1、反比例函数的图象和性质（一）教学设计教材分析：本节课内容属于九年义务教育第二学段中的“数与代数”领域，即人教版八年级数学下册17.1.2 反比例函数的图象和性质（一）。是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，进一步研究反比例函数的图象和性质，并通过对图象的研究和分析，来确定反比例函数的性质。反比例函数是最基本的初等函数之一，是后续学习各类函数的基础。反比例函数的核心内容是反比例函数的概念、图象和性质。反比例函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，这也正是反比例函数的本质属性所在。反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想。首先，反比例函数图象和
2、性质，本身就是“数”与“形 ”的统一体。其次，反比例函数性质的归纳体现了由特殊到一般的思想。再次，在得出性质时又体现了分类讨论的数学思想。此外，反比例函数图象和性质的学习，是继一次函数后，知识与方法上的一次拓展，理解与认识上的一次升华，也是思维上的一次飞跃。图象由“一条”到“两支”，形态由“ 直”到“曲”，由“连续”到“间断 ”，由与坐标轴“相交”到“ 渐近”，无不反映出对函数概念本质属性认识的进一步深化。因此，学好本节课内容，将为今后的二次函数学习奠定坚实的基础。教学目标知识技能 1. 会用描点的方法画反比例函数图象并理解反比例函数的性质。2. 利用反比例函数的性质会由已知条件求反比例函数的
3、表达式。3. 能利用这些函数性质分析并解决一些简单的实际问题。【设计意图】本节教学内容的程序是：先使用描点法画出反比例函数的图象，然后依据图象分析、探究、归纳得到反比例函数的性质，再利用这些性质分析并解决一些简单的实际问题。因此，准确画出反比例函数的图象，是探究反比例函数性质的前提。此时，虽然学生已经学过用描点法画函数图象，但是由于反比例函数图象的特殊性，会画反比例函数的图象，仍是学习中的目标之一。通过列表、描点、画出反比例函数的图象，进而观察、分析、探究、归纳、概括，得到反比例函数的性质，可以进一步加深对函数三种表示方法（列表法、解析式法和图象法）的理解。能利用反比例函数性质分析并解决一些基
4、本问题，抓住函数的变化规律是由 k 决定这一性质。过程与方法经历“数形结合” 、“ 特殊与一般 ”和“分类讨论”的数学思想，并能应用这些思想，根据反比例函数的图象探究其性质。【设计意图】数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而不能复制与灌输。在探究反比例函数性质时，让学生领悟到这些数学思想的存在，并能运用这些数学思想观察、分析反比例函数的图象，探究、归纳、概括反比例函数的性质。情感态度与价值观 体验到数学的探索过程中充满观察、实验、归纳、类比猜想等。【设计意图】在探究反比例函数性质的过程中，让学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养学生良好
5、的思维品质，提高学生的思维能力。在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，使学生在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟教学重点 ： 画反比例函数图象，理解反比例函数性质。教学难点 ： 理解反比例函数性质，并能灵活应用。教学方法 ： 练习法和分组讨论发课 型 ： 新授课教 具 ： 教学多媒体 坐标纸 直尺教学流程图：活动 1 创设情境 引入课题 活动 2 类比联想 探究交流 活动 3 探索比较 发现规律 活动 4 运用新知 拓展训练 活动 5 归纳总结布置作业【设计意图】活动 1 回顾一次函数图象及性质，引入课题。活动 2 师生互动，类比一次函数的图象的画法步
6、骤，画出反比例函数的图象。活动 3 归纳比较，探索反比例函数的性质。活动 4 拓展训练，加深对反比例函数性质的理解，并能灵活运用。活动 5 回顾学习内容，增强学生学习数学的热情。教学过程设计活动一（1）：回忆一次函数的解析式、图象和性质。师生行为：学生思考、回答，教师根据学生活动情况进行补充和完善，应重点关注学生对一次函数知识点的掌握情况。（2）：回忆画函数图象的方法与步骤师生行为：学生对描点法画函数图象的基本步骤的掌握情况：列表，描点，连线。（3）：上一节课我们已经学习了反比例函数的定义，那么什么叫做反比例函数？师生行为：学生回答，教师板书：反比例函数 y= （k0）今天我们就来探究反比例函
7、数的图象和它的性质，板书17.1.2 反比例函数的图象和性质（一）。【设计意图】 通过创设问题情境，引导学生类比前面学习一次函数的图象和性质的方法，激发学生参与课堂的热情，提出本节课所要研究的问题及其研究方法，并引导学生的研究思路，为学习画反比例函数的图象打好基础。活动二（1）：请大家尝试着画一画反比例函数 y= 的图象。师生行为：教师板书示范以画出反比例函数 y= 的图象为例，学生也跟着在坐标纸上画，教师引导学生经历列表、描点、连线的过程。并通过反比例函数 y= 图象的生成过程，给出双曲线的名称，并渗透它的形态特征.1.列表x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 y=
8、 列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即 x0），同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或是太小，以便于描点和全面反映图象的特征；2.描点：一般情况下，所选的点越多图象越精确；3.连线：引导学生用平滑的曲线，按照自变量从小到大的顺序连接各点，注意图象末端的延伸和延伸的趋势，得到反比例函数的图象。教师展示学生作品，并让学生交流作图步骤和注意点【设计意图】图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数先有一个初步的感性认识。（2）请观察反比例函数 y= 的图象，有哪些特征？师生
9、行为：教师引导学生观察，类比正比例函数，归纳说出反比例函数 y= 图象的形状、位置、变化趋势及其函数的增减性。【设计意图】通过类比正比例函数，引导学生观察图象的形状、位置、变化趋势，感受“形”的特征，感受自变量与函数值之间变化与对应的关系，使学生对反比例函数的图象和性质形成初步的印象。（3）是不是所有的反比例函数的图象都具有这样的特征呢？师生行为：以讨论反比例函数 y= 为例。在教师引导下，学生借鉴画反比例函数 y= 的图象的经验，自主画出反比例函数 y=- 的图象，教师巡视指导。作图完成后，学生展示作品，并说出该函数图象的特征，教师适时点评。【设计意图】通过再次画出反比例函数 y=- 的图象
10、，使学生巩固前面已获得的作图经验，提高学生利用描点法画出函数图象的能力。同时，在总结说出反比例函数 y=- 的图象特征的过程中，使学生增强对图象的观察、感知、分析、概括的能力，以及经历通过画出函数图象，并利用图形研究函数性质的过程。（4）比较 y= 与 y=- 的图象他们有什么共同点？有什么不同点？是由什么决定的？师生行为：教师将两个图象置于同一直角坐标系中并提出问题，启发学生对比、思考，组织学生讨论，引导学生关注反比例系数“k”的作用。学生观察思考，回答问题。在活动中教师应关注：1.学生是否具有用数学语言准确描述图象特征的能力2.学生是否理解在同一直角坐标系内两个反比例函数图象的对称关系。学
11、生独立思考完成，安排两名学生展示。（引导学生从函数图像形状，图像位置，图像的变化趋势以及函数的增减性几个方面考虑。）【设计意图】学生通过观察比较，总结出两个反比例函数图象的共同特征，以及在平面直角坐标系中的位置。在活动中，加强引导，放手让学生去观察，去类比发现，去感受，去总结，实现学生主动参与，探究新知的目的。活动三：归纳总结反比例函数的性质。师生行为：对 k 的值进行分类讨论，学生分组选 k 的值，画函数 y= （k0）的图象，教师演示多媒体课件，观察所得到的不同的反比例函数图象的特征，引导学生在小组内从以下两个问题进行讨论，观察思考后进行分析、归纳、得出反比例函数的性质。（1）图象在第一、
12、第三象限的函数与图像在第二、第四象限的函数的 k 值有何区别?（2）在每一个象限内，y 随 x 的变化如何变化？教师根据学生回答情况归纳反比例函数 y= （k0）的性质并板书。（1）反比例函数 y= (k 为常数，k0) 的图象是双曲线。（2）当 k0 时，双曲线的两个分支位于第一、三象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小。（3）当 k0 时, 图象在第_象限, y 随 x 的增大而 _.（2）实际应用 某住宅小区要种植一个面积是 150 m2 的矩形草坪，设草坪的长为 y（单位：m），宽为x（单位：m）。（1）y 与 x 间有怎样的函数关系；（2）画出该函数的图象；师生行为：教师适当点
13、拨引导学生完成，小组内先相互交流，最后派代表回答。【设计意图】熟悉反比例函数的图象和性质，区别一次函数与反比例函数以及二次函数的图象，进一步体会数形结合的思想，从数和形两方面加深对反比例函数性质的认识。通过变式练习，巩固所学知识，灵活运用反比例函数的图象和性质，提高解决问题的能力。课堂小结：本节课学习了哪些知识？你有什么收获？在知识应用过程中需要注意什么？师生行为：学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法。【设计意图】教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对反比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学习习惯。布
14、置作业： 1.教材中练习的第 1、2 题，习题 17.1 的第 3 题。2. 思考题 比较反比例函数 y= (k0)和正比例函数 y=kx (k0)【设计意图】练习 1 主要是为了巩固反比例函数的性质，练习 2 的目的是更深刻的理解反比例函数和正比例函数的性质以防混淆。板书设计：17.1.2 反比例函数的图象和性质（一）1、反比例函数的图象：2、反比例函数的性质：（1）反比例函数的图象是双曲线；（2）当 k0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内 y 值随 x 值的增大而减小；（3）当 k0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内 y 值随 x 值的增大而增大。3
15、、练习教学反思一、关于数学思想的处理本课主要体现了三个数学思想即数形结合和特殊与一般以及分类讨论的数学思想。在这一课的教学过程中数形结合是最主要的，“数”与“ 形” 的转化，是贯穿始终的一条主线。反比例函数的图象和性质，是“数”与“ 形”的统一体，由“解析式”到“作图”，再到“性质”，是数形结合思想的具体应用。本课的教学设计与实施中，通过“描点法”作图、观察几个具体的反比例函数的图象，很好地反映了“数”、“ 形”之间的这种内在的联系。在归纳反比例函数性质是，首先观察特殊的反比例函数 y= 与 y=- 的图像，由比例系数k 的变化进行讨论得出反比例函数的性质过程中渗透了特殊与一般和分类讨论的数学
16、思想。二、关于教学效果的反思在实际授课过程中，按照教学流程图一步一步的循序渐进展开，最后通过一组练习的训练，发现同学们掌握的很好，但仍有个别学生存在问题，主要有两方面，一是对反比例函数的性质应用不自如，另一个是画反比例函数图像不注意 x 的取值或取的点过少从而导致不能准确画出图像。在以后的教学中要强化训练。三、关于教学设计的改进针对以上存在的问题，我认为在教学设计中，还存在两处需要改进的地方。（一）应强调函数解析式的必要性在本课题的教学中，我们通过“画出”图形，使反比例函数解析式表示的函数关系直观化，更易于学生通过观察，得出函数图象的“特征”及函数的“ 性质 ”，但由于这样得出的结论，对“图形
17、”的依赖性过强，甚至形成了“ 解析式图象性质 ”的思维定势，而忽视了数学形式化的意义，也就是说，我们不能将对函数的认识，完全等价于对其图形的认识，应该把“图形”与“解析式 ”结合起来，以利于更好地探究两个变量之间“ 变化中的规律性”。因此，本教学设计应在注重分析“反比例函数图象的位置特征”，及引导学生观察“反比例函数的增减变化趋势”的同时，更加强调对反比例函数解析式的剖析，这种从“数”的方面的再强调，无疑会使学生对反比例函数图象和性质的认识更加科学精确。（二）应关注“类比” 中的“ 差异性 ”反比例函数图象和性质的学习，可以类比一次函数的研究方法进行，从而体现了数学学习的一般规律和方法。本教学设计通过“描点”画图，到“ 观察 ”图象，到分析图象“ 特征”，再到确定函数中变量之间的“变化规律”，从而得出函数的性质，这一探究的过程和方法，是学习函数时不可缺少的。其实，我们以后学习函数时仍然要采用这种方法的。但是，我们在运用“类比” 的方法研究反比例函数的过程中，还应进行比较，关注反比例函数与一次函数之间异同，如图形的“曲”与“ 直”、“间断”与 “连续”等，这样的认识，在本课教学时，应加以强调，并传达给学生。
