它加 ； ，表示 把任(1)2ftf 1(2)1xf何一个东西对应到它的相反数；这种对应是更本质的，而且不依赖于字母的选择也可以通过图象给出对应关系，它的最大好处是可以直观地看出一个函数长什么样，后面我们会有一个很重要的任务，就是一点点教大家怎么去画一些你并不认识的函数图象，如 ， ， ，1()fx1()fxe()1xf本讲分成两个板块，板块一是对函数符号 的理解：包括具体函数的求值问题、求解析式问题、抽象函数()fx的求值问题与求解析式问题（仅限目标班） ；板块二是函数的定义域与值域问题：包括基本的图象变换、具体函数与抽象复合函数的定义域问题、函数的值域的常见求法本讲内容在暑期对应第
4、二讲函数及其表示 ，当时介绍了映射的概念、函数的概念与三要素（包括：函数求值、同一函数、复合函数的概念、具体函数与抽象复合函数的定义域问题、利用图象法求常见函数的值域与最简单的复合函数的值域问题） 、函数的表示法（其中解析式的求法介绍了代入法、配凑法、换元法、待定系数法） 本讲会在预习的基本上重点介绍：抽象函数的函数值求法、求函数解析式的方程组法、图象变换、求函数值域的方法总结2.1 函数符号 的理解()fx考点 1：具体函数的求值问题暑假知识回顾已知函数 ，23fxax如果 ，求 的值；19f当 为何值时，函数的最小值是 ？a4【解析】 216 第 2 讲教师版 1a经典精讲【例 1】 设
5、，则 _()|1|fxx12f 设函数 ，则 的值为（ ）0f， ， ()()abfabA B C Dab， ， 已知 且 ，则 _123xf6fm 设 ，则 _2()1(201)(3)03ff【解析】 1 D； ；74 0考点 1 是具体函数的求值问题，即给出 的解析式，求出具体的某个 考点 2 是()fx()fa具体函数的求解析式问题，即给出函数满足的某些条件或形式，求出 暑期时我们x学习了求函数解析式的代入法、配凑法、换元法与待定系数法，这里介绍一种新的方法方程组法，解决 满足形如 与 的函数()fx()(fxbfagx)()fbfgx方程求解析式的问题考点 2：求函数解析式的方法总结解
6、析式给法分两种，一种是明着给的，一种是暗着给的 明着给的规则，如：已知 ，求 2()1fx()fx直接代入即可得 ；(1f对于这个问题需要理解清楚： 的作用是把括号里的整体变成平方加 ，不管括号里面的是什么，都对应到它整f体的平方加 ； 中的 与 中的 不一样，如它们很可能对应不同的取值范围；()fx(1)fx 与 不是同一个函数，解析式就不一样，但它们都有一个作用叫 f 暗着给的规则，如：若 ，求 此时， 对应的规则是不直接给出21fx()fxf的关键要看 对 进行了什么操作，所以要把 变成与 相关的：f1x21xx，于是 ，这就是配凑的方法221()()x()f也可以令 ，于是 ，代入得到
7、 ，即换元法t 1t2()ft 暗着给的对应法则还要注意定义域的限制，如：若 ，求 42)31fxx()fx可以用配凑法或换元法得到 于是我们得到 2()71fx(5f但如何由 得到 呢，这不可能，因为 ，242()3fx(f 2 )71f暑假知识回顾1已知函数 ，求 2(1)3fxx(1)fx【解析】 2已知 是一次函数，且 ，求 ()fx()94fx()fx【解析】 或 3132经典精讲【例 2】 已知二次函数 的图象经过原点，且 ，求 的表达yfx11fxfxfx式 已知 ，求 1232fxffx 已知 ，求 8xf【解析】 2f x分析： 可求：令 ，即得到 1f1x123ff那么 令
8、 ，得到 2?8 和 互为倒数， 当 时， ，当 时， xx21x2令 ， 1272ff由， 得 ，1()872()ffff()5132f于是得到一般情况：令 与 得xtt18 第 2 讲教师版到 12322ftftfttfftt ；2()x对于法则只有一个描述，而不直接给出对应法则，反过来要求对应法则相关的问题，在数学中统称为函数方程问题（是以函数的解析式为未知量，给出一些相关条件，去求解函数） 也叫抽象函数问题，这是与给出解析式的具体函数对应的通过函数方程求值、通过函数方程求解析式（仅目标班） 、判断单调性与奇偶性的问题，都是我们后面要研究的函数方程问题这类问题的主要方法是赋值法考点 3：
9、抽象函数的求值问题【铺垫】已知 的定义域为 ，对任意的 ，有 ，则 _()fxRxyR， ()()fxyfy(0)f【解析】 ；0【例 3】 定义在 （正实数集）上的函数 满足 （ ） ，已知 ()fx()()fyfxyxR且，则 _， _(8)3f(1)f2f 定义在 上的函数 满足 （ ） ， ，R()fx2yf， (1)2f则 _， _f3【解析】 ；02且 ；16【拓展】已知定义域为 的函数 满足； ，且 Rfxfxyfy31f 求 ； 求证： 0f 41【解析】 ；()1 ，故 ，从而 332()ff()f 24(4)(1)ff令 得， ，故 命题得证4,xy(4)01f【拓展】已知
10、 ， ，则fabfb2f 2342012013192fffffff 当 且 时，函数 的表达式为 xN fx【解析】 ；402 （ 且 ） xf22.2 函数定义域与值域考点 4：函数图象的三大变换知识点睛图象变换有四种基本的形式，包含九种具体的变换方式，如下：函数 的图象经过对应的变换后的对应解析式如下（ ）：()fx 0a四种基本变换形式九种具体的变换方式针对图象的具体操作 变换后对应的解析式水平平移 向右（左）平移 个单位a（()fxa()f）平移变换垂直平移 向上（下）平移 个单位 （ff）上下翻折 轴上方的图象不变，将 轴下方的图象xx翻折到 轴上方来 ()fx翻折变换左右翻折轴右边
11、的图象不变，将 轴右边的图yy象翻折到 轴的左边覆盖原来左边的图象()f按 轴对称x将 的图象作关于 轴的对称()fxxfx按 轴对称y将 的图象作关于 轴的对称y()对称变换按原点对称 将 的图象作关于原点的对称()f f横向伸缩 纵坐标不变，横坐标变为原来的 （倍）1a()ax伸缩变换纵向伸缩 横坐标不变，纵坐标变为到原来的 （倍） f我们在这里只讲前面三种图象形式的形式，最后一种图象的伸缩变换我们放到三角函数20 第 2 讲教师版的图象与性质中再讲一个函数经过图象变换变成一个新的函数，变化过程有两个基本原则：所有的变换都只针对 或 本体；xy 的变化只影响横方向， 的变化只影响纵方向x由
12、此我们可以得到：函数图象纵方向的变换，如上下平移不会改变函数定义域；而横方向的变换，如左右平移不会改变函数的值域函数图象的三大变换：平移、对称、翻折给定函数 ， ，()fx0a 函数图象的平移：包括上下平移与左右平移，得到 与 ，见下图；()fxa(f 函数图象的对称：得到 ，见下图；()()()fxff， ， 函数图象的翻折：得到 与 ，见下图上上 f(x)a f(x)+a f(xa) f(x+a)Oyx f(x)f (x) f (x) f(x)O y x f(x)f(|x) | f(x)|O y x f(x)平移变换 对称变换 翻折变换老师可以结合下面的小例子讲解这三个图象变换：平移：例：
13、 的图象向右平移 1 个单位得到 ；1fx 1()fx例： 的图象向上平移一个单位得到 ；2() 2例：已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为 f0且f且当一个函数平移时定义域也会平移，例如： 定义域为 ， 表示 向x41fx左平移 1 个单位，定义域也向左平移 1 个单位，即为 13，对称与 不同， 是先 ，再取负； 是先取负，再 ()fx()f()fxf()fxf“ ”负号加在函数值身上， 不变，函数值为原来的相反数只是沿 轴把上下颠倒一下“ ”负号加在自变量身上，自变量在变，原来在 处取到的，现在在 处取fx 1x1到，原来在 取到的值现在在 3 处取到3可以将 的图象分别按 轴对称一下
14、，再按 轴对称一下，顺序不限()f()fxxy翻折： ：先 再取绝对值，相当于把所有负的函数值变成正的，正的函数值保fxff持不变即把 轴下方的部分翻折到 轴上方， 轴上方的不变；xxx ：先取绝对值再 ，当 时，函数值不变；当 时，取 处的函()ff f0 0xx数值，所以原来 轴左边的图象直接被无视，而 轴右边的图象被翻折到 轴左边，yyy最后得到的图象一定关于 轴对称综上所述，可以得到一个很简单的结论，所有的函数变化，首先要看这个变化施加在谁身上，若施加在 身，那么它的变化将是横方向上的变化，若变化施加在 身上，它的x y变化将是纵向的【铺垫】试用图象变换的知识画出下列函数的草图： ；
15、； 1()2xf()21fx()21fx【解析】 OyxO yxO yx 【例 4】 试用图象变换的知识画出下列函数的草图： ； ； ()1xf2()3fx2()3fx【解析】O y xO y x O y x22 第 2 讲教师版 考点 5：函数的定义域知识点睛求函数定义域问题： 具体函数的自然定义域：目前的限制条件有分母不为零，零的零次方无意义，偶次根式下非负；（自然定义域以后还会增加对数函数的真数不为零，指数函数的底数大于零且不等于 等，一个函1数不标注定义域，则指得就是它的自然定义域，如 ，不需要再注明 ） 1()fxx 限制定义域： 人为规定的限制，如 ；2()2fx， ， 实际背景的
16、限制，如物理中的时间 ；再如实际问题中，一个物体的个数是0t非负整数等；抽象复合函数的定义域问题暑假知识回顾1函数 的定义域是 21()9|fxx【解析】 33， ， ，2 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为_；fx2， 1fx 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为_；13， 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为_(2)f(0),(5)f【解析】 ； ； 34， ， 78，【分析】以第小题为例：为什么会这样？可以从两个角度来理解：一是上面所说的图象的平移变换； 向右平移 个单位得到 ，所以 的定义()fx1(1)fx(1)fx域也是 的定义域向右平移一个单位得到的()fx第二种理解是直
17、接从对函数的理解入手：需理解 与 是两个不同函数；定ff义域是指 的范围而这两个函数的公共点在于 是有要求的，对于 而言只有当()fx时才能被 作用，这个之外的数 就作用不了，所以 会对 内的数加以限制，(23x， f f同样的 的规则也会对 括号中的数加以限制，这样就得到一个基本的等价形式，f1x都在 的作用下， 内的范围应相同()可以直接把对应的函数简单地构造出来，帮助学习理解，如 满足定132fxx义域为 ，则 ，定义域为 (23， 143fxx(34，经典精讲【例 5】 若函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，2()3fxxM1()3xgN则 _；MNR 若函数 的定义域为非空集合
18、，函数 的定义域为 ，1()4faxA()21xB若 ，则 的取值范围是_AB【解析】 ；3 ；(0且虽然抽象函数的定义域我们在暑期预习时已经讲过，但考虑到这是一个难点，所以在这里我们仍然安排了一道例题，老师可以根据暑假知识回顾的讲解，让学生再练习一下【例 6】 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为_(1)fx(03),2()fx 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为19且 (1)(1)gfxf_【解析】 ；(2)(且 ；考点 6：函数的值域暑假知识回顾在暑假预习时，我们学习了常见函数的值域问题：包括一次函数、二次函数与反比例函数及加上人为定义域限制后的值域问题，这样的问题借助于这些函
19、数的图象可以很快得到结果，但计算上需要小心，特别是系数正负交替时很容易出错1求下列函数的值域： ； ， ；31()yx， ， 23yx(0x， ； ， ， (01)， ，【解析】 ； ； ； (2)， 174， 3， (2)，24 第 2 讲教师版暑假预习还讲到了简单的复合函数的值域，复合函数就像加工厂，东西进去后经过一道又一道的工序，最后出来，比如你们从小学进入初中，从初中进入高中，从高中出来就变成一合格人才这是一个多道工序复合的过程，前一道工序出来的产品是后一道工序的原料，就像前一层复合的值域是后一道复合的定义域求复合函数的值域是一层一层从内往外走，先看整个函数的定义域，再依次从内层开始求
20、每层的值域，每一个内层的值域都对应它外面一层的定义域，这样一层层的处理就可以得到整个函数的值域了暑假的复合函数每层复合都非常清晰的，如下面的 2，我们会进一步研究更复杂的复合函数，见后面例题前的铺垫2求下列函数的值域： ； ， ； ； 32yx13yx0234yx1yx【解析】 ；(， ；)， ；01， ；，经典精讲值域的问题不同老师有不同的讲法，这很正常，因为到目前为止，没有一种公认的使所有函数都能求到值域的方式，还有很多函数的值域，是你们到目前为止，没有手法能求解出来的但求解值域问题有两个大致的方向，一个方向是借助于基本函数的图象解决我们熟悉的函数及其复合函数的值域问题，当然每个人熟悉的函
21、数是不一样多的，后面我们也会学习更多的函数，比如对勾函数、指对函数，扩充我们的函数库；另一个是借助于代数基本变形求值域，比如配方法、换元法、分离常数法、判别式法等当然，这两个方向不是完全独立的，很多时候，进行换元或者分离常数后，一个陌生的函数会转化为我们熟悉的函数，从而利用图象解决值域问题 在高中范围内，能借助于代数基本变形解决的值域问题通常次数差小于等于 ，如：2， ， ， 等，再比如 次数差也不超过 ，这1xx232x1x些问题都是可以解决的，往往都是通过换元法转化为二次函数相关的函数来求值域如： ； 中：令 ，则转化为2211xxt， ；包括 都可以通过 得到它的最小值，21t0t 21
22、x这个函数就是对勾函数，我们在下一讲函数的性质中熟悉这个函数的图象换元法见例 8 的铺垫与第小题 分式函数：分式函数是高中挺常见的一类函数，形如 的形式，其中 与 都是次数不()pxq()pxq超过 的多项式函数2一次比一次，如 ，我们通过分离常数将分子化为常数，得到 ，这是321x 13x反比例函数通过平移得到的函数；二次比一次，如 ，令 ，得到 ，转化为对勾函24x1tx22tt数；一次比二次，如 ，当 时，将分子除下来得到 ，分母即为的形式；21021x二次比二次，如 ，通过分离常数将分子化为一次的，得到 ，2x 21x转化为的形式；一次分式函数的值域问题见例 8二次分式函数的值域在对勾
23、函数讲完在期中复习一讲再讲 判断式法：（不在例题中出现，供选讲）对于分式函数，还有一种处理方式是判别式法，近年来这种方法在高考与模拟考试中基本没有用过，而且只对定义域不受限的情形才方便使用，可以用判别式法解决的问题用上面的代数变形也可以解决，所以判别式法老师可以选择性的作个介绍求函数 的值域24xy解：将 看成参数，去分母整理得： （*） ，2(1)()4(1)0yxyx当 时，此方程有解；1当 时，此方程有解 ，解得 ，且y224()6() 3y 综上知，当 ， （*）有解，13，即对于这样的 ，存在 使得 成立，也即yx2(1)()4(1)0yxyx，所以我们求出来的范围即为函数的值域24
24、xy练习：求函数 的值域25yx解：将 看成参数，去分母整理得到关于 的方程：x，2(1)(4)()0yx当 时，方程有解，故 在值域内；1当 时，此方程有解 ，2 2(4)(1)574360yyy26 第 2 讲教师版解得 ，且 1827y 1综上知，函数的值域为 827，【铺垫】求下列函数的值域： ； ， 426yx21yx1x 【解析】 ；)， ；10，其实换元法求值域与通过复合函数由内而外一层层求值域是完全一致的【例 7】 求下列函数的值域： ； ； ； 210xyx， 241yx234xy2453xy【解析】 ；3， ；(4， ；2|3y 且 ；|1R， 6y【拓展】函数 的值域是_
25、225yxx【解析】 (01，下图展示了一个由区间 到实数集 的映射过程：区间 中的实数 对应数轴上的01， R01， m点 ，如图 1；将线段 围成一个圆，使两端点 、 恰好重合，如图 2；再将这个圆放MABAB在平面直角坐标系中，使其圆心在 轴上，点 的坐标为 ，如图 3图 3 中直线y，与 轴交于点 ，则 的象就是 ，记作 AxNn， mnfmnm 10NMMMAA(B)BAxyO图 1 图 2 图 3 方程 的解是 ；0fxx ； 1434f【解析】 ；2， 三点共线 ；()0fxnAMN， ， A12BM ； 14314f，且点 在 轴负半轴， 5AMOONx1n，且点 在 轴正半轴
26、， 314NA实战演练【演练 1】设函数 ，则 的值为（ ）21()1xf， ， (2)fA B C D56768918【解析】 A【演练 2】设 ，则 _2()1xf1(201)(3)023ffff【解析】 ；28 第 2 讲教师版【演练 3】函数 的定义域为_256()1xf若函数 的定义域为 ，那么 的定义域是_y1x(21)fxA B C D031x【解析】 ；()(2)， ， ， A【演练 4】已知 ，则 （ ）2()2)3fxfx()fxA B C D131213x23x【解析】 B；【演练 5】已知定义在 上的函数 满足 （ ） ，若 ，则R()fx()()fyfxyxR且(4)9f_， _(4)f2【解析】 ；139且【演练 6】求下列函数的值域： ； 3yx256xy【解析】 ；3)， ；1|5y且大千世界已知 是定义在 上的函数， ，且对任意的 都有 ，()fxR(0)fxR(9)(fxf，则 3 (213f【解析】 201，()9()(6)()3()3()9fxffxfxfxfx 因此上述的不等式都取等号，即 ，故易f知 201370213ff
