1、26 第 3 讲尖子-目标教师版满分晋级新课标剖析当前形势 双曲线与抛物线在近五年北京卷（文）考查 514 分要求层次内容A B C具体要求双曲线的定义及标准方程 由定义和性质求双曲线的方程；由双曲线的标准方程探求几何性质双曲线的简单几何性质 由双曲线的几何性质解决问题抛物线的定义及标准方程 由定义和性质求抛物线的方程；由抛物线的标准方程探求几何性质高考要求抛物线的简单几何性质 由抛物线的几何性质解决问题抛物线的简单几何性质 由抛物线的几何性质解决问题2008 年 2009 年 2010 年（新课标） 2012 年（新课标）北京高考解读 第 4 题 5 分 第 19 题 14 分 第 13 题
2、 5 分 第 12 题 5 分第 3 讲解析几何 2 级椭圆初步解析几何 3 级双曲线与抛物线初步解析几何 4 级直线与圆锥曲线的位置关系双曲线与抛物线初步3.1 双曲线及其标准方程考点 1：双曲线的定义知识点睛双曲线的定义：平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于 且不等于零）的1F2 12|F点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点两焦点的距离叫做双曲线的焦距，焦距为 双曲线上的点与两个c定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数 1F2 a由上一讲椭圆的定义，自然类比到双曲线的定义双曲线的定义需要强调的地方：差的绝对值小于 ，否则轨迹为两条射线或不存在12F绝对值若去掉绝对值
3、，则轨迹只有双曲线的一支经典精讲【例 1】 到两定点 ， 的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹是（ ）1(30)F， 2()， 6MA椭圆 B线段 C双曲线 D两条射线 动点 到定点 的距离比它到定点 的距离少 ，则点 的轨迹是（ ）P1()， 2(30)F，1PA双曲线 B双曲线的一支 C一条射线 D两条射线 已知点 ，在满足下列条件的平面内，动点 的轨迹为双曲线的是（ 120F， ， ，）A B123P124PFC D53 已知点 、 在一条双曲线的右支上，线段 经过该双曲线的右焦点 ，已知BA2F，且 为左焦点，则 的周长为（ ）m1F1A B C D2a42amam4am【解析】 D
4、B D B【点评】 涉及双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解【备选】 平面内有两个定点 、 及动点 ，设命题甲： 是定值；命题乙：点 的轨迹ABP|PABP28 第 3 讲尖子-目标教师版是以定点 、 为焦点的双曲线，那么（ ） ABA甲是乙的充分不必要条件B甲是乙的必要不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【解析】 B（选讲）已知两圆 ， ，动圆 与两圆 ， 都相切，则动圆21:(4)Cxy22:(4)CxyM1C2圆心 的轨迹是（ ）MA一条直线 B双曲线的一支C双曲线 D双曲线或一条直线【解析】 D如右图，动圆 与两圆 ， 都相切
5、，有四种情况：动圆 与两圆都相外切，动圆1C2与 与两圆都相内切；动圆 与圆 外切、与圆 内切动圆 与圆 内切、与圆M12CM1C外切在情况下，显然，动圆圆心 的轨迹方程为2，是一条直线；0x在的情况下，设动圆 的半径为 ，则 ，r1|r，故得 ；2|MCr12|C在的情况下，同理得 1由得 12|根据双曲线定义，可知此时点 的轨迹是双曲线M由可知，选择 D考点 2：双曲线的标准方程知识点睛双曲线的标准方程： ，焦点坐标为 ， ， ；21(0)xyabb， 1(0)Fc， 2()， 22cab ，焦点坐标为 ， ， ；2， ， ，以过焦点 ， 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为1F2x12y轴
6、，建立平面直角坐标系如图设 是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是()Mxy，那么 ， 的坐标分别是 ， ，又20c12(0)c， ()，设点 与 和 的距离的差的绝对值等于常数 ，F2acC2QxyMOC1POMF2F1 xy则点 在双曲线上的充分必要条件是M，即 12|Fa12|MFa因为 ， ，所以上述条件转化为坐标表示，就是2()xcy2()xcy， 22()xcy即： ，22()axcy得： () cxcyx上面 ， 两式中的右边同取“ ”号或同取“”号由 ，得： 2()xcya将式两边平方，再整理得： 222xyc因为 ，所以 设 ， ，0ca20cab0则上式化为 21()xybb
7、，因此，方程是双曲线的方程，通常把这个方程叫做双曲线的标准方程它所表示的双曲线，两焦点在 轴上，焦点坐标分别为 ， ，这里 (0)c， ()， 22cab当标准方程中 项的系数为正时，双曲线的焦点在 轴上；当 项的系数为正时，双曲2x xy线的焦点在 轴上y经典精讲【例 2】 已知点 ，动点 到 与 的距离之差的绝对值为 ，则动点 的轨1250F， ， ， P1F2 8P迹方程为 已知双曲线 的一个焦点为 ， ，则双曲线的方程为 21xyab50， ab ，经过点 ，焦点在 轴上的双曲线标准方程为 6c(5)， x 与双曲线 有相同焦点，且经过点 的双曲线标准方程为 432，【解析】 ；216
8、9xy 24 15xy 28【点评】 与双曲线 有公共焦点的双曲线系方程为 ，由此可以2164xy221164xy(6)比较方便地解决同焦点的双曲线的问题提高班学案 130 第 3 讲尖子-目标教师版【拓 1】双曲线 的一个焦点是 ，那么 25xky20， k【解析】 3k尖子班学案 1【拓 2】 双曲线 的焦距是 6，则 的值是（ ）2xykkA24 B C D35【解析】 B目标班学案 1【拓 3】 若双曲线 的一个焦点是 ，则 28kxy03， k【解析】 若方程 表示双曲线，则 的取值范围为_2193xykk【解析】 或【思路】 或 或 03，0，39【错因分析】本题易忽视焦点在 轴的
9、情况而只由 导致漏解y03k，【点评】 方程 表示双曲线时， 、 异号；当 、 异号时，方程 表示双21AxByABAB21AxBy曲线，即方程 表示双曲线的充要条件是 23.2 双曲线的简单几何性质知识点睛双曲线的几何性质（用标准方程 来研究）：21(0)xyabb，范围： 或 ；如图 对称性：以 轴、 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴如图中， ， 为顶点，线段 为双1A212A曲线的实轴在 轴上作点 ， ，线段 叫做双曲线的虚轴y1(0)Bb， (0)， 12B渐近
10、线：直线 ；bxa离心率： 叫做双曲线的离心率， 双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔cee1双曲线与椭圆的区别：双曲线是无限伸展的，椭圆是封闭曲线；双曲线有两个顶点，椭圆有 个顶点；4双曲线的虚轴与椭圆的短轴；双曲线离心率 ，椭圆离心率 1e01e2渐近线的理解：过双曲线上的一点 （考虑对称性，不妨设 是第一象限内的点）作平行于()Mxy， M轴的直线，设它与直线 相交于点 ，ybaP则 ，2|bPxa22abxx当 时， 随着 的增大而增大，从而 越来越接近于 |0这说明，当点 从双曲线 的顶点 开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离MC2A点 时，点 和直线 就越来越接近，而且 ，故双
11、曲线始终在2Abyxa2bxaa直线的下方，且与直线越来越接近，不会相交其它象限内的情况与此类似3双曲线的开口大小：渐近线的斜率的绝对值 ，因此 越大， 也221bceaeba越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔4画双曲线的草图时，一般都是先画出以 为边长的矩形，它的对角线恰为双曲线，B1x=-a x=a PMA1 A2B2F2F1 Oyx32 第 3 讲尖子-目标教师版的渐近线，且双曲线的顶点在此矩形上，故可由此作出双曲线的较好的草图5求双曲线的渐近线方程有一个比较容易的办法是直接令右边的常数为零，方程所表示的两条直线就是所求的渐近线方程对于双曲线 ，它的渐近线方程即为21yxab，即直线
12、 20yxabayxb经典精讲考点 3：双曲线的几何性质【铺垫】求出下列双曲线的渐近线方程和离心率： ； ； ； ； 2154xy2154yx21y24936xy2491xy【解析】 ； ； ；3e， 53xe， e， 3e，； 213yx，由可知， 有相同的渐近线和离心率20yab【例 3】 虚轴长为 12，离心率为 的双曲线的标准方程是_54 设双曲线的焦点在 轴上，两条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ）x12yxA B C D552554 若双曲线经过点 ，且渐近线方程是 ，则双曲线的方程是（ ）63， 13yxA B C D21369xy2189xy292183y 若双曲线的渐
13、近线方程为 ，它的一个焦点是 ，则双曲线的方程是 0， 实轴长为 ，渐近线方程为 的双曲线的方程是 32yx【解析】 或 ；21643xy21643x B； C 219yx 或 ；21894xy2194x【点评】 已知双曲线的渐近线方程求双曲线方程时，可利用共渐近线的双曲线方程 2(0)xyab再由其他条件求 尖子班学案 2【拓 2】 已知以双曲线 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为 ，则双C 60曲线的离心率为 【解析】 ；6目标班学案 2【拓 3】 设 是等腰三角形， ，则以 、 为焦点且过点 的双曲线的离心率为 ABC 120ABCABC【解析】 123.3 抛物线
14、的定义及其标准方程知识点睛抛物线相对来讲，学生应该比较熟悉了，生活中也有很多例子，比如，手电筒、太阳灶和射电望远镜就是利用抛物线的性质做的，但是学生对抛物线的认识仅是二次函数的图象而已，更进一步的了解将在本板块进行学习举例， ，让学生计算此二次函数上的点（随机取几个点）到点 与243yx 324，直线 的距离之比，由此引入抛物线的定义5B2B1F2F1Oy x34 第 3 讲尖子-目标教师版1平面内与一个定点 和一条定直线 （ 不在 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线FlFl定点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线抛物线的画法：如图，将一根直尺固定在平板上，把直尺的一边当作定直线 ，l
15、拿一块三角板，以它的较短的直角边紧靠直线 ，在另一条直角边的锐角顶点处 上结一l A条细绳取这条绳长与这条直角边等长，绳的另一端扎一个小钉，并把它钉牢在平板上的 处作为定点，然后把铅笔尖紧靠三角板把绳拉紧，并将三角板紧靠F移动，笔尖画出的图形就是抛物线l从以上画图的过程可以看出，不论笔尖 移到什么位置，它到定点 的距离 总是等于PF|P它到定直线 距离 这是因为 ，即 根据抛物线的这l|PQ|AQ|Q个几何特征，得出抛物线的定义2抛物线的标准方程： ，焦点在 轴正半轴上，坐标是 ，准线方程是 ，2(0)ypxx02p， 2px其中 是焦点到准线的距离p抛物线的标准方程的推导：建立平面直角坐标系
16、：取过焦点 垂直于准线 的直线为 轴， 轴与 相交于点 ，以线FlxlK段 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系（如图所示） ，设 ，则焦点 的坐KFy |FpF标为，准线 方程为 02p， l2px设抛物线上的点 到 的距离为 ，()My， ld抛物线也就是集合 |SF ， ，2|pFxy2pdx 2将上式两边平方并化简，得 2(0)ypx3抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程 研究性质）：2()p范围：抛物线在 轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸y对称性：以 轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴x顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点此处为原点离心率：抛物线
17、上的点到焦点与到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用 表示， e1lQFP Axyl MFOKK学习过椭圆和双曲线的几何性质后，来看抛物线的性质和它们的区别：抛物线只有 个顶1点、 个焦点、 条对称轴和 条准线，离心率为 ，且没有中心1114设抛物线的焦点到准线的距离为 ，抛物线方程的四种形式如下：(0)p标准方程 图形 对称轴 焦点坐标 准线方程2(0)ypx 02p， 2px2(0)ypx轴x02p， 2px2(0)xpy 02p， 2py2(0)xpy 轴y02p， y经典精讲考点 4：抛物线的定义【例 4】 动圆 过点 ，且与直线 相切，则动圆圆心 的轨迹方程是（ ）M(02)F， :
18、2lyMA B C D28xy8yx2x 点 到点 的距离比它到直线 的距离小 2，则点 的轨迹方程为（ ）P4， :6lxPA B C D2162321y4y【解析】 A CFlOyxFlOyx O lFyxO lFy x36 第 3 讲尖子-目标教师版【备选】 动圆与定圆 外切，且与直线 相切，则动圆圆心 的轨迹是（ 2:()1Axy:1lxP）A直线 B椭圆 C双曲线 D抛物线 动点 到直线 的距离减去它到点 的距离等于 2，则点 的轨迹是（ P40x(20)M，）A直线 B椭圆 C双曲线 D抛物线【解析】 D D目标班学案 3【拓 3】 点 到点 的距离比它到直线 的距离大 ，则点 的
19、轨迹是（ ）P(0)F， :1lx4PA一条抛物线 B一条双曲线 C一个椭圆 D以上都不对【解析】 D；考点 5：抛物线的方程与性质提高班学案 2【铺 1】 抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ；240xy 抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ； 抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 2()a【解析】 焦点坐标为 ，准线方程为 ；01， 1y 焦点坐标为 ，准线方程为 ；6， 6 焦点坐标为 ，准线方程是： 4a， 4xa【例 5】 根据下列条件，求抛物线的标准方程 焦点为 ；(20)， 准线为 ；1y 焦点与双曲线 的左焦点相同；269xy 焦点到准线的距离是 4； 过点 (1)，【解析】 2
20、8yx 4 20yx ， ， ， 8228xy2y 或 241【点评】 抛物线标准方程中的系数 叫做焦参数，它的几何意义是焦点到准线的距离，且焦点到p顶点及顶点到准线的距离都为 2 抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是解题的关键，在方程的类型已确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 ，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程p 焦点在 轴上的抛物线标准方程可统一写成 ；焦点在 轴上的抛物线标准x 2(0)yax y方程可统一写成 2(0)ay尖子班学案 3【拓 2】 试分别求满足下列条件抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： 过点 ；(2)， 焦点在直线 上40xy【分析】 从方程形
21、式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数 ；而从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论p【解析】 所求的抛物线方程为 或 ，23yx29y前者的准线方程是 ，后者的准线方程是 ；198 所求的抛物线方程为 或 ，对应的准线方程分别是 ， 26yx28y4x2y考点 5：抛物线定义的应用提高班学案 3【铺 1】 设抛物线 ， 是焦点，则 表示（ ）28(0)xayFaA 到准线的距离 B 到准线距离的F14C 到 轴的距离 D 到准线距离的x 8 抛物线 过点 ，则点 到抛物线准线的距离为_2yp(2)M，【解析】 B 538 第 3 讲尖子-目标教师版【例 6
22、】 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 轴上，抛物线上一点 到焦点的距离为y(3)Mm，5，求 的值、抛物线方程和准线方程m 抛物线的焦点 在 轴上，直线 与抛物线相交于点 ， ，求抛物线的标Fx3A5F准方程【解析】 抛物线方程为 ， ，准线方程为 28y26m2y【点评】 已知抛物线的某些几何元素的特征，求抛物线的标准方程的方法如下：一是由抛物线的标准方程中只有一个参数 ，用待定系数法求解，但在设置方程形式时，要注意 ；二是找p 0p到焦点坐标、准线方程等条件，直接利用定义求解 或 2yx218yx目标班学案 4【拓 3】 抛物线上的点 到焦点 的距离为 6，则抛物线的标准方程是（ ）52，
23、(0)Fx，A ， B ，2yx18y24yx236yxC D ，4 18【解析】 C【例 7】 已知抛物线 ，定点 ， 为焦点， 为抛物线上的动点，则28yx42A， FP的PFA最小值为（ ）A5 B6 C7 D8 已知点 ， 为抛物线 的焦点，点 在该抛物线上移动，当(32)M， F2yx取最小值时，点 的坐标为 P【解析】 B 点坐标为 P()，【点评】 本题充分应用抛物线的定义及几何特征解决问题，曲线的几何特征是曲线本身具有的性质，与曲线在坐标系中的位置无关【备选】 若点 的坐标为 ， 为抛物线 的焦点，点 在抛物线上移动，则A52， F2yxP的最小值为（ ）|PFA B1 C D
24、269【解析】 C；实战演练【演练 1】已知两定点 ， ，动点 满足 ，则当 和 4 时，1(40)F2()P12|FPa2P点的轨迹是（ ）A双曲线和一条直线 B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线 D双曲线的一支和一条直线【解析】 C【演练 2】 抛物线 的焦点坐标为_，准线方程为_；2yx 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，抛物线上一点 到焦点的距离为 ，x(3)Pa， 5求抛物线的标准方程【解析】 焦点坐标为 ，准线方程为 ；104， 14y 28yx【演练 3】已知点 与抛物线 的焦点的距离是 5，则 3， 20ypxp【解析】 4p【演练 4】已知点 ， 是抛物线 的焦点，
25、 是抛物线上的动点，当 最小A， F28yxMMAF时， 点坐标是（ ）MA B C D0， 36， 4， 326，【解析】 C【演练 5】已知双曲线过 ， 两点，求双曲线的标准方程(1)(25)N，【解析】 双曲线的标准方程为 278xy【演练 6】讨论 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征22159xyk【解析】 由于 ， ，则 的取值范围为 ， ， ，分别进行讨论k9k25k当 时， ， ，所给方程表示椭圆，09此时 ， ， ，这些椭圆有共同的焦点 ，2a2b2216cab(40)，；(40)，当 时， ， ，所给方程表示双曲线，95kk0k此时， ， ， ，22922c这些双曲线也有共同
26、的焦点 ， (4)， ()，40 第 3 讲尖子-目标教师版 时， ，所给方程没有对应的曲线25k2209xyk【点评】 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系大千世界1有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论【解析】 取一条与所有抛物线对称轴均不平行的直线，则每条抛物线均只能覆盖此直线的有限段，而直线是无限的，故不能覆盖2已知抛物线 上一点 ，若抛物线上存在两点 ，且使得 ，21yx10B， PQ， PB则 点横坐标的取值范围为 Q【解析】 3， ，设点 ，由 ，得 ，PQxyxy， ， ， 1PBQk1QPPyxx即 ，化简得 ，其中 2221PP 2PP以下略
