1、 满分晋级新课标剖析当前形势 平面向量在近五年北京卷（理）考查 5 分要求层次内容A B C具体要求平面向量的相关概念 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义理解向量的几何表示向量加法与减法 向量的数乘 两个向量共线 高考要求平面向量基本定理 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及其几何意义了解平面向量的基本定理及其意义2009 年 2010 年（新课标） 2011 年（新课标） 2012 年（新课标） 2013 年（新课标）北京高考解读 第 2 题 5 分 第 6 题 5 分 第 10 题 5 分 第 13
2、 题 5 分 第 13 题 5 分第 10 讲 平面向量的线性运算向量 2 级平面向量的线性运算向量 1 级向量基本概念及运算向量 3 级平面向量的数量积与坐标运算2 第 10 讲教师版10.1 共线向量知识点睛一、向量的概念与表示1向量的概念：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量2向量的表示：几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度字母表示法： ，注意起点在前，终点在后；也可以用 ， 来表示AB ab线段 的长度也叫做有向线段 的长度，记作 AB|AB3零向量：长度等于零的向量，叫做零向量记作： ；零向量的方向是任意的0单位向量：长度等于 个
3、单位的向量，叫做单位向量14相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量5向量共线或平行：方向相同或相反的向量叫做平行向量向量 平行于向量 ，记作 abab任一组平行的向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量规定：零向量与任意向量平行因为我们研究的向量都是自由向量，也就是不考虑起点位置的向量，所以用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点同时，因为任何一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量与共线向量是等价的，在同一直线上的向量也是平行向量，要避免将向量的平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆可以通过下面的正误判断进一步说明向量的概念与表示：
4、练习 1：判断下列各命题是否正确 零向量没有方向； 若 ，则 ；ab 单位向量都相等； 向量就是有向线段； 两相等向量若共起点，则终点也相同； 若 ， ，则 ；ca 若 ， ，则 ； 当 且 时 ；ab c a b 若四边形 是平行四边形，则 ， ABCDABCDA正确的命题有_【解析】 正确的命题有：分析：不正确，零向量方向任意；不正确，说明模相等，但方向可能不同；不正确，单位向量的模为 ，方向很多1不正确，向量只与方向及模的大小有关，而与起点位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关，只是我们通常用有向线段表示一个向量；正确；正确，向量相等有传递性；不正确，因若 ，则不共
5、线的向量 也有 ， ；0bac， 0 c不正确，当 ，且方向相反时，由 得到 ；a ba不正确应该是 ， ABCDA二、向量的运算1向量的加法： 三角形法则： ， ， 和 的和（或和向量） abaabABC ab CBAa+b ba 平行四边形法则：， ， 不共线，以 ， 为邻边作平行四边形 ，则 ABDb， ABDABCDabAC ab babaa+bD CBA 多边形法则：已知 个向量，依次把这 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第 个向量的终点为终nn n点的向量叫做这 个向量的和向量dcbaa+b+c+d bacd 向量的运算性质：向量加法的交换律： ；向量加法的结合律： ab
6、()()abc关于 ： 02向量的减法： 相反向量：与向量 方向相反且等长的向量叫做 的相反向量，记作 aaa0 差向量：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量 ABO a-bbaBAO通过向量的加法与减法运算可以插入任何字母，如字母 可以通过P直接插入向量 中，这在向量相关的证明与关系的推导中常常BPBAB用到在向量问题中，以上结论类似于“换底公式”，可以将所有向量换成以同一个起点出发的向量，这个起点通过根据题目要证明的结论选定，从而找到变形的方向 （为了方便起见，我们在此讲中称此做法为“向量的换底公式”） 4 第 10 讲教师版向量
7、有一讲预习讲义：向量基本概念与运算 ，其中本讲的基础知识与一些简单的例题，如果班上学生进度较慢，老师可以结合预习讲义多讲些简单题3数乘向量 ： 时，与 方向相同； 时，与 方向相反； 时， ；且a0a0a0a；4向量共线的条件 平行向量基本定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b b 单位向量： 的单位向量记作 ，是指与 方向相同，长度为 的向量， a0a 10a向量共线的两种常见形式： 如果 ，则 ；bb反之，如果 ，且 ，则一定存在唯一的一个实数 ，使 ；a0ba 平面向量 共线当且仅当存在不全为零的实数 ，使得 ， 12， 120由此知，若 不共线，且 ，则一定有 ， 12
8、ab 0同样的，若 不共线，且 ，则一定有 ab， 212例：若向量 不共线，且 ，则一定有 12e， 1214eke4k，讲完这块就可以让学生练例 1了经典精讲例 1 是对平行向量基本定理的应用，用这个定理可以推导出平面向量基本定理，是向量关系的基础我们讲的向量是自由向量，起点可以自由移动，但一旦起点选定，终点就也确定了，所以有共同点（起点或终点）的共线向量可以推导出起点或终点是否共线的关系，这也是“向量的换底公式”的基本想法，通过这种变形可以判断三点是否共线如：已知非零向量 、 、 ，满足 ，求证： 、 、 三点共OABC32OABABC线解析：选定 为起点，应用“向量的换底公式”：， ，
9、OC3232()于是 故 、 、 三点共线AABABC【例 1】 已知向量 不共线， ，且 ，则ab， xyR， 3(1)xaybxb_， _xy 已知向量 ， ，且 ， ， ，则 、 、 、2ab56C72DaABCD四点中，一定共线的三点是_ 设 ， 是两个不共线的向量，若 ， ， ，且 、abABakbBbb、 三点共线，则实数 的值等于 BDk【解析】 ；314，由题意知 3411xxy 、 、 ABD，(56)(72)Cab42()abAB 与 共线，又 有公共点 ， 、 、 三点共线BAD 4由于 、 、 三点共线，故 ，又 ， ，AB k 2CDab故由 ，可解得 2(2)akb
10、4k向量可以用有向线段表示，向量可以表示平面几何图形中的一些关系，向量的运算也有明确的几何意义，例 2 是我们熟悉的几何图形中的一些向量关系【例 2】 设 为平行四边形 的对称中心， ， ，则 等于（ ）OABCD14ABe26Ce123eA B C DOO 已知正六边形 ，在下列表达式：EF ； ； ； 中，与 相等的有（ C2FEFAC）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解析】 B ；取 的中点 ，连接 ，如图，MO则 1213eAMBO第题：MOD CBA第题：FE DCBA D ；BCEDFAC ；2 ；FA ；故答案为 D10.2 平面向量的分解技巧6 第 10 讲教师版知识点
11、睛平面向量基本定理：如果 和 是一平面内的两个不平行的向量，那么对该平面内的任一向量 ，存1e2 a在唯一的一对实数 ， ，使 1a212ae基底：我们把不共线向量 ， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作 12 12e，叫做向量 关于基底 的分解式12aea12e，平面向量基本定理可以将很多向量统一起来，相当于将所有的向量化到统一的形式，这样就可以找到各个向量的之间的关系或进行各种运算在很多问题中，我们都是先选定一组基底，将所有向量写成关于基底的分解式，就可以进行运算及判断关系了例 3 是平面向量中经常遇到的一个结论，铺垫是它的特殊情形，利用例 3的结论可以很快得到很多三点共线的结论，
12、在后面有相应的应用利用例 3，也可以很快判断出共线三点的长度的比例关系经典精讲【铺垫】如图，已知 ， ， ，用 表示 ，则 等于（ ）ABaCb3BDC,abADA B C D34ab1414314【解析】 B方法一：313()44DAabab本题结论可以推广为，当 时， BDC1ABAC方法二：过点 分别作 的平行向量，交 于点 ，交 于点 ，A， EF如图，由平面向量基本定理得： ，又 ，FD ， ， ，同理， ，3BDC14EB AB 34AC3AFAC【例 3】 已知 、 、 、 为平面内四点，P DCB A FEAB CD 若 、 、 三点在一条直线上，求证：存在一对实数 、 ，使
13、，ABCmnPCAnB且 1mn 若存在一对实数 、 ，使 ，且 ，nPCmAnB1求证： 、 、 三点在一条直线上 若 ，求证： 1P CBAP【解析】 由 、 、 三点共线知，存在常数 ，使得 ACB由要证明的结论知，选定 为起点，即 PP从而 ，令 ， ，1PA1mn则 ， 由平面向量的分解定理知， 唯一mnCnBmn， 由要证明的结论知，可选定 为起点进行变形，由 ， ，得 ，1CAPABP于是有 ，(1)APnAn 、 、 三点共线BC 可选定 为起点，由已知得 ，()B整理即得 1C【点评】 本题充分展示了“ 向量的换底公式 ”对于整理方向的指导性对于我们目前研究的自由向量来说，有
14、以下三点要注意：向量的起点是可以自由选择的；在研究具体问题时，我们通常选择统一的起点；起点的选择与研究的具体问题有关（通常会选确定的点作为起点或者选择信息量最多的点作为起点） 本题的三小问的证明并不困难，但本题的结论是很强大的，灵活运用本题的结论可以快速解决很多向量问题下面就这个结论进行一些说明供老师选用，对于班上学生程度较好的，可以进行选择讲解： CBAP结论一：若有 ，则由知 点 在直线 上PmAn1mnCAB结论二： 在线段 上（不包括端点） 0，而 ，即 符号不同时，点 不在线段 上，且可以根据 的正负判0n， mn，断出点 在射线 还是在射线 上BA8 第 10 讲教师版结论三： 是
15、有明确的意义的，事实上，当 时，点 在直线PCmAnB 1mnC上；当 时，点 在 边的中位线所在的直线上；当 时，12CAB43在射线 上取一点 ，使得 ，过点 作 的平行线，所有满足条件N43PNAB的点就在此平行线上，如下图 NMm+n= 43m+n=12n1CBAP也即 的值决定了点 在与 平行的哪条直线上， 越大，直线与点 的距离越mnAmnP大思考：当 时，点 的位置在哪？在过点 与 平行的直线上；0nCPAB当 ，点 的位置在哪？在直线 关于点 的对称直线上1m当 时，点 所在的直线在直线 的与点 不同的一侧要进一步确定点 的位置， C还需要 与 的比值，即下面的结论四事实上，这
16、个结论与直线的方程很类似，当 是互相垂直的单位向量时， 就相PAB， ()mn，当于点 在基底 下的坐标，故此时 就对应直线 ；同样的， 为CPAB， 1mn1xy常数就表示与此直线平行的直线当 只是不共线的任意向量时，也是类似的，同样的，类比坐标，我们知道 时，表示的点 在第一象限，即由射线0， C围成的一个区域内而当 时，对应的是另一个象限，即由射线 与PAB， ， PA的反向延长线对应的区域内这有助于我们对这个结论的理解与应用结论四： 的比值决定了 点在 上的位置，当 时，点 在线CmPAnBAB0mnC段 上当 时，点 恰为线段 的中点事实上，由例 3知 ，1C BA这对于 时，也同样
17、成立再比如，在 中，若 于点 ，如图，ABC HB则 ，coscosHC，故 ， 为某常数 HCBA再由结论三知，因为 三点共线，故 ，BHC， ， 11coscsABC从而 ，cosAC即 coscoscsHABACB 利用这个比值，可以快速得到华山论剑的结论用这个结论可以快速解决一些问题，如下面的例题：如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点ABC OOBAC，若 ， ，则 的值为_MN， mnANmn【解析】 2点 为 边的中点， O1()2BC ， ，ABCn法一： ；NA1()122mnMMAN 三点不共线，且 三点共线， ， ON， ，存在 ， RnA
18、故 ，整理得 12nm2法二：（用到了例 3 的结论）， ， ， 三点在一条直线上，()AOMnANON ，即得 122m由平面向量基本定理知，平面内任何两个不共线的向量都可以作为基底，其它任何向量都可以由基底线性表示出来，且表示方法唯一，已经给出相关点的位置关系，如何通过这些几何关系确定一个向量对于这组基底的分解式系数，是下面的铺垫与例 4 要说的【铺垫】 中， ， 交 于 ， 边上的中线 交 于 ，设ABC 23DABEC AEBCAMDEN， ，用 、 表示向量 、 、 、 、 、 abaDN【解析】 ， 23Eb ， ba由 ，得 ADBC 2()3DEB又 是 的中线， ，M C得
19、1()23Nba NMEDC BAONMCBA10 第 10 讲教师版又 1()2AMBCab21()33DNANMab 【例 4】 在平行四边形 中， 与 交于点 ， 是线段 的中点， 的延长线与BCDBOEDAEC交于点 若 ， ，则 （ ）FAabAFA B C D142ab213124ab123ab 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 ，则AxByC_， _xy （2013 北京理）向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若abc，cabR，则 O FEDCBA6045EDBCAab c第题 第题 第题【解析】 B法一：由 为 的中点可知 ，ED13EDF ，13AFAC
20、设 ， ， ，mBnab解得： ，12abn123AFmnb法二：由于 ，则 ， （例 3 的结论）12DC1CDAB将 ， 代入即可以下同解法一m ； 31xy作 交 延长线于 ，FABF设 ，2CDE ， 60DE6 FE DC BA由 ，解得 ，45DBF623DFB故 ， 312xy ；记方向水平向右与竖直向上的单位向量为 ，并取之为基底，12e， ， ，12ae126be123c由 得 ，c12123()(6)(6)()eee 又 不共线，故 ，解得 ，故 12， 4学完坐标运算后，本题直接通过坐标也可以得到比值，但其实坐标就是取一组单位正交基底后得到的，本质完全相同给出平面上一些向
21、量的关系，如何确定相关的点的位置，是例 5 的内容其中备选的题是要通过向量关系确定交点的位置，难度较大，可供目标班选讲【例 5】 已知 为 所在平面内一点，当 成立时，点 位于（ ）PABC PABCPA 的 边上 B 的 边上 C 的内部 D 的外部 设 是 内部一点，且 ，则 与 的面积之比为 O 2OO A 已知 是平面上不共线的三点， 是三角形 的重心，动点 满足B、 、 BCP，则点 一定为三角形 的（ ）1232PACPA 边中线的中点 B 边中线的三等分点（非重心）AC重心 D 边的中点【解析】 D；要确定 点的位置，需要将条件中的式子化成以 的某顶点为起点的向量关系式，PABC
22、比如取 为起点，有 ，从而有 PPAC由 知，点 在 的外部；ACBABC点评：要是利用例 3 后面的结论，由 知，系数和为 ，故点 必1()0P在过点 与 平行的直线上 12选定 为起点，已知的式子可以整理为 ，B 2BAOCB于是 ，如图，取 的中点 ，则()4OACD，故 ，即 为 的中点，2D12B， AOBCOSS AOBC点评：利用例 3 后面的结论， ，由 知，点 在 边的中线上；1()41:4OAC ABCDO12 第 10 讲教师版由 知点 在与 边平行的 的中位线上，即 为 边中线的中142OACABC OAC点 B；由选项知，本题应该选择 为起点，于是得： ，64CPAC
23、BCO从而 ，即 ，B1()6取 边的中点 ，则 ，从而 ，AM213P即点 为三角形中 边上的中线的一个三等分点，且点PA不是重心点评：由 ， 知点 在 边的中线上；由 知，是中线1()6CB1:6BC163上靠近 的一个三等分点，且不是重心10.3 三角形的三颗心知识点睛已知 ，角 所对的边长分别为 ，ABC ， ， abc， ， 三角形的外心 ：外接圆的圆心，三边中垂线的交点，满足 ；OOABC 三角形的内心 ：内切圆的圆心，三个内角平分线的交点，满足 ；I 0aIbcI（证明：法一：若 ，则由 得：0aAbBcIC ()()aIAbBcICABA，即 在 的角平分线上，bIc同理 在
24、与 的角平分线上，故 是内心I法二：因为 分别为 方向上的单位向量，ABcb， ABC，所以向量 平分 ，设 ，+ABCIcbBACIca，ABIcbab 从而 ，解得 ，10cabcOPCBA于是 ，bcABCbcAIBICIaab化简得： （由角平分线定理+向量的定比分点公式可以较快得到 的0I 值） 三角形的重心 ：三边中线的交点，重心分中线比为 ，满足 G2:10GABC（其实，点 为三角形的重心 ；若点 是 所在平面内任一点，则点0GABCP是 的重心 ）ABC 1()3P一般我们只研究三角形的四心（重心、垂心、内心、外心） ，其中垂心满足的向量关系与向量的数量积相关，所以这里暂时不
25、讲，对于三角形的垂心 ，即三边高的交点，满足HHHCA经典精讲【铺垫】当非零向量 满足条件_时，向量 平分向量 和 的夹角ab， abab【解析】 由向量加法的平行四边形法则知，向量 是向量 和 所构成的平行四边形的对角线，要对角线平分平行四边形的一个角 此平行四边形为菱形，即 ab【例 6】 是平面内一定点， ， ， 是平面上不共线的三个点，动点 满足OABCP， ，则 的轨迹一定通过 的（ ）PA0,)PABCA外心 B内心 C重心 D垂心 已知点 是 的重心， ，那么 _GB ()AGBR， 若 为 的外心，且 ，则 的内角 等于_C PA【解析】 B设 为 上的单位向量， 为 上的单位
26、向量，则 的方向为AACBAC的角平分线 的方向，D又 ， 的方向与 方向相同，0,)BBAC而 ，点 在 上移动，OPACPD 点的轨迹一定通过 的内心B 23设 为 为中点， ， ，DBC21133AGDABCA2314 第 10 讲教师版 ；120以求角 ，故选 为起点整理，得 ，于是 CCAPBCPACB由向量加法的平行四边形法则知，四边形 为平行四边形又因为 为外心，故，从而四边形 为菱形，且 PAB 120【备选】已知点 是 的重心，过 作直线与 两边分别交于 两点，且设G GAB、 MN、， ，则 _MxNyAC1xy【解析】 ；3法一： 是 的重心， ，即GB 0GBC，()(
27、)0AAC13（也可通过重心分中线的比为 得到 ）2:1213ABAC 三点共线， 存在 ， ，使得 MNG、 、 ,kGMkN于是 ，从而 1()3AxBkyACB133kxyky法二：特殊值法，考虑特殊情形，即 此时有 ，故 MNBC 23x13xy设 为 内一点，证明：存在正实数 ， ， ，使得 ，OABC 1，且 0:OBCAOBSS 【解析】 法一：如图所示，延长 交 于点 ，D设 ， ，ADBC则有 为正实数，11OOBOC又 ，1A ，BC DOAB COAB CNMGCBA即 （*）101OABOC而 ，所以把（*）两端同时乘以 ，则得 11 011OAOBOC令 ， ， ，1
28、则可知 为正实数，且满足 0BC，:():又 ， ，:AOBDAOCDSS :ODS 于是： ，于是 ； ， (1)BCC OACDS ， 故 ，得证:(1):OBCAOB 法二：（利用例 3 后面的结论直接得到 ）， ，延长 交 于点 ，记 ，DBOCaAOCbAOBcSSS ， ，又 ，DDbc故 bccbSAS又 ，故 ，cBODCa bcaSAO从而 bcbca cabABACSSS根据题目的证明结论，需要将上式整理成以 为起点的向量得，从而 ，0abcAB 0abcbcacabSBOCS将系数取成 即得证， ，【点评】特别地，如果 ，则能得到 为重心13O实战演练【演练 1】下列命题
29、中正确的有_ 向量 与 是两平行向量；AB 向量 与 是共线向量，则 ， ， ， 四点必在同一直线上；CDABCD 与 共线， 与 共线，则 与 也共线；abcac 平行向量的方向一定相同【解析】 正确；根据平行向量的定义；16 第 10 讲教师版 错误；向量与起点无关，故共线向量只能说明直线 与 平行或重合；ABCD 错误； 可以为零向量，此时 与 不一定共线；若 非零，则可得出 与 共线；bacbac 错误；平行向量的方向可以相同或相反【演练 2】设两个非零向量 与 不共线，a 若 ， ， 求证： 、 、 三点共线；ABb28Cb3()DabABD 试确定实数 ，使 和 共线kk【解析】
30、， ， ， ()Da2835()ab 、 共线AB又 它们有公共点 ， 、 、 三点共线ABD 与 共线，kabk存在实数 ，使 ，即 ()abkabk ()(1) 、 是不共线的两个非零向量， ， 0k20k 【演练 3】在 中，已知 是 边上一点，若 ， ，则 等于（ ABC DAB2ADB13CAB）A B C D21313【解析】 A ， ， ， D2CA23ACB23【演练 4】已知 中，点 在线段 上， ，则 _ _ O BBOAOB【解析】 ，123由已知可得 ，则 123AC312OA【演练 5】已知：直角梯形 中，角 为直角，上底 ，下底 ，点 为腰 靠近端BD3CD6BMB
31、C点 的三等分点设 ， ，用 表示向量 ， AaBba， AA【解析】 ； 12ACab536M过点 作 的垂线，由 知，必交 于其中点，12C MD CBA故 ；12ACDBab（也可通过 得到）12CADB2115()33336Mbab也可直接过点 分别作 的平行线，根据线段比例关系得出表达式， ，【演练 6】在 中，设 ，点 为边 的中点， 为 的重心，试用ABC aCBb， DABGABC表示向量 ab， DAG，【解析】 ，11()22Dab ，于是 23Gab 21(33ab 大千世界如图，在 中，已知 ， ，过 作直线交 、 于 、 两点，ABC 2DC3AMDABCPQ则 2PQ QMP DCB A【解析】 4法一：（特殊值法）考虑特殊情况，当直线 与 平行时，有 ，PQB43ABCDPQM则 2483ABCP法二：设 ， ， ，xyAPMk则由 ， 得 ，2BDC3D31214342ABACBA，11kxyAMPQBCk所以有 ，即 ，412xyk42yk 1ABCPQx
