1、A BCDABABLA BCD图 (2)E BDA CP图 (3)DBAO CP中考专题复习路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题 ；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。 （构建“对称模型”实现转化）三、例题：例 1、如右图是一个棱长为 4 的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点 B 处， 则它爬行的最短路径是 。如右图是一个 长方体木 块，已知 AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点 A 处，它要沿着木块侧面爬到点 D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。例 2、如图，要在河边修建一个水 泵站，分 别向张村、
2、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。如图，直线 L 同侧有两点 A、B，已知 A、B 到直 线 L 的垂直距离分别为 1 和 3，两点的水平距离为 3，要在直线 L 上找一个点 P，使 PA+PB 的和最小。 请在图中找出点 P 的位置，并 计算 PA+PB 的最小值。要在河边修建一个水 泵 站，向张村、李庄 铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为 1Km 和 3Km，张村与李庄的水平距离为 3Km，则所用水管最短长度为 。四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点 A 处，它要沿着木块侧面爬到点 D 处
3、，则蚂蚁爬行的最短路径是 。2、现要在如图所示的圆柱体侧面 A 点与 B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为 6cm，底面 圆周长为 16cm，则所缠金丝带长度的最小值为 。3、如图是一个圆柱体木块，一只 蚂蚁要沿圆柱体的表面从 A 点爬到点 B 处吃到食物，知圆柱体的高为 5 cm，底面圆的周长为 24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为 。4、正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM2，N 是 AC 上的一动点，DNMN 的 最 小 值为 。第 4 题 第 5 题 第 6 题 第 7 题5、在菱形 ABCD 中，AB=2， BAD=60，点 E 是 AB 的中
4、点，P 是对角线 AC 上的第 2 题张村李庄张村李庄A ABAB第 1 题 第 3 题一个动点，则 PE+PB 的最小值为 。6、如图，在ABC 中， ACBC2， ACB90，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一动点，则 ECED 的最小 值为_ _。7、AB 是O 的直径， AB=2，OC 是O 的半径， OCAB，点 D 在 AC 上，AD = 2CD，点 P 是半径 OC 上的一个动点，则 AP+PD 的最小值为_ _。（二）8、如图，点 P 关于 OA、OB 的对称点分别为 C、D，连接 CD，交 OA 于 M，交OB 于 N，若 CD18cm ，则 PMN 的周长为_。9
5、、已知，如图 DE 是ABC 的边 AB 的垂直平分线，D 为垂足， DE 交 BC 于 E，且AC5，BC8， 则 AEC 的周长为_。10、已知，如图，在 ABC 中，AB AC，BC 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D，交AC 于点 E，AC8，ABE 的周长为 14，则 AB 的长 。11、如图，在 锐角ABC 中，AB4 ，BAC45 ，BAC 的平分线交 BC 于点2D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是_12、在平面直角坐标系中，有 A（3，2）， B（4，2）两点，现另取一点 C（1，n），当 n = 时，AC + BC 的值最小CDA
6、 BEFP第 11 题 第 14 题 第 15 题13、ABC 中，C = 90，AB = 10，AC=6,BC=8,过 AB 边上一点 P 作 PEAC 于E，PFBC 于 F，E、F 是垂足， 则 EF 的最小值等于 14、如图，菱形 ABCD 中，AB=2, BAD=60，点 E、F、P 分别是 AB、BC、AC 上的动点，则 PE+PF 的最小值为_.15、如图，村庄 A、B 位于一条小河的两侧，若河岸 a、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近？16、一次函数 y=kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A（2，0），
7、B（0，4）（1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设 OA、AB 的中点分别为 C、D，P 为 OB 上一动点，求 PCPD 的最小值，并求取得最小值时 P 点坐标 （三）16、如图，已知 AOB 内有一点 P，试分别在边 OA 和 OB 上各找一点 E、F，使得PEF 的周长最小。试画出图形，并 说明理由。17、如图，直 线 l 是第一、三象限的角平分线实验与探究：（1）由图观察易知 A（0，2）关于直 线 l 的对称点 A的坐标为（2，0），请在图中分别标明 B（5，3）、C（2，5）关于直 线 l 的对称点 B、C的位置，并写出他们的坐标：B 、C ；归纳与发现：（2）结合以上三
8、组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 P（a，b）关于第一、三象限的角平分线 l 的对称点 P的坐标为 ；运用与拓广：（3）已知两点 D（1，3）、E（1，4），试在直线 l 上确定一点 Q，使点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小，并求出 Q 点坐 标18、几何模型：条件：如图，A、 B 是直线 L 同旁的两个定点 问题：在直 线 L 上确定一点 P，使PA+PB 的值最小方法：作点 关于直线 l的对称点 A，连结 B交 l于点 P，则 AB的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图 1，正方形 CD的边长为 2，E为 的中点， 是 C上一动点连结 D，由正方形对称性可知， B与 关于直线
9、C对称 连结 ED交 于 ，则 PE的最小值是_；（2）如图 2， O 的半径为 2，点 A、 、 在 O 上， AB， 60O， 是B上一动点，求 P的最小值；（3）如图 3，AOB=45，P 是AOB 内一点， PO=10，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值19、问题探究（1）如图，四边形 ABCD是正方形， 10ABcm，E为边 BC的中点， P为 BD上的一个动点，求 PE的最小值；（2）如图，若四边形 是菱形， ， 45， 为边 上的一个动点， 为 上的一个动点，求 P的最小值；问题解决（3）如图，若四边形 ABCD 是矩形， 10c， 20cm，E为边BC
10、上的一个动点， 为 上的一个动点，求 P的最小值；20.如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（-2，0），连结 0A，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120。，得到线段 OB.（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；O ABPRQ图 3ABECBD图 1OABC图 2 PABPlA DB CA DB CEPACDB（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说 明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）解：（1）过点 B 作 BD 轴于点 D，由已知可得：xOB=OA=2，BOD=60。.在
11、 RtOBD 中，ODB=90。，OBD=30。.OD=1，DB= 3点 B 的坐标 是（1， ）.（2）设所求抛物线的解析式为 ，由已知可得：2yaxbc034cab解得： 2,0.3c所求抛物线解析式为 23.yx（3）存在.由 配方后得：23yx2313yx抛物线 的对称轴为 = 1.（也写用顶点坐标公式求出）OB=2，要使BOC 的周长最小，必须 BC+CO 最小.点 O 与点 A 关于直线 =1 对称，有 CO=CA.x BOC 的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.当 A、C、B 三点共线，即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时BOC 的周长最
12、小.设直线 AB 的解析式为 3,:20kbykx则 有解得： 直线 AB 的解析式为32,.kb 23.yx当 = 1 时， 所求点 C 的坐标为（1， ）.x.y21、如图，抛物线 的顶点 P的坐标为 ，交 x 轴于 A、B两点，2axbc43，交 y 轴于点 (03)C，（1）求抛物线的表达式（2）把ABC 绕 AB的中点 E旋转 180，得到四 边形 ADBC判断四边形 ADBC的形状，并说明理由（3）试问在线段 AC上是否存在一点 F，使得 FBD的周长最小，若存在，请写出点 F的坐 标；若不存在， 请说明理由解：（1）由题意知解得 ， -3 分3a2b（列出方程组给 1 分，解出给
13、 2 分）抛物线 的解析式为 -4 分33yxDO xy BEPA C（2）设点 A（ ，0），B（ ，0），则 ，1x22330x解得 -5 分 12，OA1 ，OB 3又tan OCB |3OBCOCB60，同理可求OCA30 ACB90 -6 分由旋转性质可知 ACBD ，BCAD 四边形 ADBC是平行四边形 -7 分又ACB90四边形 ADBC是矩形 -8 分（3）延长 BC至 N，使 假设存在一点 F，使 FBD的周长最小CB即 最小FDBDB固定长 只要 FD+FB最小又 CABNFD+FBFD+FN 当 N、F、D在一条直线上时，FD +FB最小 -10 分又C 为 BN的中点
14、， （即 F 为 AC的中点）12CA又A（1， 0），C（0， ） 点 F的坐标为 F（ ， ）3 123 存在 这样的点 F（ ， ），使得 FBD的周 长最小 -12 分1222. 已知：直线 yx与 y轴交于 A，与 x轴交于 D，抛物线 21yxbc与直线交于 A、E两点，与 轴交于 B、C两点，且 B点坐标为 （1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）动点 P在 轴上移动，当PAE 是直角三角形且以 P 为直角顶点时，求点 P的坐x标（3）在抛物线的对称轴上找一点 M，使 |A的值最大，求出点 M的坐标答案：（1）将 A（0，1）、B（1，0）坐 标代入 21yxbc得2cb解得3b
15、c抛物线 的解折式为 21yx 3 分（2）设点 E的横坐标为 m，则它的纵坐标为 21m，则 E（ ， 213）又点 E在直 线 1yx上， 231 解得 10m（舍去）， 24E的坐标为 （4，3） 4 分过 E作 Fx 轴于 ，设 P(b,0)由 90OPA，得 OPAFERttE 由 得 143b解得 1b， 2此时的点 P的坐标为（1，0）或（3， 0） 6 分（3）抛物线的对称轴为 2x B、C关于 x23对称， MCB要使 |AMC最大，即是使 |AM最大 8 分yxODEAB CyEAB C F由三角形两边之差小于第三边得，当 A、B、M在同一直 线上时 |AMB的值最大易知直线 AB的解折式为 1yx由132yx得32xyM（ ， 2） 10 分
