高一秋季第1讲.集合中的常用数学思想.目标班.删解析.doc-道客多多

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1、高一秋季讲义说明1暑秋讲义区别：定位区别：暑期讲义侧重于知识的引入与概念的讲解，会有很多与实际生活相结合或是非常简单的小例子（有些在教师备案中，并有配套练习）；秋季讲义侧重于知识点中的重点、难点与易错点，对常用方法与题型作系统说明与讲解教师备案更多的是揭示概念与方法的本质，及需要重点说明的地方难度区别：暑假讲义的例题以一星与二星为主，难度不大；秋季讲义例题以三星为主，有少量二星与四星的题，对于暑假已经讲过的知识点有“暑假知识回顾”版块，老师可以结合这个版块进行复习与知识点梳理讲义中所有四星级题都是思考与选讲类的题，可以在一开始对学生进行说明2升级后与原来讲义的区别：暑假与秋季没有重复内

2、容，暑假讲过的内容，除了极重要的内容（会单独说明）外，秋季都不会在例题中重复出现；尖子班（提高班与尖子班讲义相同）与目标班区别度很大，每道例题都有区别，仅在目标班出现的例题与考点会标有“目标班专用”，知识点讲解的深度与难度更大，计算量也更大；题量与以前相比也有所增加，老师可以根据班上学生的进度情况与学生的程度好坏可以调整与选择性讲解，这一点也可以在最开始作个说明；对于暑假没有讲过的新知识点，有些会配上【练习】，有些难题前面配有【铺垫】，学生版都出现个别例题后面备有较难的【备选】与【拓展】，学生版不出现，供老师选讲3我们是以知识模块划分的讲次，每讲内容的量有一些区别，以下附有建议课时

3、表：讲次讲义名称建议课时第 1 讲集合中的常用数学思想 3 小时第 2 讲函数概念的深入理解 3.5 小时第 3 讲函数的单调性与奇偶性（一）提高班、尖子班 3.5 小时目标班 3 小时第 4 讲函数的奇偶性（二）与对称性提高班、尖子班 2 小时；目标班 3 小时（有周期性）第 5 讲指数函数与相关复合函数 3 小时第 6 讲对数函数与相关复合函数 3 小时第 7 讲期中复习提高班、尖子班 3 小时目标班 2.5 小时4课后演练教师版有，学生版没有，会给学生发一本练习册，并且网上有视频讲解第 1 讲集合中的常用数学思想2 第 1 讲目标班教师版满分晋级新课标剖析当前形势

4、集合在近五年北京卷（理）考查 518 分要求层次内容A B C具体要求集合的含义与表示了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题集合间基本关系理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集在具体情境中，了解全集与空集的含义高考要求集合基本运算理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集能使用 Venn 图表达集合的关系及运算2009 年 2010 年（新课标） 2011 年（新课标） 2012 年（新课标） 2013 年（新课标）北京高考解读第

5、 20 题 13 分第 1 题 5 分第 20 题 13 分第 1 题 5 分第 1 题 5 分第 1 题 5 分可以调查一下班上学生上过暑期课的比例，以及学校当前的进度函数 9 级函数与方程函数 10 级集合中的常用数学思想函数 11 级函数概念的深入理解对于集合，学生应从内心深处把集合当作一个锻炼的工具，集合从高中开始一直渗透到高中结束，甚至在有些过程中，我们都没有意识到集合是数学的语言，是一个对话的平台，语言的作用是为了沟通，集合的问题不在于基本的运算什么的你不会，而是给你一道集合相关的问题你根本读不明白题意，或者当你试图表达一个条件时，你没有办法用一套很严格的数学语言把它表达出

6、来集合的中还渗透着很多数学思想，比如要想确定一个由描述法表示的集合，可能需要对参数进行分类讨论；理解一些集合的关系与运算需要借助韦恩图与数轴，这便是集合中的数形结合；还有些集合问题直接解决比较困难，我们选择看它的反面，正难则反这些数学思想在以后的高中数学学习中，还会常常遇到，也会贯穿我们这一讲“给你一道集合相关的问题，你根本读不明白题意”这句话可以结合下面的例子说明，可以用这个例子作为课堂的引入，调动学生的思维兴趣：已知集合，，若对于任意，，12nMa，，， 12naa 1ijn ija中至少有 1 个在中，则称集合具有性质判断（不具有）、jiaMP234，，，（具有

7、）、（不具有）是否具有性质 (更进一步的问题见华248，，， 46，，，山论剑)1.1 元素与集合知识点睛1集合：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合构成集合的每个对象叫做这个集合的元素集合一般用英文大写字母表示元素一般用英文小写字母表示；,ABC ,abc不含任何元素的集合叫做空集，记作 2元素与集合的关系：、；3常见的数集的写法：自然数集正整数集整数集有理数集实数集N或NZQR4 第 1 讲目标班教师版4元素的性质：确定性、互异性、无序性5集合的表示法列举法描述法（又称特征性质描述法）：形如，称为集合的特征性质，称为集合的代表元素为的范围，

8、有时|()xAp()xxAx也写为，图示法，又叫韦恩（Venn）图区间表示法：用来表示连续的数集元素的性质：元素的性质中最本质的属性是确定性，集合是有边界的，边界确定了，才能判断一个元素在还是不在集合中正是因为有确定性，所以可以定义空集，因为所有元素都不在这个集合中，所以这也能构成一个集合，就是空集集合的表示法：列举法一定要会用，当遇到陌生集合时，要会写出其中的元素比如要想了解集合，的关系，可以用列举法把|24AxkZ， |42BxkZ，一个个元素写出来：，0A ，，，，，，就知道是的真子集；610B ，，，，， A 描述法是集合的一个重点与难点：，

9、表达的外延，即的最|()xpxx大讨论范围，以及集合中元素的形式，到底是数还是点，并不一定能取到中A的所有，只是一定是中的元素，表示的内涵，是对的精确描述xA如：集合，3123()|0123iSxi，，，，，，，则， 2)，， 3(4S，， Venn 图是表达集合中的各种关系与运算的；区间表示法课本上是在函数的三要素那一节出现的，我们为了方便与统一把它放到集合中，当一个连续数集写成区间时，默认左端点是小于等于右端点的，如区间，就表示，即这与是有区别的，(213)a， 213a1a|213xa这个集合可以出现的情况，此时这个集合是空集暑假知识回顾

10、1由实数，，所组成的集合里，所含元素个数最多有（）aA 个 B 个 C 个 D 个0123【解析】 C2下列集合中恰有 2 个元素的集合是（）A. B. C. D. 20x2|0y2|xy2|yx【解析】 B3若，，则集合中的元素共有（）213A，，， 2|BxtA， BA 个 B 个 C 个 D 个478【解析】 A经典精讲考点 1：元素与集合的关系【例 1】已知，若，求实数的值2(1)3Aaa，， 1Aa 已知，集合，且，，求满足条件Z,xy (2,)(1,4)A的的值（目标班专用）已知，，集合，点aZb2()|36Exyaby，，但点

11、，，求的值(21)E， (10)E， (32)， ab，已知是数集，且满足：若，则，则当时，中仅有 1 个元AxAA素若集合中有且仅有两个元素，集合 _【解析】；0a ；12，， b，或；，备注：所有的【备选】在学生版都不出现，只在教师版与课件上出现，供老师选讲【备选】设是非空数集，，，且满足条件：若，则 A0A1aA1a证明：若，则中必还有另外两个元素；2 集合不可能是单元素集；集合中至少有三个不同的元素【解析】若，则，于是，A1A12A故集合中还含有，两个元素2 若为单元素集，则，即，此方程无实数解，，1a210a1a

12、与都为集合的元素，则不可能是单元素集a1A 由是非空集合知存在 A11aaAA现只需证明、、三个数互不相等 1若，方程无解，；20aa1a6 第 1 讲目标班教师版若，方程无解；；2110a1a若，方程无解，，故集合中至少有三个不同的元素A【备注】集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点解此题关键在于由已知，，得到，aA1Aa，然后逐步探索，再根据集合中元素的互异性，从而将问题加以解决中用到1Aa反证法的解题思想下面的例 3 中会进一步提到正难则反的思想考点 2：两个

13、集合相等两个集合相等是集合的关系中出现的概念，但对于由列举法表示的集合来说，两个集合相等就是指两个集合中的元素完全相同，所以放在元素与集合这一板块中讲解更顺一些下一板块的集合相等的定义主要针对更复杂更抽象的集合，通过互相包含得到相等关系【例 2】若，，集合，则 _abR10baba，，，， a 由三个实数构成的集合，既可以表示为，也可表示为，则1，， 20ab，，_2013ab （目标班专用）已知集合，，22AmdBmq，，，，， m其中且，则 _ABq【解析】；；1点评：根据两集合的元素是相同的，可以列方程组分类讨论，但显然复杂又繁琐，这时从特殊元素

14、出发，如发现 0 这个特殊元素和中的不为 0 的隐含信息，就能得到简便ba解法；12考点 3：集合中涉及到的数学思想本讲的例题很多都涉及到数学思想，如例 1 与例 2 都涉及到了分类讨论的思想，例 5 与例 6 会涉及到数形结合的思想例 3 是对集合的思想的集中体现，可以在这里对集合中常用的数学思想作一个介绍与说明例 3 不同的方法对应不同的思考方式，直接解决需要分类讨论，间接解决就是考虑问题的反面遇到至少有、至多有的问题，需要注意问题的反面的形式【铺垫】已知集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是 2|30Axaa【解析】或 0a98解法一（按照的元素个数分类讨论）：解法二（按

15、照方程的次数分类讨论）：解法三（先考虑问题的反面）：【例 3】（目标班专用）已知，，2|0Axa 2|10Bxa，且，，中至少有一个不是空集，求实数的取值范围|49Cxa BC【解析】 5|38或分析： A14a14aB58 58C3a3a至少有 1 个不是空集，考虑方法有两种：第 1 种：或或也就是，ABC14a和取并集第 2 种，至少有 1 个不是空集的反面是什么？如我们班至少有 1 个男58a生反面是不到 1 个男生，也就是没有男生，“至少有 1 个不是空集”的反面是“全都是空集” “全都是空集” 取，，的公共部分也就是交集，再取个补集就行ABC当遇到正面分

16、类讨论比较多时，不妨考虑问题反面若改成“至少有两个是空集” ，那么反面是什么？最多有 1 个空集比如某富二代说“我家至少有 10 栋房”，那么反面是他家至多有 9 栋房【拓展】已知集合，，2|430Axa22|()0Bxax.若中至少有一个不是空集，求实数的取值范围2| CAC，， a【解析】或 3a 18 第 1 讲目标班教师版1.2 集合之间的关系与运算知识点睛1子集：如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，则是的子集，记作或；ABABAB规定：是任意集合的子集如果集合中存在着不是集合中的元素，那么集合不包含于，记作或 B 2真子集：如果集合，且存在

17、，但，我们称集合是集合的真子集，x记作（或），读作真包含于（真包含） AABA规定：是任意非空集合的真子集3集合相等：如果，且，我们说集合与集合相等，记作 = AB4交集：；|BxB且5并集：；或6补集：全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用表U示补集：在中的补集的数学表达式是 AU|UAxxA，且7 BB集合的关系与运算在同步时放在同一个板块中讲解，如果班上学生进度太慢，且没有预习，老师可以对后面的顺序进行调整，知识回顾 1 与例 4 是集合的关系，知识回顾 2 是集合的运算暑假知识回顾1 下列各个关系式中，正

18、确的是（）A B C D02Q35，， 21|x 若集合，则下列关系成立的是（）1MxA B C D0M0M 已知两个集合，，这两个集合的关系是（）yxR1NyxRA B C DMNNMnN 设，，则下列关系正确的是（）2SxnZ， 42PxZ，A B C DPSSPSP【解析】 D B A C2 设集合，，则 _|32MmZ|13NnZ MN 设集合，，则 =_x， 0，，已知全集，集合，，则145U，，，， 2|Ax|2BxaA，集合中元素的个数为（）()ABA1 B2 C3 D4【解析】； 0，， 01，，， B经典精讲考点 4：集

20、学生没有上过暑期班，所以这一节我们尽量避开了集合的区间表示法【例 5】已知，其中，如果，22240,(1)0AxBxaxaRAB则实数的取值范围是_a 已知集合，，若，则实数的取|5| ABa值范围是已知集合，，若，则实数的取值范围|40Ax或 |10Bxa是设集合，，若，则实数的取1aR， 5xR， a值范围是_ (目标班专用)设集合，，若，则|21xa |215ax AB实数的取值范围是_；若，则实数的取值范围是_aAB【解析】或；|1 ；|3 ；|4a 或；|0 6 或；1a ；|a 对于具体集合的子集问题例 5 已经讲得很明白，

21、对于抽象的集合，要理解，需要AB从元素角度出发：即对任意的，有；这在证明抽象的集合的关系时很有用，xAB见下面的德摩根律的证明集合的运算满足德摩根律：； UBUUAUB对于德摩根律，可以使用两个集合相等的定义进行抽象的证明，如下：证明：对任意的，则，从而且；()xAxAxB因为，所以；因为，所以，从而；UUUx从而有；()()UBB对任意的，则且，从而，且 xUxA故，即，故 ()A()UA()UB综上有；U对任意的，则，从而或；()UxABxABxAB若，则，从而；若，则，从而；UUxUxAB从而有；()()UU对任意的，则

22、或，即或，从而，ABxUxABxAB()x故，故 ()()综上有， UU德摩根律的严格证明并不容易，学生需要时间慢慢适应高中的严格的推理有德摩根律的正确性借助于韦恩图是很容易得到的，韦恩图在表示集合的关系与运算时非常直观见例 6考点 6：韦恩图【例 6】设、、均为非空集合，且，则下列各式中错误的是( )ABIABIA B()I()IC DII 若全集，、为的子集，且，123456789U，，，，，，，， U19UAB，，求、和 BUA，， AB （目标班专用）某班学生期中考试成绩表明：人数学成绩不低于 80 分；人3620物理成绩不低于

23、 80 分；人的数学、物理成绩都不低于 80 分. 则这两科成绩至少有1一科不低于 80 分的人数为_【解析】 B ；，， 2357A，，， 29B，， 345678UB，，，，， AACUB BABBCUACU (AB)U U4,6,8 1,92 B3,5,7A ；41【点评】对于任意两个集合、，记有限集合的元素个数为，有限集合的元素个数为card()AB，上面的结论就是容斥原理，而且可以card()Bcard()card()r()B推广到三个或更多的集合： ) car()card()card()ACABCCABC 备注：【练习】学生版也出现，一般在介绍一种新

24、的方法或题型时，会配上练习让学生巩固一下【练习】已知全集中有个元素，集合中有个元素，中有个元素，I15MN3IIMN5有个元素，则集合中的元素个数是_IMN4【解析】；6考点 7：子集个数问题若集合中有个元素，则集合的子集有个，真子集有个，非空真子集有个AnA2n21n2n这个结论可以归纳得到：当中有两个元素时，记为，的子集有个；212Aa， A412 第 1 讲目标班教师版当中有三个元素时，记为，，的四个子集仍然为的子集，且这些A3A23a2A3A子集中加入元素后会得到四个新的互不相同的子集，且的每个子集都可以归在这两3a 3类中，从而的

25、子集个数是的两倍，从而有个子集，可以归纳得到 (含有个238n元素的集合)有个子集2n如果利用乘法原理（奥数学介绍过，在高二会进行系统学习），会很容易得到这个结论，要得到的子集，只需考虑的每个元素在或不在这个子集中，对个元素，可以通过nAnA步得到，每步有两种不同的方法，故共对应个子集2n【铺垫】已知，，，，则满足上述条件的集合的BC01234或048C或 A个数是（）A8 B32 C16 D4【解析】 A【例 7】已知，，若是的子集，且，则12310，，，， 2345B，，，， CABC子集共有_个C 若集合满足：对任意，都有，

26、就称是“和谐” 集合则在集合AxA1x的所有非空子集中， “和谐”集合有_个1023456M，，，，，，，，，（目标班专用）已知集合，是的若干个不同123456，，，，， 12kSS，，， A的二元子集，对任意的，设，满足ijk iiSab， jjjab，则的最大值为_mininjjiiabab，，【解析】；92 15 ；1【拓展】求集合的所有子集的元素之和的和（规定空集的元素和为零）12310M，，，，【解析】先分析特殊情形，发现元素出现的规律之后再研究集合 M9 92()52一般地：如果（），则的子集共有个，所有子集的元

27、素和n，，，， *N2n之和为 221(1)()(1)n n考点 8：集合的新定义问题（目标班专用）【例 8】定义集合运算：，设，，则集合| ABzxyAB，， 12， 02B，的所有元素之和为（）ABA B C D0236 对任意两个集合、，定义：，且，MN|xMxN设，，则 N2,yR|3 M 集合，是的一个子集，当时，若，且，123456S，，，，， ASxA1xA1x则称为的一个“孤立元素”，那么无“ 孤立元素”的元子集的个数是_ 的所xA 4S有的有“孤立元素” 的子集个数是_ 设符号“ ”是数集中的一种运算(如：减法运算、

28、乘法运算)，如果对于任意的，都有，则称集合对于运算“ ”是封闭的( 除法运算时，要求 ),yxy 0y下列说法正确的是_ 整数集对于实数的加法与乘法都是封闭的；Z 有理数集关于实数的四则运算都是封闭的；Q 对于实数的乘法运算是封闭的；2 集合对实数的乘法是封闭的；|2,AxmnZ 集合对实数的乘法是封闭的|BQ 已知为数集，且至少含有两个数，若此数集关于四则运算封闭，那么称为数域，P P如有理数集就是一个数域，数集也为数域，下列说法正Q|2FxabQ，，确的是整数集为数域若，则为数域M数域一定是无限集存在无穷多个数域【解析】 D； |303MNxx 或，；64

29、；；关于集合对运算的封闭性，在上定义“ ”，关于加法封闭：即任意两个自然数相加N仍为自然数自然数对于减法是否封闭？不封闭，从拓展到数域的拓展都是由NZ于对运算的不封闭所造成的对于乘法运算是封闭的，但对于除法运算却是不封闭的，Z于是从拓展到；而从是由于对于乘方的逆运算不封闭，包括后面的ZQRQ也是由于一些运算的不封闭RC【练习】设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么称是的一AkA1kA1kkA个“孤立元” 给定，由的个元素构成的所有集合中，不含12345678S，，，，，，， S3“孤立元” 的集合共有个【解析】 614 第 1 讲目标

30、班教师版【拓展】对于集合，将按由大到小的顺序排好，并在它们中间填12nAa，，， 12naa，，，入符号，计算得到的数称为集合的特征，记为；例如： A()TA，则；若，则；定义的特征3458，，，， ()85435TA1()1为 0. 计算集合与的特征； 124679，，，，， 12S，，证明：对于，，，，3naa，，，， *iNin，，， 12naa则 0nT 若，请计算的所有子集的特征和30S，，，，【解析】的特征是；的特征是；A9764215S321 分析：可以找个具体的集合先研究一下，如，1358A，

31、，，由于前一个总比后一个大，分类考虑当有偶数个元素85T和奇数个元素时，；再如，0TA 123581，，，，，，把让出来，后面两两组对，每对都是小于 0 的数，132Ana ，此题说明，当想证明某式大于 0 时，可以采用分组的方法说明每个na部分都大于 0，当想证明小于某数时，可以先将这个数踢出去，证明剩余部分小于0，这种思想在以后学数列和不等式时会用的上证明：对分奇偶讨论：若为偶数，n，（时取等号） 12321()()()0nnTAaaa A；4321n na 当为奇数，123321()()()nn；4nnTAaaa 综上知， 0n 先用一个简单的考虑：，有

32、 4 个子集，特征和为；S， 4再考虑可以偷懒，凡是的子集都是的子集，只需写与123S，， 12， 123，，不同的子集，怎样写不同子集？只需在子集上加一个元素 3，每增加 1 个，，元素，子集个数一定会扩大一倍。特征为： 0 特征为： 31 1 13， 122 2 2，，，我们发现上面每行的特征和都为的特征和为；3S，， 4现在我们考虑，仍然通过的子集进行拓展考虑：124S，，， 123，，原集合特征新集合特征4041， 1132， 22，，， 34， 341，，， 312，，， 12，，，，， 2我们得到的特征和为 34S，，

33、， 483对于 1，4，12，32，结合上面的过程，容易找到规律： 1n为什么是 12?n，特征为；，特征为；35，，， 321357，，，， 5321这两个集合的特征和为 7，因为随着增加一个数后，前面的所有数变号，相加后抵消对于集合，共个子集，将其分成有和无两类，两类之间一一对应12n，，， n n特征和为， n特征和为，特征和为1212n ，，，，，， n共组，每两组对应的特征和为，故所有的子集的特征和为 n 12n故的所有子集的特征和为 S201(从这里可以进一步思考，证明一个集合的所有子集中，奇子集与偶子集各占一半奇子集指元素有奇数

34、个的子集，偶子集指元素有偶数个的子集，空集算作偶子集，无素个数为 )0（2009 年北京）已知数集具有性质对任12nAaa，，， 122na ， :P意的，与两数中至少有一个属于 ij， 1ijn ijji A 分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；34，， 36，，， P 证明：，且 1a121naa【解析】由于与均不属于数集，所以该数集不具有性质 344，，由于，，，，，，，，，都属于数集，121623612361236，，，所以该数集具有性质 P 因为具有性质，所以与中至少有一个属于 12nAaa，，， nan

35、 A16 第 1 讲目标班教师版由于，所以，故 12naa nanA从而，故 nA1因为，所以，故 12n kn23knn，，，由具有性质可知 P23ka，，，，又因为，121nna所以 1n nn aa，，，，从而，21121nna 故 12na实战演练【演练 1】设集合，，，则实数 _13A，， 24Ba， 3ABa【解析】【演练 2】已知，，，则（）24567U，，，，， 357M，，， 2456N，，，A B，MNUC D()() 已知集合，，则集合中的子集个数|1yx|23Nxyx， MN为（）A B C D

36、0 4 集合，的子集中含有元素 0 的子集共有（）1，， AA2 个 B4 个 C6 个 D8 个【解析】 B ； B； B；【演练 3】已知集合，，若，求实数的取值|25Ax |121Bxm ABm范围【解析】 m【演练 4】已知集合，其中 2|10AxaxRaR 是中的一个元素，用列举法表示；1A 若中有且仅有一个元素，求的值组成的集合；B 若中至多有一个元素，试求的取值范围【解析】 ,3 01B， |a 或【演练 5】设是两个非空集合，定义与的差集且，A， AB|xAB已知集合，，求它们的差集与；1234，，， 2345，，，已

37、知，，求及，并猜测它们之间的关系；|x|6Bx()()若差集与是同一集合，证明【解析】，；1AB5A ，，()|46x()|46Ax由此猜测 ()B 对任意的，若，则，但，与已知条件矛盾，xBA故对任意的，有，从而；同理有，，故 xAB大千世界已知，， 12345Aaa，，，， 2221345Baa，，，， (12345)iN，，，，设，且，，又中所有元素之和为 14A， 10AB24求，；；； 4 22235355【解析】由已知可得，且，，则或1414， 21a101a若，则，又集合中必存在某个数的平方为，即中存在，10a4B这与矛盾，因此有， ()iN，，，， 1a49 由可知中必然只有个元素，若14AB， A8，且，22212351345023a2148a 350a 由，且，可知或且49451a5若，则，则525 2234又或，则必有或，有，矛盾，232910 不符合题意51a若，，则02510a22332aa又或，则或，则有或，29323a解得：或，，，，4423418 第 1 讲目标班教师版，，，， 1a234a9510a 910A，，，，

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